Modèles de Quillen, CIMPA/UIR, Rabat, Juillet 2016.

Introduction
Les algèbres de Lie différentielles graduées
Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Modèles de Quillen,
CIMPA/UIR, Rabat, Juillet 2016.
Youssef Rami
Université Moulay Ismail
Faculté des Sciences
11 juillet 2016
Youssef Rami
Modèles de Quillen, CIMPA/UIR, Rabat, Juillet 2016.
Introduction
Les algèbres de Lie différentielles graduées
Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
1
Introduction
2
Les algèbres de Lie différentielles graduées
3
Algèbres de Hopf différentielles graduées
4
Modèle de Quillen
Youssef Rami
Modèles de Quillen, CIMPA/UIR, Rabat, Juillet 2016.
Les algèbres de Lie (différentielles, graduées) jouent un rôle
primordiale dans plusieurs théories mathématiques et physiques (la
théorie de déformation). On introduira aussi les algèbres de Hopf
puisqu’ils forment une catégorie isomorphe (sous certaines
conditions) à celle des algèbres de Lie. En topologie algébrique,
l’algèbre de Steenrod est une algèbre de Hopf particulièrement
intéressante puisqu’elle agit sur la cohomologie à coefficients
entiers d’un espace topologique. L’interaction entre l’homotopie
rationnelle (avec ses deux approches introduites séparément par D.
Quillen et D. Sullivan), la géométrie différentielle et récemment, la
topologie des cordes a intéressé plusieurs chercheurs (cf.
[OWR-2011]). Plus récemment encore, la topologie robotique,
initiée par M. Farber qui a introduit un invariant similaire à la
LS-catégorie cat(X ) d’un espace topologique. L’étude de la version
rationnelle de celle-ci a contribué au grand développement des
techniques de l’homotopie rationnelle.
La référence de base dans ce cours est le livre de Y. Félix, S.
Halperin et J. C. Thoma [RHT]. La plus part des notations suivent
celles utilisées dans ce livre.
Introduction
Les algèbres de Lie différentielles graduées
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Modèle de Quillen
Dans ce mini-cours, K désignera un corps de caractéristique zéro.
Tous les espaces vectoriels sont au dessus de K.
Algèbre de Lie différentielle graduée
Une algèbre de Lie différentielle graduée (aldg, en abrégé) est la
donnée d’un espace vectoriel gradué, L = ⊕k∈Z Lk , muni d’une
application bilinèaire [ , ] : L ⊗ L → L de degré zéro (appelée
crochet) et d’une application linéaire ∂ : L → L de degré −1
(appelée différentielle), satisfaisants les conditions suivantes :
∀x, y , z ∈ L, homogènes,
1
2
3
4
[x, y ] = −(−1)|x||y | [y , x] ; i.e. [ , ] est antisymétrique.
[x, [y , z]] = [[x, y ], z] + (−1)|x||y | [y , [x, z]] ; i.e. [ , ] vérifie
l’identité de Jacobi.
∂[x, y ] = [∂x, y ] + (−1)|x| [x, ∂y ] ; i.e. [ , ] vérifie l’identité de
Leibnez (∂ est une dérivation).
∂ ◦ ∂ = 0.
Rami
Modèles
On dira que (L, [ , ], ∂)Youssef
est abélienne
ssi [de, Quillen,
] ≡ 0.CIMPA/UIR, Rabat, Juillet 2016.
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Algèbres de Hopf différentielles graduées
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Notons que si | x | est pair, alors [x, x] = 0 et si | x | est impair,
alors [x, [x, x]] = 0.
L’identité de Jacobi s’exprime aussi sous la forme :
(−1)|x||z| [x, [y , z]] + (−1)|y ||x| [y , [z, x]] + (−1)|z||y | [z, [x, y ]] = 0.
Exemples
Si L =: (L, [ , ], ∂) est une aldg, alors (L0 , [ , ]) est une algèbre
de Lie et inversement, toute algèbre de Lie (L, [ , ]) peut être
considérée comme aldg de différentielle nulle.
Soit (A, d) est une algèbre (associative) différentielle graduée
(adg). On définit sur A le crochet,
[a, b] = ab − (−1)|a||b| ba, ∀a, b ∈ A, homogènes.
(A, [ , ], d) est alors une aldg. Elle est abélienne ssi (A, d) est
commutative (adgc).
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Exemples
Si (V , d) est un espace vectoriel gradué (evdg)
(HomK (V , V ), ◦, D) est une adg pour D définie par
D(f ) = d ◦ f − (−1)|f | f ◦ d.
Noter alors que dans (HomK (V , V ), [ , ], D), on a
D(f ) = [d, f ].
Soir (A, d) une adgc et (L, [ , ], ∂) une aldg, l’evg A ⊗ L est
alors une aldg pour le crochet définit par :
∀a, a0 ∈ A, ∀l, l 0 ∈ L, homogènes,
0
[a ⊗ l, a0 ⊗ l 0 ] = (−1)|x||a | aa0 ⊗ [l, l 0 ]
et la différentielle δ =: ∂A⊗L (du produit tensoriel),
0
0
δ[a⊗l, a0 ⊗l 0 ] = (−1)|l||a | (d(aa0 )⊗[l, l 0 ]+(−1)|aa | aa0 ⊗∂[l, l 0 ]).
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Définition
Soient (L, [ , ], ∂) et (L0 , [ , ]0 , ∂ 0 ) deux aldg.
