lois statistiques

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Lois statistiques, échantillonnage
Jeudi 15 octobre 2009
Devoir Surveillé n˚2
✒ Exercice 1 ( Des glaces !
BTS B - 1995 )
Une fabrique de desserts glacés dispose d’une chaîne automatisée pour remplir et emballer des
cônes de glace.
Les résultats de cet exercice seront arrondis à 10−2 près.
- Partie A Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne par X la variable aléatoire qui,
à chaque cône, associe la masse (exprimée en grammes) de glace qu’il contient.
On suppose que X suit la loi normale de paramètres m = 100 et σ.
√
1. Dans cette question, σ = 2 2.
On choisit au hasard un cône rempli de glace. Calculer la probabilité que la masse qu’il
contient soit comprise entre 95 g et 105 g.
2. Un cône est considéré comme « bon » lorsque la masse de glace qu’il contient appartient à
l’intervalle [ 95 ; 105 ].
Déterminer la valeur du paramètre σ telle que la probabilité de l’événement « le cône est
bon » soit égale à 0, 95.
- Partie B Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de 2 000 pour la vente
en gros.
On considère que la probabilité qu’un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en gros est égale à 0, 000 5.
On nomme Z la variable aléatoire qui, à chaque lot de 2 000 cônes prélevés au hasard dans la
production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans le lot.
On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être
supposés indépendants les uns des autres.
1. (a) Quelle est la loi suivie par Z ?
(b) Calculer P (Z = 2). Interpréter ce résultat.
(c) Calculer P (Z ≥ 3). Interpréter ce résultat.
2. On admet que la loi de Z peut être approchée par une loi de Poisson.
(a) Déterminer le paramètre de cette loi.
(b) Si un client reçoit un lot contenant au moins 5 cônes défectueux, l’entreprise procède
alors à un échange de ce lot.
Calculer la probabilité qu’un lot soit inchangé.
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✒ Exercice 2 ( La machine à bouchons BTS B - 1996 )
Une machine fabrique plusieurs milliers de bouchons cylindriques par jour. On admet que la
variable aléatoire X qui, à chaque bouchon, associe son diamètre exprimé en millimètres, suit la
loi normale de moyenne m = 22 mm et d’écart-type σ = 0, 025 mm.
Les bouchons sont acceptables si leur diamètre appartient à l’intervalle [ 21, 95 ; 22, 05 ].
Les trois questions de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
1. Quelle est la probabilité qu’un bouchon pris au hasard dans la production soit acceptable ?
2. Dans cette question, on considère que la probabilité qu’un bouchon soit défectueux est de
q = 0, 05. On prélève au hasard un échantillon de 80 bouchons (ce prélèvement est assimilé
à un tirage de 80 bouchons avec remise). On nomme Y la variable aléatoire mesurant le
nombre de bouchons défectueux d’un tel échantillon.
(a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Y ?
Déterminer l’espérance mathématique et l’écart type de la variable Y .
(b) On approche Y par une variable aléatoire Y1 qui suit une loi de Poisson P(λ).
Quelle est la valeur du paramètre λ ?
Calculer la probabilité que l’échantillon prélevé contienne exactement 10 bouchons
défectueux.
3. En vue du contrôle de réglage de la machine, on prélève régulièrement dans la production
des échantillons de 100 bouchons.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 bouchons, associe le
diamètre moyen des bouchons de cet échantillon. Lorsque la machine est bien réglée, X suit
σ
la loi normale de paramètres m′ = m et σ ′ = √
.
100
(a) Déterminer le réel a tel que P 22 − a ≤ X ≤ 22 + a = 0, 95.
(b) Sur un échantillon de 100 bouchons, on a les résultats suivants (les mesures des diamètres étant réparties en classe d’amplitude 0, 02 mm) :
Classes de diamètres effectif correspondant
[ 21, 93 ; 21, 95 [
3
[ 21, 95 ; 21, 97 [
7
[ 21, 97 ; 21, 99 [
27
[ 21, 99 ; 22, 01 [
30
[ 22, 01 ; 22, 03 [
24
[ 22, 03 ; 22, 05 [
7
[ 22, 05 ; 22, 07 [
2
En supposant que tous les bouchons d’une classe ont pour diamètre la valeur centrale
de cette classe, donner la moyenne et l’écart-type de cette série (aucune justification
demandée ; résultats arrondis à l’ordre 10−4 ).
(c) On dit que la machine est bien réglée au seuil de risque
de 5% lorsque
la moyenne de
l’échantillon est dans un intervalle [ I ; J ] tel que P I ≤ X ≤ J = 0, 95.
En utilisant les deux questions précédentes (a) et (b), peut-on accepter au seuil de
risque 5%, l’hypothèse selon laquelle la machine est bien réglée ?
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✒ Exercice 1
- Partie A √
X − 100
√
1. La variable X suit la loi normale N (100, 2 2), donc, la variable T définie par T =
suit la loi
2 2
√
normale centrée réduite N (0, 1) et on a X = 2 2T + 100.
√
P (95 ≤ X ≤ 105) = P (95 ≤ 2 2T + 100 ≤ 105)
95 − 100
105 − 100
√
√
= P
≤T ≤
2 2
2 2
= P (−1, 77 ≤ T ≤ 1, 77)
= 2Π(1, 77) − 1
= 2 × 0, 9616 − 1
= 0, 9232.
La probabilité que la masse de glace soit comprise entre 95 g et 105 g est de 0, 92.
