Universit de Provence

ISITV 1ère année TD Ondes électromagnétiques
On supposera ci-dessous que les ondes sont monochromatiques, de pulsation ω. Convenant
d'une dépendance temporelle en e-iωt, on représentera les grandeurs par les amplitudes
complexes associées. Les vecteurs sont représentés par des caractères gras.
I- Réflexion sur un dioptre
L'incidence est repérée par l'angle θi = (- , ki), où représente le vecteur unitaire suivant
Oy dans le sens des y croissants (fig. ci-contre). L'amplitude complexe associée au champ
électrique incident s'écrit:
y
ˆy ˆ
zE ˆ )](exp[),,( 00 yxizyx
i
βα −=
avec α0 = k0 sinθi, β0 = k0 cosθi et k0 = II ki II.
Définir un coefficient de réflexion r et un coefficient de transmission t pour les amplitudes
complexes et déduire leur expression de l'écriture de la continuité des composantes
tangentielles des champs électrique et magnétique.
II- Etude d'une couche anti-reflet
On posera rb=
k
l−
k
kl+k et ra=
k
l−
k
0
kl+k0
où kl et k désignent les nombres d’onde dans la lame et le substrat
(milieu inférieur) respectivement.
2°) Montrer que r ne peut s’annuler que pour une lame dont l’épaisseur est un multiple impair
de λl/4, où λl représente la longueur d’onde dans la lame.
Calculer l’indice de réfraction de la lame qui annule r.
Dans un repère orthogonal direct Oxyz, On
représente par le plan y = 0 l’interface séparant le
vide (y > 0) d’un diélectrique sans pertes de
p
ermittivité relative εr et de perméabilité µ0. Cette
interface est éclairée par une onde plane
monochromatique de pulsation ω, dont le vecteur
d'onde ki est dans le plan xOy, polarisée de sorte que
le champ électrique incident est dirigé selon Oz .
x
y
θi
ki
O
Ei
n
(ε0,µ0)
(ε0εr,µ0)
x
y
ki
O
Ei
(ε0,µ0)
On dépose sur le diélectrique précédent une
lame à faces parallèles d'épaisseur h, de
p
ermittivité relative réelle εl.
1°) On se place en incidence normale, θi = 0.
Donner la forme du champ magnétique dans la
lame. Déduire l'expression du coefficient de
réflexion r de l'écriture des conditions aux
limites en y = 0 et y = -h.
(ε0εl,µ0)h
(ε0εr,µ0)
1

x
y
θi
ki
O
Hi
n
(ε0,µ0)
III- Angle de Brewster – Onde de surface
L’interface séparant le vide d’un milieu linéaire
homogène et isotrope de permittivité complexe ε es
t
éclairée par une onde plane polarisée de sorte que le
champ magnétique incident s'écrit:
zH ˆ e),,( )(
i00 yxi
zyx β−α =
avec α0 = k0 sinθi, β0 = k0 cosθi et k0 = II ki II.
1°) Donner l’expression du champ électrique Ei(x, y, z) associé à l'onde plane incidente.
2°) On note k le nombre d'onde dans le milieu et , Re(β) + Im(β) ≥ 0. On définit
ici le coefficient de réflexion r comme le rapport de l’amplitude du champ magnétique
réfléchi sur celle du champ incident, amplitudes évaluées en y = 0. Déduire son expression de
l'écriture de la continuité des composantes tangentielles des champs électrique et magnétique.
2/12
0
2)( α−=β k
3°) La permittivité relative εr = ε/ ε0 du verre à la longueur d’onde λ0 = 0,65 µm (dans le vide)
est 2,25. Quelle est la fréquence associée à ce rayonnement ? Comment appelle-t-on cette
gamme de longueurs d’ondes ? Montrer qu’il existe un angle d’incidence pour lequel le
coefficient de réflexion s’annule (angle de Brewter). Donner son expression en fonction de εr.
4°) En appliquant la formule des antennes au cas d’un dipôle électrique de moment p placé à
l’origine, on trouve pour le champ électrique rayonné à grande distance dans la direction u
ˆ
upuE ˆ )
ˆ
(
4
),,( 0ΛΛ =r
e
kzyx ikr
π
µ
Qu’appelle-t-on grande distance ? Vérifier qu’un tel dipôle ne rayonne rien dans la direction
de p. On admet que chaque petit élément de diélectrique se comporte comme un dipôle
électrique dont le moment est colinéaire au champ électrique perçu. Calculer l’orientation de
ce champ si on éclaire sous incidence de Brewster et en déduire qu’aucune onde n’est
réfléchie dans la direction de la réflexion spéculaire.
5°) La permittivité relative de l’Aluminium à la longueur d’onde λ0 = 0,65 µm est voisine de -
47 + 18 i. Quelle valeur complexe αp faut-il donner à α0 pour annuler le dénominateur du
coefficient de réflexion trouvé au 2°) ? On donnera son expression littérale en fonction de k0
et εr avant de calculer numériquement le rapport αp/k0.
Montrer que quand α0 tend vers αp, le numérateur du coefficient de réflexion tend vers une
valeur non nulle. En déduire le comportement du coefficient de réflexion au voisinage de αp.
6°) Une onde plane dont l’amplitude complexe des champs, dans le demi-espace supérieur,
est de la forme exp(iαpx-iβpy) ( , Re(β
2/122
0)( pp kα−=β p) + Im(βp) ≥ 0), est appelée onde de
surface. Pourquoi ? Peut-on engendrer une telle onde en éclairant directement l’interface
comme l’indique la figure de la page précédente ? Justifier.
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