Un morphisme entre aldg L et L0 est un morphisme d’evg
f : L → L0 vérifiant, ∀x, y ∈ L, homogènes,
f ([x, y ]) = [f (x), f (y )]0 et ∂ 0 ◦ f = f ◦ ∂.
Une sous algèbre de Lie (resp. un idéal (à gauche)) de L est
tout sous-evdg L1 de L tel que [L1 , L1 ] ⊆ L1 (resp.
[L, L1 ] ⊆ L1 ).
Un L-module (à gauche) est tout evdg (V , d), muni d’un
produit • : L ⊗ V → V vérifiant :
∀v ∈ V , ∀x, y ∈ L, homogènes,
1
2
[x, y ] • v = x • (y • v ) − (−1)|x||y | (y • (x • v ),
d(x • v ) = ∂x • v + (−1)|x| x • dv .
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Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Si V est un L-module, le produit • induit un morphisme d’aldg
˜• : L → HomK (V , V ) définit par ˜
•(x)(v ) = x • v . On appelle ˜•,
une représentation de L par V .
Si (L, [ , ], ∂) est une aldg, alors Ker (∂) est in idéal de L et Im(∂)
en est un de Ker (∂). Il en résulte une alg quotient sur son
homologie :
H(L, ∂) = Ker (∂)/Im(∂).
Définition
Deux aldg (L, [ , ], ∂) et (L0 , [ , ]0 , ∂ 0 ) sont quasi-isomorphes s’ils
sont liées par un morphisme f : L → L0 d’aldg induisant un
isomorphisme en homologie. On note (L, [ , ], ∂) ' (L0 , [ , ]0 , ∂ 0 )
Lemme
Si (V , d) un evdg, alors (HomK (V , V ), D) est quasi-isomorphe à
son homologie, on dit alors que (HomK (V , V ), D) est une aldg
formel.
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Preuve
Pour tout entier k, fixons Hk ⊆ Zk (V , d) := Ker (dk ) tel que la
projection Hk → Hk (V , d) soit bijective. Le complexe
(H = ⊕k∈Z Hk , 0) est quasi-isomorphe à (V , d).
K = {f ∈ HomK (V , V ) | f (H) ⊆ H} est une sous-algèbre de Lie
et le diagramme de complexes (à lignes, des suites exactes ) suivant
est commutatif :
0→
K
β
α
→ HomK (V , V ) → HomK (H, V /H) → 0
↓δ
↓γ
α0
↓ Id
β0
0 → HomK (H, H) → HomK (H, V ) → HomK (H, V /H) → 0
α et δ sont des morphismes d’aldg, le complexe HomK (H, V /H)
est acyclique et γ est un quasi-isomorphisme. Il en résulte que α et
δ sont des quasi-isomorphismes.
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Dérivation et représentation adjointe
Une dérivation d’alg de degré p de (L, [ , ], ∂) est toute application
linéaire θ : L → L telle que :
θ(Lk ) ⊆ Lk+p et θ([x, y ]) = [θ(x), y ] + (−1)p|x| [x, θ(y )],
∀k ∈ Z, ∀x, y ∈ L, homogènes.
On notera par la suite Derp (L) l’evg des dérivations de degrés p de
L et Der (L) = ⊕p∈Z Derp (L). C’est une sous-algèbre de Lie de
(HomK (L, L), D).
Si x ∈ L est homogène, adx : L → L définie par
adx (y ) = [x, y ], ∀y ∈ L
est une dérivation d’aldg de degré | x |. Les adx définissent
ad : L → Der (L) qui est en fait un morphisme d’aldg. On l’appelle
représentation adjointe de L.
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Algèbre Tensorielle : Rappel
Soit V un K-evg et T (V ) = ⊕n≥0 T n (V ) (T 0 (V ) = K et
T n (V ) = V ⊗n , ∀n ≥ 1). L’isomorphisme V ⊗n ⊗ V ⊗m ∼
= V ⊗(n+m)
et l’identification T 0 (V ) = K induisent les morphismes d’evg
ϕ : T (V ) ⊗ T (V ) → T (V ), η : K → T (V ) et ε : T (V ) → K.
Proposition
(T (V ), ϕ, η, ε) une algèbre graduée, associative de multiplication
ϕ, d’unité 1T (V ) = η(1K ) et d’augmentation ε.
Si (V , d) est un evdg, la différentielle d se prolonge en une
différentielle notée aussi d : T (V ) → T (V ) et (T (V ), d) est alors
une algèbre différentielle graduée. Elle est appelée algèbre
tensorielle libre sur V et c’est un cas particulier des adg libres dû à
la propriété suivante :
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Propriété universelle
Si (A, d) est une algèbre différentielle graduée (adg) et f : V → A
est un morphisme de K-evdg, Il existe un unique morphisme d’adg
f˜ : T (V ) → A rendant le diagramme suivant commutatif
V
ι
→
&f
T (V )
↓ f˜
A
(T (V ), d) est alors unique à isomorphisme près.
Preuve : Si V0 désigne les éléments de degrés zéro de V ,f˜0 est
donnée par
ϕ0
f˜0n = f0 ⊗ f˜0n−1 : V0 ⊗ V0n−1 → A0 ⊗ A0 → A0
avec f˜00 = (η)0 : K → A0 et f˜01 = f0 : V0 → A0 . Pour les degrés
supérieurs, il faut tenir compte du signe de Koszul.
