TD : Algorithmes et second degré

2013-2014
Première 07
TD : Algorithmes et second degré
1. Algorithme et programme
Un algorithme est une suite finie d’opérations élémentaires correspondant à une suite d’instructions visant à transformer les données afin d’obtenir le résultat visé.
Un programme est la réalisation d’un algorithme au moyen d’un langage donné.
Les éléments de base d’un algorithme sont :
1. la saisie des données ;
2. le traitement des données ;
3. la sortie des résultats.
2. Variable
Les variables sont les espaces de mémoire qui permettent de stocker des données et les
résultats.
On utilise des variables d’entrée et des variables de sortie.
3. Structure conditionnelle
Si condition
Alors première instruction
Sinon deuxième instruction
FinSi
Si la condition est véri ?ée, le programme exécute la première instruction, sinon il exécute
la deuxième instruction.
4. Résolution d’une équation du second degré
Ecrire un programme qui résout l’équation du second degré ax2 + bx + c = 0.
Algorithme
Entrées a, b et c
Traitement
d prend la valeur b2 − 4ac.
Si d > 0 Alors
√
x1 prend la valeur (−b − √d)/2a
x2 prend la valeur (−b + d)/2a
Afficher : deux racines distinctes, valeur de x1 ,valeur de x2
Sinon
Si d = 0 Alors
b
x1 prend la valeur −
2a
Afficher : une racine double x1
Sinon
Afficher : aucune solution
FinSi
FinSi
Sorties
Différents affichages
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2013-2014
Première 07
Programme CASIO
"A"←֓
?→A
"B"←֓
?→B
"C"←֓
?→C
B2 − 4 × A × C → D
If D>0←֓
Then←֓
√
(-B+ (D))/(2A)→S←֓
√
(-B- (D))/(2A)→T←֓
"2 SOLUTIONS"N
"X1="←֓
SN
"X2="←֓
T←֓
Else←֓
If D=0←֓
Then←֓
"1 SOLUTION"←֓
"X0="N
S←֓
Else←֓
"PAS DE SOLUTION"←֓
IfEnd←֓
IfEnd
Programme TI
:Prompt A
:Prompt B
:Prompt C
:B2 − 4 × A × C → D
:If D>0
:Then
√
:(-B+ (D))/(2A)→S
√
:(-B- (D))/(2A)→T
:Disp "2 SOLUTIONS"
:Disp "X1=",S
:Disp "X2=",T
:Else
:If D=0
:Then
:-B/2A→S
:Disp "1 SOLUTION"
:Disp "X0=",S
:Else
:Disp "PAS DE SOLUTION"
:End
:End
5. Exercice
Trouver deux nombres connaisssant leur somme et leur produit.
(a) Soit S et P deux nombres réels.
i. Démontrer que lorsque l’équation du second degré X 2 − SX + P = 0, d’inconnue
X, admet deux solutions x et y (avec éventuellement x = y), alors x + y = S et
xy = P .
ii. Démontrer que si x et y sont deux réels qui vérifient x + y = S et xy = P , alors
ils sont solutions de l’équation du second degré X 2 − SX + P = 0.
(b) Adapter l’algorithme de résolution de l’équation du second degré pour écrire un algorithme qui détermine deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P .
Programmer cet algorithme avec votre calculatrice.
6. Ex 83 p. 41 (Méthode d’Al-Khuwarizmi)
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