Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres T HÉRÈSE M ERLIER Quelques propriétés des anneaux dont un sous-demi-groupe multiplicatif est un O -demi-groupe Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 27, no 2 (1973-1974), exp. no 14, p. 1-4 <http://www.numdam.org/item?id=SD_1973-1974__27_2_A4_0> © Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1973-1974, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 14-01 Séminaire P. DUBREIL ( Algè bre ) 1973/74, 27e année, 29 avril 1974 n° 14, 4 p. QUELQUES PROPRIÉTÉS DES ANNEAUX O-DEMI-GROUPE DONT UN SOUS-DEMI-GROUPE MULTIPLICATIF EST UN par Thérèse MERLIER Rappelons qu’un définie une 0-demi-groupe S est demi-groupe est dont le R ést demi-groupe, alors R vérifie la condition ~ (R , .) En effet, si et .- a a~ a2 en a b , on D’où 2ab = comparables. par a, A Si une pour a puis - - a . D’où 0 . = certaine relation dtordre a , par R , Soient alors deux éléments isotonie, a2 - - a2 , a et b : a2--a2 on a 2a2 2b~ soit 2a2 = = 0 , _. ~ . isotonie, Un anneau A 2a = peut vérifier la condition 0 a . pour tout un x’ = y nul si précédente sans être un zéro- Considérons par exemple des deux lois anneau non commutatif, dans lequel n’est pas toujours nul et qui n’est pas non 2ab a Ô un 0 . On obtient ainsi est est demi-groupe multiplicatif O-demi-groupe, un sont de a vérifier et munissons est a a, par Remarques. anneau ou un anneau multipliant et ceci pour tout Si lequel peut être O-demi-groupe. un THÉORÈME 1. - Si et - sur relation d’ordre total isotone : 1. Anneaux do nt le total 5 , S demi-groupe un = 1 par un 2(2x , y) = (0 , 2y) ~0 ! ~’ y) = exemple. vérifie la f ormule du théorème 1, mais (A,.~ ne peut être totalement or- donné. En effet, donc l’isotonie On peut aussi quelconque de ne peut être satisfaite construire un caractéristique pour demi-groupe aucune infini en relation d’ ordre . remplaçant 4 s par exemple l’anneau des suites par sur un anneau 2. Cas d’un idempotents peut être dont l’ensemble des anneau demi-groupe totale- un ment ordonné. Désignons par E l’ensemble des 1. - Si E est En effet, si $ D’où 0 . e = même si De Si ordonne totalement le 0 ~ f ~ e est de même dans le demi-groupe élément. un sans E E : sont inférieurs à f + e (e d’où cas, 0 ~ est aussi f E , = 0 ~ idempotent, d’où un f)f + f ou e = 0 f . Il = en idempotents d’un anneau est un O-demi-groupe, c’est de zéro, dont zéro est le plus grand ou le plus petit des diviseurs LEMME 2. - Si l’ anneau réduit premier appartiennent à f demi-groupe 0 ; donc = et e R . anneau contraire. cas Donc, si l’ensemble et e ef = fe dans le ou si ou 0 ~ f , alors e ~ si O-demi-groupe, un d’un idempotents est unitaire, et si R E est 0-demi-groupe, un est E à (1 , 0) . soit e ~ 0; E , e E 1 - E . Mais e E e(l - e) = 0 , donc e = d’aprés 1 le lemme 1. 3. - Si e ~ f ~ 0 , 0 , On sait que Si E est e ~ f , alors efe ef = ef = fe , alors (e - ef)f = 0 , 0-demi-groupe, un on en e = et si et ef f fe = fe = fef = ef , et déduit e = ef , de même e - appartiennent à f et fe , et ceci dans tout ou efe = e (ou e et fe = f = E , ef ). O-demi-groupe idempotent. est ef f = fe et un e = idempotent. Comme f , ce qui n’est pas. Donc ef ~ D’où e - Si ef = fe : si ef = et e fef , alors on ef = 0 efe , alors = a fe ef , de même, e = fe et = fef , et f = fe . f = ef puisque fe , et e - f - ef sont idempotents. PROPOSITION 1. - Si l’ensemble E demi-groupe à gauche, ou de cardinal supérieur à