Partie I : Mécanique du point - Oscillateurs mécaniques -

Partie I :
Mécanique du point
- Oscillateurs mécaniques Exercice n°1
On considère un cylindre de masse m suspendu à un ressort à spires non jointives. Le ressort a une
constante de raideur k, une longueur à vide l0 et une longueur l lorsque la masse m y est accrochée.
-2
-1
Données : g = 9,8 m.s ; m = 200 g ; k = 16 N.m ; l0 = 10 cm ; l = 22,3 cm
1. Le fait de savoir que le ressort est à spires non jointives est-il important ?
2. Donner les caractéristiques du vecteur force modélisant l’action du ressort sur le cylindre.
3. Donner les caractéristiques du vecteur force représentant les actions réparties de la Terre sur l’objet.
Exercice n°2
Un ressort et un solide S sont placés sur un banc à coussin d’air horizontal. L’extrémité libre est accrochée
en un point fixe et les frottements seront considérés comme négligeables.
Au repos, G, centre d’inertie de S, est en O, pris comme origine des abscisses sur l’axe horizontal Ox. On
écarte G de sa position d’équilibre suivant Ox et on lâche S.
a) Faire un inventaire des forces s’exerçant sur S dans une position quelconque de G au cours de son
mouvement et représenter ces forces sur un schéma en précisant le sens du déplacement du solide.
b) Montrer que l’équation différentielle du mouvement peut s’écrire:
2
Les notations : x et d x/dt
2
d²x =x=− k x
dt²
m
représentent la dérivée seconde de x par rapport au temps t.
Données : m = l00 g; g = 9,80 m.s
-2
Exercice n°3
Lorsqu’on suspend verticalement un solide de masse 150 g à un ressort, il s’allonge de 5 cm. Calculer dans
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cette position d’équilibre l’énergie potentielle élastique du ressort. On prendra g = 10 m.s .
Exercice n°4
-1
Un objet de masse 100 g, accroché à un ressort horizontal de raideur k = 17 N.m , effectue des oscillations
rectilignes sinusoïdales. La position du centre d’inertie de l’objet à l’équilibre étant choisie comme origine de
l’axe x’x qui a la direction de la trajectoire dans le sens correspondant à l’allongement du ressort,
déterminer l’abscisse x du centre d’inertie de l’objet à la date t quelconque dans les deux cas suivants :
1. A l’instant t=0, on abandonne l’objet sans vitesse alors que le ressort est allongé de 4 cm.
-1
2. A l’instant t=0, le centre d’inertie de l’objet est en O avec une vitesse de 0,65 m.s .
Exercice n°5
-1
Un cylindre de masse M = 500 g, attaché à un ressort de raideur k = 50 N.m , effectue des oscillations
sinusoïdales horizontales d’amplitude a = 6 cm.
1. Calculer l’énergie mécanique totale du système, l’énergie potentielle étant nulle dans la position
d’équilibre.
2. Calculer la vitesse du cylindre lorsqu’il passe par sa position d’équilibre.
3. Sachant que la longueur à vide du ressort est l0 = 30 cm, calculer sa longueur lorsqu’au cours du
mouvement l’énergie cinétique est égale à l’énergie potentielle.
Exercice n°6
Un objet de masse M = 200 g attaché à un ressort effectue des oscillations sinusoïdales horizontales. On
donne l’équation du mouvement de son centre d’inertie G (en unités SI) : x = 0,1 cos (10t).
1. En déduire la raideur du ressort. Calculer la période des oscillations.
2. Donner les expressions numériques de l’énergie cinétique Ec, de l’énergie potentielle Ep et de l’énergie
mécanique Em de ce système à la date t. Tracer sur un même graphique les courbes représentant les
variations de Ec, de Ep et de Em en fonction du temps.
Exercice n°7
Une masse m = 30 g est accrochée à une extrémité d’un ressort horizontal R1 dont l’autre extrémité est
accrochée à un deuxième ressort R2. La position de la masse est repérée par un axe horizontal par rapport à
la position d’équilibre. On écarte la masse m d’une longueur Xm = 5 cm vers la droite et on la lâche en la
faisant osciller avec un amortissement négligeable. Calculer la période des oscillations.
-1
-1
Données : k1 = 18 N.m
et k2 = 22 N.m
Exercice n°8
-1
Un ressort de raideur k = 20 N.m est attaché au sommet d’un rail incliné faisant un angle α avec
l’horizontale. Un corps de masse m = 0,1 kg est attaché à l’autre extrémité et repéré par son abscisse x
relativement à sa position d’équilibre.
1. Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur en fonction de x.
2. Exprimer l’énergie mécanique en fonction de x, en prenant la référence de l’énergie potentielle à la
position d’équilibre et en déduire les pulsations propres de l’oscillateur.
Exercice n°9
Un solide de masse m, attaché à l’extrémité libre d’un ressort de longueur à vide l0, est astreint à se
déplacer sur un banc lisse incliné d’un angle α sur l’horizontale. A l’équilibre, la longueur du ressort est l1.
1. Calculer la raideur k du ressort en fonction de m, l0, l1, α et g. On donne m = 0,2 kg, l0 = 10 cm, l1
=14 cm et α = 30°.
2. On écarte le solide vers le bas à partir de l’équilibre de Δl = 2 cm et on l’abandonne à l’instant t =
0 sans vitesse initiale. Trouver l’équation horaire.
-1
3. Le solide est lancé vers le bas avec une vitesse v0 = 0,30 m .s à partir de l’équilibre. Quelle est
l’amplitude des oscillations ?
Exercice n°10
Un pendule simple est constitué d’une bille de masse m = 200 g et de centre d’inertie G. Cette bille,
assimilable à un objet ponctuel, est accrochée à l’extrémité O d’un fil inextensible de longueur l = 80 cm et
de masse négligeable.
On écarte le pendule de sa position d’équilibre d’un angle θ0 = 10° avec la verticale et on le lâche sans
vitesse initiale.
I.
Dans cette partie, on supposera les frottements négligeables.
1. On propose les expressions suivantes de la période propre de cet oscillateur :
a. T0 = 2π
!
!
b. T0 = 2π
!
!
c. T0 = 2π
!
!
Par analyse dimensionnelle, choisir l’expression correcte de la période propre T0. Calculer
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numériquement T0. On prendra g = 9,8 m.s .
2. On prend comme référence pour l’énergie potentielle de pesanteur le plan horizontal comprenant la
position d’équilibre de la bille. On repère la position du pendule à un instant quelconque par la
valeur de l’angle θ que fait le fil avec la verticale ; θ ∈ [ -θ0 ; + θ0 ]
a. Comment évolue l’énergie mécanique Em du système [terre ; pendule] au cours du temps ?
b. Montrer que l’énergie mécanique du système a pour expression Em = mgl(1 - cosθ0).
c. Calculer numériquement Em.
d. Calculer la valeur de la vitesse de la bille lors du passage par la position d’équilibre.
e. Pour quelle(s) valeur(s) de l’angle θ l’énergie cinétique Ec est-elle égale à l’énergie potentielle de
pesanteur Epp ?
3. a. Dans le cas d’oscillations de faible amplitude, déterminer l’équation régissant le mouvement de ce
pendule.
b. Donner la solution θ(t) puis l’allure de la courbe θ = f(t).
II. En réalité les oscillations du pendule s’amortissent progressivement. On suppose que la puissance des
2
forces de frottements peut s’écrire sous la forme P = -λv où λ représente le coefficient de frottement.
1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par θ.
2. Donner l’allure de la courbe θ = f(t) si les frottements sont faibles.