2. La variable X suit la loi normale N (100, σ), donc, la variable T définie par T =
X − 100
suit la loi normale
σ
centrée réduite N (0, 1) et on a X = σT + 100.
P (95 ≤ X ≤ 105) = 0, 95 ⇐⇒ P (95 ≤ σT + 100 ≤ 105) = 0, 95
95 − 100
105 − 100
⇐⇒ P
≤T ≤
= 0, 95
σ
σ
−5
5
⇐⇒ P
≤T ≤
= 0, 95
σ
σ 5
− 1 = 0, 95
⇐⇒ 2Π
σ
5
⇐⇒ Π
= 0, 975
σ
5
⇐⇒
= 1, 96
σ
5
⇐⇒ σ =
= 2, 55.
1, 96
Le cône est bon avec une probabilité de 0, 95 pour σ = 2, 55.
- Partie B -
1.
(a) Les 2 000 tirages sont supposés indépendants,
On a deux issues possibles : soit le cône est défectueux avec une probabilité de p = 0, 0005, soit il ne
l’est pas (q = 0, 9995).
Z suit donc la loi binomiale B(2 000 ; 0, 0005).
2
(b) P (Z = 2) = C2000
× 0, 00052 × 0, 99951998 = 0, 1840.
La probabilité que 2 cônes soient défectueux dans un lot de 2 000 cônes est de 0, 18.
(c)
P (Z ≥ 3) = 1 − P (Z ≤ 2)
= 1 − [P (Z = 0) + P (Z = 1) + P (Z = 2)]
= 1 − (0, 3678 + 0, 3680 + 0, 1840)
= 1 − 0, 9197 = 0, 0803.
La probabilité que 3 cônes ou plus soient défectueux dans un lot de 2 000 cônes est de 0, 08.
2.
(a) On a λ = n × p = 2000 × 0, 0005 = 1.
(b) Un lot reste inchangé s’il y a strictement moins de 5 cônes défectueux donc :
P (Z < 5) = P (Z = 0) + P (Z = 1) + P (Z = 2) + P (Z = 3) + P (Z = 4)
= 0, 368 + 0, 368 + 0, 184 + 0, 061 + 0, 015
P (Z < 5) = 0, 996.
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✒ Exercice 2
1. On cherche P (21, 95 ≤ X ≤ 22, 05).
Or, la variable X suit la loi normale N (22; 0, 025), donc, la variable T définie par T =
normale centrée réduite N (0; 1) et on a : X = 0, 025T + 22.
X − 22
suit la loi
0, 025
P (21, 95 ≤ X ≤ 22, 05) = P (21, 95 ≤ 0, 025T + 22 ≤ 22, 05)
21, 95 − 22
22, 05 − 22
= P
≤T ≤
0, 025
0, 025
= P (−2 ≤ T ≤ 2)
= 2Π(2) − 1
= 2 × 0, 9772 − 1
= 0, 9544.
La probabilité que le bouchon soit acceptable est de 0, 95.
2.
(a) Dans cette expérience, les 80 tirages sont indépendants (puisqu’avec remise),
il n’y a que deux issues possibles : le bouchon est défectueux avec une probabilité de q = 0, 05 ou il
ne l’est pas avec une probabilité de 1 − q = 0, 95.
E(Y ) = n × q = 80 × 0, 05 = 4,
p
√
σ(Y ) = n × q × (q − 1) = 80 × 0, 05 × 0, 95 = 1, 95.
La variable Y suit donc la loi binomiale B(80; 0, 05) d’espérance 4, d’écart-type 1, 95.
(b) La variable Y1 suit une loi de Poisson P(λ) avec λ = n × q = 80 × 0, 05 = 4.
410
On a alors P (Y1 = 10) = e−4 ×
= 0, 005.
10!
L’échantillon contient 10 bouchons défectueux avec une probabilité de 0, 005.
3.
(a) La variable aléatoire X suit la loi normale N (m′ , σ ′ ) = N (22, 0, 0025), donc, la variable T définie par
X − 22
T =
suit la loi normale centrée réduite N (0, 1). On a alors X = 0, 0025T + 22.
0, 0025
P (22 − a ≤ X ≤ 22 + a) = 0, 95 ⇐⇒ P (22 − a ≤ 0, 0025T + 22 ≤ 22 + a) = 0, 95
22 − a − 22
22 + a − 22
⇐⇒ P
≤T ≤
= 0, 95
0,
0, 0025
0025
−a
a
⇐⇒ P
≤T ≤
= 0, 95
0, 0025
0, 0025 a
⇐⇒ 2Π
− 1 = 0, 95
0, 0025
a
⇐⇒ Π
= 0, 975
0, 0025
a
⇐⇒
= 1, 96
0, 0025
⇐⇒ a = 1, 96 × 0, 0025 = 0, 0049.
On trouve a = 0, 0049.
(b) La calculatrice donne m = 21, 9988 et σ = 0, 2463.
(c) La question (a) nous dit que la moyenne des diamètres à 95% de chance d’être dans l’intervalle
[ 22 − 0, 0049 ; 22 + 0, 0049 ] soit [ 21, 9951 ; 22, 0049 ].
La question (b) nous donne une moyenne de notre échantillon de 21, 9988 qui est bien dans cet
intervalle, d’où :
On peut accepter, au risque de 5%, l’hypothèse selon laquelle la machine est bien réglée.
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