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Algèbre enveloppante
Soit (L, [ , ], ∂) une aldg. Notons I l’idéal bilatère de T (L)
engendré par
{x ⊗ y − (−1)|x||y | y ⊗ x − [x, y ], x, y ∈ L}
et ι : L → T (L) l’inclusion canonique, elle induit un morphisme
d’alg ι̃ : L → U(L), (U(L) étant muni du commutateur).
En plus, si d : T (L) → T (L) désigne l’extension de ∂, on vérifie
aisément que, ∀x, y ∈ L :
d(x ⊗ y − (−1)|x||y | y ⊗ x − [x, y ]) =
∂x ⊗ y − (−1)|∂x||y | y ⊗ ∂x − [∂x, y ]
+(−1)|x| (x ⊗ ∂y − (−1)|x||∂y | ∂y ⊗ x − [x, ∂y ]).
Par suite d induit une différentielle notée aussi d : U(L) → U(L).
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Définition
(U(L), d) =: U(L, ∂) est appelée, algèbre enveloppante de (L, ∂).
Elle est associative, d’élément unité η : K ,→ U(L) et augmentée
par ε : U(L) → K, la projection de U(L) sur U 0 (L) = K.
(U(L), d) est unique à isomorphisme près car donnée par les p. u.
de T (L) et de quotient. D’autre part
ι : (L, ∂) → U(L, ∂) est un morphisme d’aldg. Son homologie
H(ι) : H(L, ∂) → H(U(L, ∂)) est aussi un morphisme d’alg qui se
prolonge en un morphisme d’ag : UH(ι) : UH(L, ∂) → H(U(L, ∂)).
Théorème
1 UH(ι) : UH(L, ∂) → H(U(L, ∂)) est un isomorphisme d’ag.
2
Tout morphisme d’aldg ϕ : (L, ∂) → (L0 , ∂ 0 ) est un
quasi-isomorphisme ssi U(ϕ) : U(L, ∂) → U(L0 , ∂ 0 ) est un
quasi-isomorphisme d’adg.
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La preuve du Théorème repose sur la version utile suivante du
résultat intéressant dans ce contexte à savoir, le de Théorème
Poincaré-Birkoff-Witt.
Proposition
Un isomorphisme naturel d’evg, γ : Λ(L) → U(L) est donné par :
γ(x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xk ) =
1 X
εσ ι(xσ(1) )ι(xσ(2) ) . . . ι(xσ(k) ).
k!
σ∈Sk
εσ étant le signe de Koszul de la permutation σ ∈ Sk .
avec
Λ(L) = T (L)/ < x ⊗ y − (−1)|x||y | y ⊗ x, x, y ∈ L >
désignant l’algèbre graduée commutative libre sur L (obtenu en
utilisant la p. u. de T (V ) et celle de quotient) et
x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xk ∈ Λk (L) un élément de longueur k dans
Λ(L) = ⊕k≥0 Λk (L).
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Preuve du théorème
La différentielle d : T (L) → T (L) induit celle de Λ(L) de sorte que
γ devient un morphisme d’evdg. Prenons une décomposition
∼
=
L = H ⊕ V ⊕ W telle que d|H = 0 et d : V → W et par suite
H(Λ(V ⊕ W )) = K ce qui identifie H et H(L). (ΛH, 0) est ainsi
quasi-isomorphe à (ΛL, d) et les morphismes
∼
=
γ(H(L))
H(γ)
ΛH(L) → UH(L) → H(UL) et Λ(H(L)) → H(ΛL) → H(UL)
sont alors identiques. Mais γ et H(γ) sont des isomorphismes, par
suite UH(L) ∼
= H(UL).
La seconde assertion est dû à la possible identification de H(U(ϕ))
et ΛH(ϕ) par les isomorphismes UH(ι) et γ.
Remarque
U(L, ∂) permet d’interpréter les (L, ∂)-modules comme des
U(L, ∂)-modules. U est un foncteur entre les catégories aldg et adg.
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Coalgèbres différentielles graduées
Un evg C = ⊕k∈Z Ck est une coalgèbre graduée (cg) s’il est muni
de deux morphismes d’evg ∆ : C → C ⊗ C et ε : C → K tels que
(∆ ⊗ id) ◦ ∆ = (id ⊗ ∆) ◦ ∆ et (ε ⊗ id) ◦ ∆ = (id ⊗ ε) ◦ ∆.
C est dite cocommutative si en plus τ ◦ ∆ = ∆ avec
0
τ (c ⊗ c 0 ) = (−1)|c||c | c 0 ⊗ c, ∀c, c 0 ∈ C .
Une codérivation de degré p de la coalgèbre (C , ∆, ε) est toute
application linéaire θ : C → C telle que | θ |= p et
∆ ◦ θ = (θ ⊗ id + id ⊗ θ) ◦ ∆ et ε ◦ θ = 0.
(C , ∆, ε) est dite différentielle si elle est munie d’une codérivation
δ de degré −1 telle que δ ◦ δ = 0.
(C , ∆, ε) est dite coaugmentée si il existe un morphisme d’evg
η : K → C tel que η(1) = 1C ∈ C0 vérifie ε(1C ) = 1 et
∆(1C ) = 1C ⊗ 1C .
Un morphisme entre deux coalgèbres (coaugmentées) est tout
morphisme ϕ : C → C 0 tel que (ϕ ⊗ ϕ) ◦ ∆ = ∆0 ◦ ϕ et ε = ε0 ◦ ϕ.
