ESPACES TOPOLOGIQUES

COLLECTION UNIVERSITAIRE DE MATHÉMATIQUES
Claude BERGE
Maître de Recherches au C. N.R.S.
ESPACES TOPOLOGIQUES
FONCTIONS MULTIVOQUES
PARIS
1959
TABLE DES MATIÈRES
Pages
SYMBOLES
ix
CHAPITRE PREMIER. — Famille d'ensembles.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Ensembles : notations générales
Opérations élémentaires sur les ensembles
Famille d'ensembles
Opérations dans une famille d'ensembles
Partitions
Base de filtre
Fermetures d'un ensemble
Treillis d'ensembles.*
Limites principales d'une famille d'ensembles
1
4
6
8
9
11
13
16
19
CHAPITRE II. — Applications d'un ensemble dans un antre.
1. Applications univoques, semi-univoques, multivoques
2. Opérations sur les applications
3. Les inverses supérieur et inférieur d'une application
4. Graphes. . . :
21
24
25
29
CHAPITRE III. — Ensembles ordonnés.
1. Ordre et équivalence
2. Ensemble infinis dénombrables et infinis continus
3. Nombres cardinaux transfinis*
4. Ensembles ordonnés
5. Notion de nombre ordinal transfini*
6. Les différentes formes de l'axiome de choix*
,
CHAPITRE IV. — Espaces topologiques.
1. Espaces métriques
2. Espaces L* et L0.*
3. Espaces topologiques
4. Suites et familles
filtrées
5. Espaces séparés, quasi-séparés, réguliers, normaux
6. Ensembles compacts
7. Ensembles connexes
8. Fonctions numériques définies dans un espace topologique
9. Produit et somme d'espaces topologiques
30
32
34
38
41
42
48
52
56
62
67
70
75
78
81
VIII
ESPACES TOPOLOGIQUES. FONCTIONS MULTIVOQUES
CHAPITRE V. — Propriétés topologiques des espaces métriques.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Topologie d'un espace métrique
Somme et produit d'espaces métriques
Suite d'éléments
Espaces totalement bornés et espaces complets
Ensembles séparables
Ensembles compacts
Ensembles connexes
Ensembles localement connexes ; courbes*
Applications univoques d'un espace métrique dans un autre
CHAPITRE VI. — Applications d'un espace topologique dans un autre.
1. Semi-continuité d'une application
2. Propriétés des deux semi-continuités
3. Théorème du maximum
4. Points fixes d'une application de R dans R
5. Limites d'une famille d'ensembles*
6. Distance de Hausdorfî*
7. Décompositions demi-continues supérieurement*
86
90
92
95
97
99
101
104
108
114
119
121
123
124
132
135
CHAPITRE VII. — Applications d'un espace vectoriel dans un autre.
1.
2.
3.
4.
5.
Espace vectoriel
Applications linéaires
Variétés linéaires, cônes, ensembles convexes
Dimension d'un ensemble convexe
Jauge
CHAPITRE VIII. — Ensembles convexes et fonctions convexes dans l'espace R"
1. Propriétés topologiques des ensembles convexes
2. Notions sur les simplexes ; théorème de Kakutani . . . '
3. Matrices (notions)
4. Matrices bi-stochastiques
5. Fonctions convexes
6. Fonctions convexes et difîérentiables
7. Théorème de Helly et théorèmes minimax*
8. Fonctions quasi-convexes
9. Inégalité fondamentale de la convexité
*
10. Fonctions sub-O.*
11. Fonctions «S-convexes
138
142
145
153
158
167
175
183
187
196
202
208
216
220
224
227
CHAPITRE IX. — Espaces vectoriels topologiques.
1.
2.
3.
4.
5.
Espaces normes
Espaces vectoriels topologiques
Propriétés générales des ensembles convexes
Séparation par des fonctions convexes
Points fixes d'une application d'un espace localement convexe dans
lui-même
6. Espaces de Banach : convergence forte
7. Espaces de Banach : convergence faible
236
241
248
252
259
261
268