ESPACES TOPOLOGIQUES

COLLECTION UNIVERSITAIRE DE MATHÉMATIQUES
Claude BERGE
Directeur de Recherches au C. N.R.S.
ESPACES TOPOLOGIQUES
FONCTIONS MULTIVOQUES
DEUXIÈME ÉDITION
TABLE DES MATIÈRES
Pages
SYMBOLES
ix
CHAPITRE PREMIER. — Famille d'ensembles.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Ensembles : notations générales
Opérations élémentaires sur les ensembles
Famille d'ensembles
Opérations dans une famille d'ensembles
Partitions
Base de filtre
Fermetures d'un ensemble
Treillis d'ensembles.*
Limites principales.d'une famille d'ensembles
1
4
6
8
9
11
13
16
19 :
II. — Applications d'un ensemble dans on autre.
Applications univoques, semi-univoques, multivoques
Opérations sur les applications
Les inverses supérieur et inférieur d'une application
Graphes
21
24
25
29
III. — Ensembles ordonnés.
Ordre et équivalence
Ensemble infinis dénombrables et infinis continus .Nombres cardinaux transfinis*
Ensembles ordonnés
Notion de nombre ordinal transfini*
Les différentes formes de l'axiome de choix*
30
32
34
38
41
42
CHAPITRE
1.
2.
3.
4.
CHAPITRE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
IV. — Espaces topologiques.
Espaces métriques
Espaces L* et L°.*
Espaces topologiques
Suites et familles filtrées
Espaces séparés, quasi-séparés, réguliers, normaux
Ensembles compacts
Ensembles connexes r;
Fonctions numériques définies dans un espace topologique
Produit et somme d'espaces topologiques
CHAPITRE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
;
48
52
56
62
67
70
75
78
81
TABLE DES MATIÈRES
IX
CHAPITRE V. — Propriétés topologiques des espaces métriques.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Topologie d'un espace métrique
Somme et produit d'espaces métriques
Suite d'éléments
Espaces totalement bornés et espaces complets
Ensembles séparables
Ensembles compacts
Ensembles connexes
Ensembles localement connexes ; courbes*
Applications univoques d'un espace métrique dans un autre
'..
86
90
92
95
97
99
101
104
108
CHAPITRE VI. — Applications d'un espace topologique dans un autre.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Semi-continuité d'une application
Propriétés des deux semi-continuités
Théorème du maximum
Points fixes d'une application de R dans R
Limites d'une famille d'ensembles*
Distance de Hausdorff*
114
119
122
124
125
133
CHAPITRE VU. — Applications d'un espace vectoriel dans un autre.
1. Espace vectoriel
2. Applications linéaires
3. Variétés linéaires, cônes, ensembles convexes
4. Dimension d'un ensemble convexe.
5. Jauge
6. Le théorème de Hahn-Banach
136
140
143
151
156
161
CHAPITRE VIII. — Ensembles convexes et fonctions convexes dans l'espace R"
1. Propriétés topologiques des ensembles convexes
2. Notions sur les simplexes ; théorème de Kakutani
1....
3. Matrices (notions)
4. Matrices bi-stochastiques
,
- 5~. Fonctions convexes
6. Fonctions convexes et différentiables
7. Le théorème fondamental des fonctions convexes
8. Fonctions quasi-convexes
.9. Inégalité fondamentale de la convexité
10. Fonctions sub-1».*
11. Fonctions 5-convexes
12. Programmes linéaires et non linéaires*
165
176
185
189.
198
204
210
217
221
225
228
236
CHAPITRE IX. — Espaces vectoriels topologiques.
— 1. Espaces normes
2. Espaces vectoriels topologiques
3. Propriétés générales des ensembles convexes
4. Séparation par des fonctions convexes
5. Points fixes d'une application d'un espace localement convexe dans
lui-même
6. Espaces de Banach : convergence forte
7. Espaces de Banach : convergence faible
249
254
261
264
270
272
279