Polygones réguliers Théorème de l`angle inscrit

Polygones réguliers
Théorème de l’angle
inscrit
I. Polygones réguliers
Définition :
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont de
même longueur et dont tous les angles joignant deux côtés consécutifs
sont de même mesure.
Exemples :
Un triangle équilatéral (3 côtés) , un carré (4 côtés), un pentagone (5
côtés), un hexagone (6 côtés), un octogone (8 côtés) sont des
polygones réguliers.
ABCDE est un pentagone ABCDEFGH est un octogone
Remarques :
On peut inscrire un polygone régulier dans un cercle de centre O qui
sera le centre de ce polygone.
Les angles de sommet le centre du polygone et formés à partir de
deux sommets successifs (dits « au centre ») auront la même mesure.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
A
B
C
D
E
O
Si le polygone a n cotés, les angles au centre seront de .
Exemple :
Le carré ABCD ci-dessous est inscriptible dans un cercle de centre O
et les angles au centre de sommets successifs ont pour mesure
.
Méthode de construction :
Construisons, par exemple, un hexagone (6 côtés).
Traçons un cercle de centre O et un point A sur ce cercle. .
On construit le point B sur le cercle vérifiant = 60°.
On construit le point C sur le cercle vérifiant = 60°.
On construit le point D sur le cercle vérifiant = 60°.
On construit le point E sur le cercle vérifiant = 60°.
On construit le point F sur le cercle vérifiant = 60°.
Le polygone ABCDEF obtenu est un hexagone. (ci-dessous)
Remarque :
On pourra faire de même
pour un polygone régulier à n
côtés en remplaçant 60° par .
O
B
C
D
A
O
C
D
B
A
60°
60°
II. Théorème de l’angle inscrit
Définition :
On considère un cercle (C) de
centre O et A, B et C trois points
de ce cercle.
L’angle est appelé angle inscrit
dans le cercle (C).
L’angle est appelé angle au
centre.
Théorème de l’angle inscrit :
Si l’angle au centre et l’angle inscrit interceptent le même arc de cercle
(qui joint les points A et B du cercle (C), ici), l’angle au centre mesure
le double de l’angle inscrit : .
Par exemple :
Si l’angle au centre mesure 70°, l’angle inscrit correspondant mesure
35° ( ) et s’il mesure 120°, l’angle inscrit mesurera 60°
( ) .
Conséquence :
Deux angles inscrits dans un même cercle qui intercepte un même arc
sont égaux.
On a :
Donc :
Figures réalisées avec GDmath (http://gdmath.free.fr/)
Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière / 2009
O A
B
C
O A
C
B
D