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Algèbres de Hopf différentielles graduées
On appelle algèbre de Hopf différentielle graduée (ahdg), tout evg
(G , µ, η, ∆, ε, d) tel que
1
(G , µ, η) est une ag de multiplication µ : G ⊗ G → G et
d’unité η : K → G , i.e. η(1) = 1G ∈ G0 et
1G a = a1G , ∀a ∈ G .
2
(G , ∆, ε) est une cg coaugmentée par η, de comultiplication
∆ : G → G ⊗ G et de counité ε : G → K,
3
∆ et ε sont des morphismes d’ag.
4
d est une différentielle compatible avec les autres structures.
Comme conséquence de la définition, µ et η sont des morphismes
de cg et η est une coaugmentation.
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Introduction
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Modèle de Quillen
Si L une alg, L × L := L ⊕ L muni du crochet
[(x, y ), (x 0 , y 0 )] = ([x, x 0 ], [y , y 0 ]), ∀(x, y ) ∈ Lp ×Lp , (x 0 , y 0 ) ∈ Lq ×Lq
est une alg.
ı : L × L → U(L) ⊗ U(L); ı(x, y ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ y , ∀x, y ∈ Lp .
est un morphisme d’evg. La p. u. de U(L), entraine alors que l’on a
un isomorphisme d’ag :
U(L × L) ∼
= U(L) ⊗ U(L).
Soit ∆ : L → L × L la diagonale de L. ı ◦ ∆ : L → U(L) ⊗ U(L) se
prolonge aussi d’une façon unique à un morphisme d’ag
U(∆) : U(L) → U(L) ⊗ U(L),
et on a :.
Proposition
(U(L, ∂), µ, U(∆), η, ε) est une ahdg cocommuative.
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Introduction
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De la même manière on montre que : Λ(L × L) ∼
= Λ(L) ⊗ Λ(L) est
un isomorphisme d’agc. et que Λ(∆) : Λ(L) → Λ(L) ⊗ Λ(L) est
l’unique morphisme d’agc. prolongeant ı ◦ ∆ : L → Λ(L) ⊗ Λ(L).
Si η : K → Λ(L) et ε : Λ(L) → K sont les morphismes d’evdg
provenant de ceux de T (L), (Λ(L), Λ(∆), η, ε) est alors une cg.
coaugmentée.
¯ est définie par
Sa diagonale réduite ∆
¯
∆(x)
= Λ(∆)(x) − (x ⊗ 1 + 1 ⊗ x).
¯ : Λ(L) → Λ(L) ⊗ Λ(L) est un morphisme
Notons Λ(L) = Ker (ε), ∆
d’evg.
Posons par récurrence :
¯ (0) = id , ∆
¯ (1) = ∆
¯
∆
C̄
¯ ⊗ id . . . ⊗ id ◦ ∆
¯ (n−1) ) : C̄ → C̄ ⊗(n+1) .
= (∆
C̄
C̄
¯ (n) = Λ≤n L et donc Λ(L) = ∪Ker (∆)
¯ (n) . Ceci exprime que
Ker (∆)
Λ(L) est une cg. conilpotente.
¯ (n)
∆
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Introduction
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Modèle de Quillen
La différentielle ∂ se prolonge alors d’une façon unique en une
différentielle δ : Λ(L) → Λ(L).
Proposition
(Λ(L, ∂), µ, Λ(∆), η, ε) est une ahdg commutative.
Théorème
L’isomorphisme d’evg γ : Λ(L)P→ U(L) donné par :
1
γ(x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xk ) = k!
σ∈Sk εσ ι(xσ(1) )ι(xσ(2) ) . . . ι(xσ(k) )
est en fait un isomorphisme de cdg.
Soit G une ahdg. Le sevg
¯ vérifie
P(G ) = {x ∈ G | ∆(x) = 1G ⊗ x + x ⊗ 1G } = Ker (∆)
d(P(G )) ⊆ P(G ) et
∀x, y ∈ P(G ), ∆([x, y ]) = 1G ⊗ [x, y ] + [x, y ] ⊗ 1G .
(P(G ), ∂) ,→ (G , d) se prolonge alors en un morphisme d’ahg.
σ : (UP(G ), d) → (G , d).
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Introduction
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Modèle de Quillen
Définition
(P(G ), ∂) est appelée algèbre de Lie différentielle graduée des
éléments primitifs de G .
Corollaire
1 L’inclusion ι : L → U(L) est un isomorphisme de L sur P(UL) :
PU(L) = L.
2
L’application canonique UH(ι) : UH(L, ∂) → H(U(L, ∂)) est
un isomorphisme d’ahg.
En effet P(Λ(L)) = L et γ préserve les éléments primitifs. Pour la
seconde, on utilise l’isomorphisme d’ahg
'
Λ(H(L, ∂)) → H(Λ(L, ∂)).
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Introduction
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Modèle de Quillen
Considérons une algèbre tensorielle (T (V ), d) avec V un evg.
Algèbre de Lie libre
On appelle algèbre de Lie libre sur V , la sous algèbre de Lie de
T (V ) (muni du son commutateur) engendrée par V . On la note
LV .
Proposition
T (V ) = U(LV ) et par suite LV = P(TV ).
En effet LV → T (V ) se prolonge en un morphisme d’ag.
