Notes - Arithmétique 2016 Donnéés, statistiqués ét probabilités Données numériques Les données peuvent être fournies dans un texte, un tableau (à simple ou double entrée) ou sous forme graphique. Parmi les graphiques, on peut citer : - Le diagramme en bâtons : la longueur des bâtons est proportionnelle à une des grandeurs représentées. (1) - Les diagrammes circulaires (2), semi-circulaire (3) et rectangulaire : ils présentent une partition, les aires sont proportionnelles aux effectifs des sous-parties représentées. - Histogramme (4) : l’effectif représenté est proportionnel à l’aire du rectangle qui le représente. - Graphiques à points (5) ou à lignes (6) : ils sont souvent utilisés pour représenter des relations entre données. 1 2 4 3 5 6 Méthode pour construire un diagramme circulaire Il faut créer un tableau de données comprenant une ligne pour les catégories, une ligne pour les nombres et une ligne pour les angles. En calculant le total des nombres, on attribue l’angle 360°. On calcule ensuite la mesure de chaque angle en utilisant les propriétés de la proportionnalité. On construit enfin le diagramme à l’aide du rapporteur et en ajoutant une légende. A noter : tout graphique doit être accompagné d’un titre et d’une légende permettant sa lisibilité. Statistiques Le but d’une étude statistique est d’obtenir des informations mettant en évidence certains aspects d’un ensemble de données organisées (tableaux, diagrammes, graphiques…) L’étude statistique s’effectue sur l’effectif (le nombre) d’une population (objets observés) composée d’individus (classés selon leurs caractéristiques). Elle peut également porter sur une fréquence, généralement exprimée en pourcentages. 1 Copyright – Tous droits réservés © Mélodie VERGES https://mamanfuturemaitresse.wordpress.com Notes - Arithmétique 2016 Caractéristiques de position Ils caractérisent l’ordre de grandeur des données. Moyenne Elle s’obtient en additionnant les données de la série et en divisant le total par le nombre de données. C’est une valeur unique comprise entre la valeur minimale et la valeur maximale de la série. Moyenne pondérée Afin de donner plus d’importance à certaines valeurs d’une série statistique, on leur attribue un coefficient. On peut alors calculer la moyenne pondérée de cette série. Elle s’obtient en additionnant les produits de chaque valeur par leur coefficient et en divisant le résultat par la somme de tous ces coefficients. Cette moyenne est utilisée dans les bulletins scolaires du secondaire. Médiane C’est le nombre tel que, quand la série est classée par ordre croissant, il y a autant de données supérieures que de données inférieures. N−1 Si l’effectif N de la série est impair, la médiane est la donnée de rang + 1, c’est-à-dire la donnée située 2 exactement au milieu de la série rangée dans l’ordre croissant. N 𝑁 Si l’effectif N de la série est pair, alors la médiane est la demi-somme des données de rang 2 et 2 +1 dans la série rangée dans l’ordre croissant, c’est-à-dire la moyenne des deux données situées au milieu du classement. Etendue L’étendue de données statistiques est la différence entre la plus grande et la plus petite de ces données. Probabilités Pour certaines expériences aléatoires (jeter une pièce en l’air pour voir sa face, lancer les dés), on peut déterminer par un quotient le nombre de chance qu’un événement a de se produire : c’est la probabilité de l’événement. 5 Ex : dans un sac contenant 11 boules dont 5 vertes et 6 jaunes, la probabilité de tirer une boule verte est de 11 car on a 5 chances sur 11 de tirer une boule verte. Quand les résultats d’une expérience aléatoire ont tous la même probabilité, alors celle-ci est égale au quotient : nombre de résultats favorables à la réalisation de l′événement . nombre de résultats possibles Ex : dans un sac de 12 jetons, on tire un jeton au hasard. Quelle est la probabilité de tirer un multiple de 3 ? Nombre de résultats favorables à la réalisation de l’événement : de 1 à 12 il y a 4 multiples de 3 (3,6,9,12), donc 4. Nombre de résultats possibles : 12 jetons donc 12 4 1 Probabilité de tirer un multiple de 3 : 12 = 3 Propriétés : - La probabilité d’un événement est toujours comprise entre 0 et 1 - La somme des probabilités de tous les résultats d’une expérience aléatoire est égale à 1 - Si P est la probabilité d’un événement, alors 1-P est la probabilité de l’évènement contraire - Si A et B sont deux événements indépendants, alors la probabilité de l’évènement A et B est P(A et B) = P(A) x P(B) (cf. ex 1) - Si A et B sont deux événement incompatibles, alors la probabilité de l’événement A ou B est : P(A ou B) = P(A) + P(B) (cf. ex 2) - Si les événements ne sont pas incompatibles, alors P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A et B) 2 Copyright – Tous droits réservés © Mélodie VERGES https://mamanfuturemaitresse.wordpress.com Notes - Arithmétique 2016 Ex 1 : on a deux sacs : le sac A contient 2 boules rouges et 3 boules vertes, le sac B contient 5 boules jaunes et 3 boules bleues. Quelle probabilité a-t-on de tirer une balle rouge du sac A et une boule jaune du sac B ? 2 5 10 1 Réponse : 5 x 8 = 40 = 4 Ex 2 : la probabilité d’obtenir un 2 ou d’obtenir un nombre impair en lançant un dé à 6 faces est égale à la somme 1 1 4 2 des deux probabilités : 6 + 2 = 6 = 3 3 Copyright – Tous droits réservés © Mélodie VERGES https://mamanfuturemaitresse.wordpress.com