droite, infini. ou idempotents d’un égal à 3, alors E des anneau est un R est un 3L- zéro-demi-groupe supposons que et e lemme 3, d’après le potent : on par a idempotents distincts, soient deux f exemple e = ef f et fe . Soit = nuls. Alors , non autre idem- un g a (cy) si sairement e d’après si (y) si e, = eg Dans e ~ eg == le lemme f e f : e gf ~ ge = g . Dans Il existe alors une f . Comme = d’après ~~~~ , cas, ef = 1° Si Donc est E cas ce = néces- e , et alors ge = g un des éléments E e ou ge = g , donc g, on a gf = g . gf = fg g, = zéro-demi-groupe infinité d’idempotents, de zéros ou est réduit à eg ge = fg = f , e . PROPOSITION 2. - Si l’ensemble groupe, l’ensemble d’où e , = 3 , ge ~ fe g : ce g e ~ eg $ ef f : g ceux à gauche. de la forme de R est n(ef - fe) , e + estun R des idempotents d’un anneau réguliers d’après f . Donc, demi-groupe un sans O-demi- diviseurs ~0~ , E est de cardinal E contient 1, l’ensemble des éléments est réduit à réguliers !:o) . 2° Si un idempotent , et un seul, e nul : si non a ~ est 0 régu- lier, Donc les éléments forment bien e comme un un puisque ab est demi-groupe contient E zéro-.demi--groupe et by non nul, xa car dont l’ensemble des Propriétés Le des Zéro, le rapport à e , qui groupe multiplicatif ayant au sont des a = axa = nous a = la axa proposition et b = régulier, demi-groupe multiplicatif S un a d’un anneau, dans 0-demi-groupe, est un byb , cadre propriétés De plus, groupe d’un anneau, avec zéro. anneau. incités à considérer de plus un E 1, = = idempotents d’un Pour les démonstrations des Rendus d’après idempotents non nuls, d’où ab est régulier. 0 0 . axaby , donc ab implique a idempotents est nouvelles des idempotents moins trois éléments : à gauche par exemple. D’où, si paragraphe précédent Comptes diviseurs de sans COROLLAIRE. - Un demi-groupe 3. sont les éléments inversibles par élément neutre, 3° Enfin, si est réguliers prés les propriétés plus généra?. suivantes nous renvoyons à notre Note aux 14-04 désigne A dans la suite un l’ensemble des idempotents THEOREME 2. - Si, dans fx A ; E e idempotents est + x de , idempotents, E~ et un idempotent e non nul idéal, alors l’ensemble tel que idempotent non nul) est un un demi-groupe intègre vérifiant : (f , h) V A, il existe anneau un est A ses nuls. non un l’ensemble de E anneau, E E2, V g ~ 0 E E , fgh = des E fh . , THEOREME 3. - Soit un e idempotent non nul d’un anneau A . Il y a équivalence entre les assertions suivantes : (a) Pour tout f f , I - (x E A ; lateur à droite de ef = e ; e+xeE) E E*} + (b) (c) E’~ , E x e Ae est un idéal bilatère de A ~ contenu dans est un idéal bilatère de A j contenu dans l’annu- (0 .’ Ae) ; (d) L’ensemble E* des idempotents non nuls gauche (? f E E# , ~ g E E~ , fg = f) . Exemple. A = R x Soit R un anneau l’ensemble des R Ae ; unitaire couples de A est un intègre, d’élément unité (x, y) , x E R , à zéro-demi-groupe ~. , et soit y ER, muni des deux opéra- tions Alors X E R A et, demi-groupe est un comme anneau dont les’ idempotents ~ 1 , x~ ~ 1. , x ’ ) .~ ~ ~. , x) à gauche, et satisfont aux non ces nuls sont de la idempotents, forme ( 1 forment bien ~ un x~ s zéro- conditions du théorème 3. BIBLIOGRAPHIE [1] MERLIER (T.). - Quelques propriétés des idempotents d’un anneau, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 279, 1974, Série A, p.49-51. (Texte Thérèse MERLIER Résidence Gascogne 105 rue Boucicaut 92260 FONTENAY AUX ROSES reçu le 14 avril 1975)