U(LV ) → T (V ) et d’autre part l’inclusion V ,→ LV ,→ U(LV ) se
prolonge en un morphisme d’ag. T (V ) → U(LV ). Ensuite V
engendre LV en tant qu’alg. et donc il engendre U(LV ) en tant
qu’ag. Les deux morphismes sont identiques sur V , ce qui entraine
que T (V ) = U(LV ).
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Introduction
Les algèbres de Lie différentielles graduées
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Modèle de Quillen
Pour la seconde égalité, notons que la structure d’algèbre de Hopf
cocomutative sur U(LV ) coïncide avec celle définie sur l’algèbre
tensorielle T (V ) muni de l’unique morphisme d’ag,
∆0 : T (V ) → T (V ) ⊗ T (V ) telle que ∆0 (x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x.
Théorème de Quillen
Si (G , d) est une ahdg cocommutative et conilpotente (i.e.
¯ (n) ), alors σ est un isomorphisme : UP(G ) ∼
G = ∪Ker (∆)
= G.
Le corollaire précédent et le théorème de Quillen montrent que les
foncteurs U et P sont inverses l’un de l’autre entre la catégorie des
aldg. et celle des ahdg. commutatives et conilpotents.
L’égalité LV = P(TV ) est aussi une conséquence du théorème de
Quillen puisque l’on a alors UP(TV ) ∼
= TV = U(LV ).
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Introduction
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Modèle de Quillen
Cobar construction
Considérons (C , δ) une cdg. cocommutative et coaugmentée par
ε : C → K. Notons C̄ = Ker (ε). La Cobar construction de (C , δ)
est l’ahdg. cocommutative Ω(C ) = T (s −1 C̄ ) augmentée par
ε : T (s −1 C̄ ) → T 0 (s −1 C̄ ) = K et muni de la différentielle
d = d0 + d1 définie par :
X
d0 (s −1 x) = −s −1 δx et d1 (s −1 x) =
(−1)|xi | s −1 xi ⊗s −1 yi , ∀x ∈ C̄
i≥1
¯
où ∆(x)
=
P
i≥1 xi
⊗ yi et (s −1 v , | s −1 v |) = (v , | v | −1), ∀v ∈ C̄ .
Rappelons que celle-ci à été introduite par J. F. Adams pour établir
l’équivalence Ω(C∗ (X )) ' C∗ (Ω(X )).
Ω est en fait un foncteur de la catégorie des cdg. cocommutatives
dans celle des ahdg.
Youssef Rami
Modèles de Quillen, CIMPA/UIR, Rabat, Juillet 2016.
Introduction
Les algèbres de Lie différentielles graduées
Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Construction de Quillen
¯
Par cocommutativité de ∆ on a, ∆(x)
=
par suite :
1
2
P
=
1
2
P
=
1
2
P
P
|xi ||yi | y
i
i≥1 (−1)
⊗ xi ,
|xi | −1 x ⊗ s −1 y
i
i
i≥1 ((−1) s
|x
|(1+|y
|)
−1
−1
i
i
+(−1)
s yi ⊗ s xi )
d1 (s −1 x) =
|xi | −1 x ⊗ s −1 y
i
i
i≥1 (−1) (s
(|x
)|−1)(|y
|−1)
−1
−1
i
−(−1) i
s yi ⊗ s xi )
i≥1 (−1)
|xi | [s −1 x , s −1 y ].
i
i
et donc d1 (s −1 x) ∈ Ls −1 C̄ . Mais T (s −1 C̄ ), étant une algèbre de
Lie, d1 est une dérivation de Lie qui préserve Ls −1 C̄ . Il en résulte
que (Ls −1 C̄ , d = d0 + d1 ) est une aldg. En plus on a
Ω(C ) = T (s −1 C̄ ) = U(Ls −1 C̄ ).
Youssef Rami
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Introduction
Les algèbres de Lie différentielles graduées
Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Définition
L(C , δ) := (Ls −1 C̄ , d) est appelée construction de Quillen de
(C , δ).
Le foncteur L est lié à un autre foncteur de Quillen noté C∗
généralisant le foncteur de Cartan-Eilenberg-Chevalley au cas
différentiel.
Soit donc (L, ∂) une aldg. Notons (sL, ∂) la suspension de (L, ∂)
caractérisé par (sx, | sx |) = (x, | x | +1) ⇔ (sL)k = Lk−1 et
∂(sx) = −s∂(x). On a alors
C∗ (L, ∂) = (Λ(sL), d = d0 + d1 ), avec
d0 (sx1 ∧ . . . ∧ sxk ) =
k
X
±sx1 ∧ . . . ∧ s∂(xi ) ∧ . . . ∧ sxk et
i=1
d1 (sx1 ∧. . .∧sxk ) =
X
±s[xi , xj ]∧sx1 ∧. . .∧sx
ˆi ∧. . . sx
ˆj ∧. . .∧sxk .
1≤i<j≤k
Youssef Rami
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Introduction
Les algèbres de Lie différentielles graduées
Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Théorème
Soient (L = ⊕i≥1 Li , ∂) une aldg connexe et (C = K ⊕ C≥2 , d) une
cdg. cocommutative. Il existe deux quasi-isomorphismes naturels
'
'
ϕ : (C , d) → C∗ L(C , d) et ψ : LC∗ (L, ∂) → (L, ∂)
de cdg et d’aldg respectivement.
