Traité de stabilité des constructions. Leçons professées au

NOTIONS DE TRIGONOMETRIE IX
(c) Angles adjacents consécutifs. — Leur angle résultant.
On appelle en géométrie angles adjacents deux angles qui ont le même
Fig. 16
sommet et un côté commun, et qui, de plus, sont situés de part et d'autre de
ce côté commun.
Les conventions que nous avons faites relativement au sens positif ou néga-
tif d'un arc ou de l'angle auquel il sert de mesure vont nous permettre de
généraliser cette définition et d'appeler angles adjacents deux angles qui
ont même sommet et simplement un côté commun, sans spécifier que les
autres côtés seront de part et d'autre de ce côté commun.
Pour étudier des angles adjacents consécutifs, nous tracerons, de leur som-
met commun comme centre, un cercle trigonométrique, et nous considérerons
les arcs interceptés sur ce cercle par les différents angles.
Nous appellerons angle résultant de plusieurs angles adjacents consécu-
tifs celui qui aura pour mesure l'arc résultant des arcs qui correspondent aux
différents angles donnés.
Il est facile alors de voir que cet angle résultant est égal à la somme al-
gébrique des angles composants.
Ainsi sur la figure 16, les angles adjacents consécutifs AOB, BOC, COD,
DOE, ont pour angle résultant AOE, et l'on a toujours, grâce à la générali-
sation duc à l'emploi de quantités négatives,
AOÈ = AOB H-BOC + COD-|-DOE.
LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES
22. Définition des lignes trigonométriques.
(a) Sinus et cosinus (fig. 17).
Un angle AOM élanl donné, décrivons de son sommet comme centre un
cercle trigonométrique ; l'arc AM intercepté entre les côtés de l'angle AOM,
donne la mesure de cet angle. Cet angle sera donc défini si l'on connaît la
K'
A' f
B
&
0
Y
F
B'
<M
>
L
S K
/
T
A X
L'
Fig. 17
position du point M sur la circonférence ; on la déterminera non pas par la
longueur de l'arc AM, mais au moyen de certaines fonctions de cet arc,
qu'on appelle les lignes trigonométriques.
Menons le diamètre BB' perpendiculaire à OA ; le point A sera pris comme
origine des arcs ; nous appellerons sinus de l'arc AM la distance du point M
au diamètre OA ; elle sera mesurée par la perpendiculaire MP abaissée du
point M sur OA, et on la comptera positivement si le point M est au-des-
sus de OA, et négativement si le point M est au-dessous de OA
Si l'on désigne par a l'arc AM, on désignera son sinus par sin a.
Nous appellerons cosinus de l'arc AM la distance du point M au diamètre
BB' ; elle sera mesurée par la droite QM perpendiculaire à ce diamètre ou
par son égale OP, et on la comptera positivement si le point M est à
droite du diamètre BB', et négativement s'il est à gauche de ce diamètre.
On le désignera par cos a.
On voit donc que le sinus est l'ordonnée du point M extrémité de l'arc a,
tandis que le cosinus en est l'abscisse.
[b) Tangente et cotangente.
Menons au point A la tangente AL au cercle trigonométrique ; prolongeons
le côté OM de l'angle AOM jusqu'à sa rencontre au point T avec la droite
AL ; la ligne AT est ce que nous appellerons la tangente de l'arc AM ; nous
la compterons positivement si le point T est au-dessus du point A et néga-
tivement s'il est au-dessous.
On la désigne par tg a.
Menons au point B la tangente BK au cercle trigonométrique ; prolongeons
le côté OM de l'angle jusqu'à sa rencontre en S avec la tangente BK; la
ligne BS est ce que nous nommerons la cotangente de l'arc AM ; elle sera
comptée positivement si le point S est à droite du point B, et négative-
ment s'il est à gauche.
On la désigne par cotg a.
(c) Sécante et cosécante.
Nous appellerons sécante de l'arc AM la longueur comprise sur le rayon
OM entre le point 0 et le point T où ce rayon rencontre la tangente menée
en A au cercle. Cette longueur sera comptée positivement si le point M et
le point T sont du même côté par rapport au point 0 sur le rayon OM ;
elle sera comptée négativement si le point M et le point T sont de part et
d'autre du point 0.
On la désigne par sêc a.
La cosécante de l'arc AM est la longueur comprise sur le rayon OM entre
le point 0 et le point S où ce rayon rencontre la tangente menée en B au
cercle. Elle sera comptée positivement si le point M et le point S sont du
même côté par rapport au point 0 sur le rayon OM, et négativement si
le point M et le point S sont de part et d'autre du point 0.
On la désigne par coséc a.
Nota.— La sécante et la cosécante étant d'un usage peu fréquent, nous
n'en dirons rien de plus dans ce qui va suivre.
(d) Remarque. — Les lignes trigonométriques d'un arc sont des nombres
abstraits ; ce sont en effet les nombres qui représentent les mesures des
différentes longueurs considérées lorsqu'on prend le rayon comme unité.
Lorsque ces lignes entreront dans une expression algébrique, on devra tou-
jours les considérer comme étant du degré zéro, car ce sont des rapports.
23. "Variations des lignes trigonométriques d'un arc.
D'après les conventions que nous avons faites relativement à l'angle de
deux directions (v. n° 21), nous aurons à considérer des angles positifs ou
négatifs, mais d'une valeur absolue toujours inférieure à r: •
{a) Variations du sinus.
D'après la définition du sinus, tout arc terminé dans le premier ou dans le
deuxième quadrant aura son sinus positif ; tout arc terminé dans le
troisième ou le quatrième quadrant aura son simis négatif. Donc :
t Tout arc a positif et compris entre 0 et TT a son sinus positif; tout
« arc a négatif, compris en valeur absolue entre 0 et TT a son sinus né-
gatif. »
Un arc croissant de 0 à -, le sinus croît de 0 à 1 ; l'arc continuant à
croître de - à:, le sinus décroît de 1 à 0. (Voir plus loin le tableau ré-
sumé des variations des lignes trigonométriques.)
[b) Variations du cosinus.
Tout arc terminé dans le premier ou dans le quatrième quadrant a son
cosinus positif: tout arc terminé dans le deuxième ou le troisième qua-
drant a son cosinus négatif. Donc :
« Tout arc a, positif ou négatif, compris en valeur absolue entre 0 etï
STAB. COMP* 2