Modèle libre
Le modèle libre d’une aldg. connexe (L = ⊕i≥1 Li , ∂) est la donnée
'
d’un quasi-isomorphisme m : (LV , d) → (L, ∂) où V = ⊕i≥1 Vi .
L’existence du modèle minimal est assuré par le quasi-isomorphisme
ψ du théorème précédant et par la construction de Quillen.
Notons dV la partie linéaire de la différentielle d de LV définie par
(k)
la relation d(x) − dV (x) ∈ ⊕k≥2 LV , ∀x ∈ V avec
(k)
LV = LV ∩ T k (V ).
Youssef Rami
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Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Modèle libre minimal
Le modèle libre (LV , d) est dit minimal, si dV est nulle.
Remarque
On montre que le modèle minimal est unique à isomorphisme près.
En effet par an raisonnement utilisant les suites spectrales, on
montre que si ϕ : (L, ∂) → (L0 , ∂ 0 ) est un morphisme d’aldg
connexes, alors ϕ est un quasi-isomorphisme ssi C∗ (ϕ) en est un.
Ensuite si L = LV et L0 = LV 0 et si ϕV est donné par la relation :
(≥2)
ϕ − ϕV : V → LV 0 , alors ρ : (C∗ (LV ), d) → (sV ⊕ K, dV ) avec
(sLV ⊕K)
V)
ρ : C∗ (LV ) = Λ(sLV ) → ΛΛ(sL
≥2 (sL ) = sLV ⊕ K → s(L(≥2) ) → sV ⊕ K
V
et dV (sv ) = −sdV (v ), alors C∗ (ϕ) est un quasi-isomorphisme ssi
ϕV en est un.
Enfin deux modèles minimaux LV et LV 0 sont quasi-isomorphes et
tels que dV = dV 0 = 0. D’où H(ϕV ) = ϕV est un isomorphisme.
Youssef Rami
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Introduction
Les algèbres de Lie différentielles graduées
Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Considérons une aldg (L, ∂) de type fini.
Le dual (C ∗ (L, ∂) = Hom(C∗ (L, ∂), K) est une adg commutative
munie du produit et de la différentielle définis par :
∀f , g ∈ Hom(C∗ (L), K), ∀x ∈ C∗ (L)
µ(f , g )(x) = (f ⊗ g )(∆(x)) et d(f (x)) = −(−1)|f | f (dx).
On suppose par la suite que (L, ∂) est 1-réduite et de type fini c.à.d.
L = ⊕i≥1 Li et dim(Li ) < ∞, ∀i,
de sorte que C ∗ (L) = (ΛV , d = d0 + d1 ) avec : ∀v ∈ V , x, y ∈ L,
(i) V = ⊕≥2 V i ∼
= (sL)] , le dual de sL,
(ii) < d0 (v ), sx >= (−1)|v | < v , s∂(x) >,
(iii) < d1 (v ), sx ∧ sy >= (−1)|y |+1 < v , s[x, y ] >,
En conséquence C ∗ (L, ∂) = (ΛV , d) est une algèbre de Sullivan.
Youssef Rami
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Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Réciproquement, si (ΛV , d) une algèbre de Sullivan avec
V = ⊕p≥2 V p de type fini et d = d0 + d1 . (L = s −1 V ] , [ , ], ∂)
vérifiant les propriétés (i), (ii) et (iii), est l’unique aldg. 1-réduite
telle que (ΛV , d) = C ∗ (L, ∂).
Exemple
Considérons l’aldg (de différentielle ∂ nulle)

 Kv ,
si | v |= 2n,
L(v ) =
 Kv ⊕ K[v , v ], si | v |= 2n + 1,
Notons V = (sL(v ))] de base duale {e = (sv )] } ou
{e = (sv )] , e 0 = (s[v , v ])] }. Les relations (ii), (iii) entrainent que :
a d0 = 0 puisque ∂ = 0,
b < d1 (e), sv ∧ sv >= (−1)|e| < (sv )] , s[v , v ] >= 0,
c < d1 (e 0 ), sv ∧ sv >= (−1)|v |+1 < (s[v , v ])] , s[v , v ] >= +1.
Youssef Rami
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Modèle de Quillen
Exemple (suite)
Il en résulte que :

 (Λ(e), 0),
| e |= 2n + 1,
C ∗ (L(v )) =
 (Λ(e, e 0 ), de 0 = e 2 ), | e |= 2n + 2,
qui est en fait le modèle minimal de la sphère Sk avec
k ≥ 2, k = 2n ou 2n + 1.
Partant maintenant d’une adg commutative de type fini 1-connexe
(A = K ⊕ A≥2 ). Son dual (C , dC ) = (A] , d) est une cdg
cocommutative de coproduit et de différentielle définis par :
∆(f ) = f ◦ µ ∈ (A ⊗ A)] ∼
= A] ⊗ A] , et dC (f ) = −f ◦ d.
'
Posons L(A,d) = L(C , d), on a alors C ∗ (L(A,d) ) → (A, d) est un
modèle de Sullivan de (A, d). En plus il est fonctoriel.
Youssef Rami
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Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Modèle minimal d’une algèbre de Sullivan
On appelle modèle de Lie minimal de (A, d) toute aldg libre
minimale (LV , d) munie d’un quasi-isomorphisme
'
(LV , d) → L(A,d) .
Si (ΛW , d) est une algèbre de Sullivan minimale,
'
C ∗ (L(ΛW ,d) ) → (ΛW , d) construit ci-dessus a un inverse
homotopique (Prop. 12.9. dans [RHT])
'
θ : (ΛW , d) → C ∗ (L(ΛW ,d) ).
'
Notons (LV , ∂) → L(ΛW ,d) un modèle de Lie minimal de
(ΛW , d), en appliquons le foncteur C∗ et en passant au dual, on
obtient le quasi-isomorphisme
'
θ0 : C ∗ (L(ΛW ,d) ) → C ∗ (LV , ∂).
Youssef Rami
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Introduction
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Modèle de Quillen
La composée
'
θ0 ◦ θ : (ΛW , d) → C ∗ (LV , ∂)
est un modèle minimal de C ∗ (LV , ∂).
Proposition
Avec les mêmes notations, on a :
W ∼
= [sH(LV , ∂)]]
et
H + (ΛW , d) ∼
= (sV )] .
Modèle Minimal d’un espace topologique
Soit X un espace topologique simplement connexe et d’homologie
rationnelle de type fini.
On appelle modèle de Lie de X toute aldg (L, ∂) munie d’un
'
quasi-isomorphisme (C ∗ (L, ∂) → APL (X ).
Si L = LV est libre (resp. minimal) on dira que le modèle est
libre (resp. minimal).
Youssef Rami
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Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
En particulier, soit (LV , ∂) un modèle de Lie minimal de X et
(ΛW , d) un modèle minimal de Sullivan de celui-ci, on a alors un
quasi-isomorphisme (composé)
'
'
(ΛW , d) → C ∗ (LV , ∂) → APL (X ).
Le second induit (après passage au dual) l’isomorphisme
∼
=
H∗ (X , K) → H∗ (C∗ (LV , ∂)). Utilisant ensuite le
'
quasi-isomorphisme ρ : C ∗ (LV , ∂) → (sV ⊕ K, d¯V ) (cf. Remarque
précédente), on obtient l’isomorphisme
sH(V , dV ) ⊕ K ∼
= H∗ (X , K).
En particulier, si (LV , ∂) est minimal, alors H∗ (X , K) ∼
= sV ⊕ K
−1 H̃ (K , K).
ou d’une façon équivalente V ∼
s
=
∗
Youssef Rami
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Introduction
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Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Produits de Whitehead et de Samelson
Ces produits (classiques) sont définis de plusieurs façons. On définit
le produit de Whitehead partant des deux lemmes suivants :
Soient n, m ≥ 1 fixés.
Lemme 1.
Le groupe d’homotopie relatif πq (S n × S m , S n ∨ S m ) est nul pour
q < n + m et isomorphe à Z pour q = n + m.
Preuve
Comme S n ∨ S m est le (n + m − 1)-squelette de S n × S m , la paire
(S n × S m , S n ∨ S m ) est (n + m − 1)-connexe. D’où le résultat pour
q < n + m. Pour q = n + m on applique le théorème d’Hurewicz
relatif : πn+m (S n × S m , S n ∨ S m ) = Hn+m (S n × S m , S n ∨ S m ).
Mais S n × S m a une unique (n + m)-cellule, donc ce dernier groupe
est Z.
Youssef Rami
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Modèle de Quillen
Lemme 2.
On a un isomorphisme naturel
πq (S n ∨ S m ) ∼
= πq (S n ) ⊕ πq (S m ) ⊕ πq+1 (S n × S m , S n ∨ S m ).
Preuve
On utilise la suite longue de la paire (S n × S m , S n ∨ S m ) :
. . . → πq+1 (S n × S m , S n ∨ S m ) → πq (S n ∨ S m ) →
→ πq (S n × S m ) → πq (S n × S m , S n ∨ S m ) → . . . .
Maintenant πq (S n × S m ) ∼
= πq (S n ) ⊕ πp (S m ) et les injections
n
n
m
in : S ,→ S ∨ S et im : S n ,→ S n ∨ S m définissent une section de
πq (S n ∨ S m ) → πq (S n × S m ). Par suite la suite
∂
0 → πq+1 (S n × S m , S n ∨ S m ) → πq (S n ∨ S m ) → πq (S n × S m ) → 0
est exacte scindée.
Youssef Rami
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Modèle de Quillen
Soient [an ] ∈ πn (S n , s0 ), [am ] ∈ πm (S m , s0 ). On identifie
an : S n → S n à an : (I n , ∂I n ) → (S n , s0 ) et de même pour am . Mais
In × Im ∼
= I n+m et ∂(I n × I m ) = I n × ∂I m ∪ ∂I n × I m par suite
an × am : (I n × I m , ∂(I n × I m ), ∗) → (S n × S m , S n ∨ S m , s0 ) définie
une classe
[an × am ] ∈ πn+m ((S n × S m , S n ∨ S m , s0 ) ∼
= πn+m (S n+m , s0 ). On
prend les homéomorphismes naturels an et am et on note
∂[an × am ] =: [an,m ] avec an,m : (S n+m−1 , s0 ) → (S n ∨ S m , ∗).
Enfin si [g ] ∈ πn (X , x0 ) et [h] ∈ πm (X , x0 ), alors g et h définissent
g ∨ h : (S n ∨ S m , ∗) → (X , x0 ).
Définition
Le produit de Whitehead
[ , ]W : πn (X , x0 ) × πm (X , x0 ) → πn+m−1 (X , x0 )
est définit par la relation : [g , h]W = [g ∨ h ◦ an,m ].
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Modèle de Quillen
Maintenant la fibration Ω(X ) → P(X ) → X induit l’isomorphisme
∂∗ : π∗ (Ω(X ), ∗) ∼
= π∗+1 (X , x0 ), ce qui détermine le produit de
Samelson
[ , ] : πn (Ω(X ), ∗) × πm (Ω(X ), ∗) → πn+m (Ω(X ), ∗)
par la relation
[α, β] = (−1)|α|+1 ∂∗ ([∂∗−1 α, ∂∗−1 β]W ).
Théorème
Soit X est espace topologique simplement connexe. Alors
1
(πn (Ω(X ), ∗) ⊗ K, [ , ]) est une alg.
2
L’homomorphisme d’Hurewicz se prolonge à un isomorphisme
d’ahg :
U(π∗ (Ω(X ), ∗) ⊗ K) ∼
= H∗ (Ω(X ), K).
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Modèle de Quillen
Théorème
Soit X un espace topologique simplement connexe et d’homologie
rationnelle de type fini et (LV , ∂) un modèle de Lie minimal de X .
Alors on a un isomorphisme
∼
=
τLV : sH(LV , ∂) → π∗ (X , x0 ) ⊗ K.
et s[α, β] est identifié à (−1)|α| [τLV (sα), τLV (sβ)]W .
On utilise ce théorème
` pour définir un modèle de Lie libre de tout
espace Y = X ∪f ( α D nα +1 ) (nα ≥ 2, les cellules attachées sont
au nombre fini pour chaque dimension) à partir de celui de X .
En effet si (LV , ∂) un modèle de Lie (minimal) de X , pour toute
application d’attache fα : (S nα , s0 ) → (X , x0 ), sa classe
d’homotopie [fα ] détermine un antécédent s[zα ] ∈ sH(LV , ∂).
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Modèle de Quillen
Notons W un evg engendré par une base {wα , | wα |= nα } et
prolongeons (LV , ∂) à (LV ⊕W , ∂) avec ∂(wα ) = zα . On a alors :
Théorème
(LV ⊕W , ∂) est un modèle de Lie libre de Y .
Remarque
Comme applications à ce théorème, étant donné un CW-complexe
connexe de type fini et sans 1-cellules. Si (LV<n , ∂) désigne un
modèle du squelette X (n) , X (n+1) a pour modèle
(LV<n+1 , ∂) = (LV<n ⊕Vn , ∂) avec Vn un evg de base {vα , | vα |= n}
correspondante aux cellules de dimensions n + 1 de X et les
s[∂(vα )] ∈ sH(LV<n , ∂) antécédents des classes d’homotopie de
leurs applications d’attache. Un tel modèle est appelé modèle
cellulaire de Lie de X .
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Modèle de Quillen
Remarque (suite)
Réciproquement, étant donné une aldg (LV , ∂), 1-réduite de type
fini sur Q. Supposons que (LV<n , ∂), un modèle de Lie libre de X (n)
est construit et soit [fα ], l’unique image de s[∂(vα )] ∈ sH(LV<n )
par l’isomorphisme sH(LV<n , ∂) ∼
= π∗ (X (n) , x0 ) ⊗ Q.
On pose alors
a
X (n+1) = X (n) ∪{fα } ( D n+1 ).
α
Par le théorème précédent, si Vn est l’espace vectoriel de base
{vα }, alors (LV<n+1 , ∂) = (LV<n ⊕Vn , ∂) est un modèle de Lie libre
de X (n+1) . On termine alors par récurrence sur n et on construit en
'
fait un quasi-isomorphisme C ∗ (LV , ∂) → (APL (X ) de sorte que
(C ∗ (LV , ∂) définisse un modèle de Lie cellulaire de X .
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Exemples
W
`
(a) X = α Snα +1 = {pt} ∪{fα } ( α D n+1 ) et par suite (LV , 0)
avec V = ⊕Vα de type fini, Vα de base correspondante aux
[fα ] est un modèle cellulaire de X .
(b) Notons X = S3a ∨ S3b ∪[α,[α,β]W ]W D 3 avec α, β ∈ π3 (S3a ∨ S3b )
les classes des injections S3a ,→ S3a ∨ S3b et S3b ,→ S3a ∨ S3b
respectivement (voir preuve du Lemme 2). Si (L(v , w ), 0)
désigne le modèle cellulaire de S3a ∨ S3b , v et w correspondants
à α et β, avec | v |=| w |= 2, l’isomorphisme du théorème
identifie alors s[v , [v , w ]] à [α, [α, β]W ]W . Ainsi on obtient un
modèle cellulaire de X de la forme
(L(v , w , u), ∂(u) = [v , [v , w ]]).
Youssef Rami
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Modèle de Quillen
Références :
[ABCW] Differential Graded Algebras and Applications.
«www.maths.ed.ac.uk/mbooth/files//hodgeproject.pdf»
[RHT] Y. Félix, S. Halperin and J. C. Thomas, Rational Homotopy
theory, Springer, GTM 205 (2001).
[OWR-2011] Rational Homotopy Theory in Mathematics and
Physics, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, April 2nd
- April 8th, 2011, Organized by John Oprea and Daniel Tanré.
[S] J. P. Serre, Groupes d’homotopie des bouquets des sphères,
Séminaire Hanri Cartan, tome 7, no 2 «www.numdam.org».
Youssef Rami
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