Modèles de Quillen, CIMPA/UIR, Rabat, Juillet 2016.

Introduction
Les algèbres de Lie différentielles graduées
Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Modèles de Quillen,
CIMPA/UIR, Rabat, Juillet 2016.
Youssef Rami
Université Moulay Ismail
Faculté des Sciences
11 juillet 2016
Youssef Rami Modèles de Quillen, CIMPA/UIR, Rabat, Juillet 2016.

Introduction
Les algèbres de Lie différentielles graduées
Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
1Introduction
2Les algèbres de Lie différentielles graduées
3Algèbres de Hopf différentielles graduées
4Modèle de Quillen
Youssef Rami Modèles de Quillen, CIMPA/UIR, Rabat, Juillet 2016.

Les algèbres de Lie (différentielles, graduées) jouent un rôle
primordiale dans plusieurs théories mathématiques et physiques (la
théorie de déformation). On introduira aussi les algèbres de Hopf
puisqu’ils forment une catégorie isomorphe (sous certaines
conditions) à celle des algèbres de Lie. En topologie algébrique,
l’algèbre de Steenrod est une algèbre de Hopf particulièrement
intéressante puisqu’elle agit sur la cohomologie à coefficients
entiers d’un espace topologique. L’interaction entre l’homotopie
rationnelle (avec ses deux approches introduites séparément par D.
Quillen et D. Sullivan), la géométrie différentielle et récemment, la
topologie des cordes a intéressé plusieurs chercheurs (cf.
[OWR-2011]). Plus récemment encore, la topologie robotique,
initiée par M. Farber qui a introduit un invariant similaire à la
LS-catégorie cat(X)d’un espace topologique. L’étude de la version
rationnelle de celle-ci a contribué au grand développement des
techniques de l’homotopie rationnelle.
La référence de base dans ce cours est le livre de Y. Félix, S.
Halperin et J. C. Thoma [RHT]. La plus part des notations suivent
celles utilisées dans ce livre.

Introduction
Les algèbres de Lie différentielles graduées
Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Dans ce mini-cours, Kdésignera un corps de caractéristique zéro.
Tous les espaces vectoriels sont au dessus de K.
Algèbre de Lie différentielle graduée
Une algèbre de Lie différentielle graduée (aldg, en abrégé) est la
donnée d’un espace vectoriel gradué, L=⊕k∈ZLk, muni d’une
application bilinèaire [,] : L⊗L→Lde degré zéro (appelée
crochet) et d’une application linéaire ∂:L→Lde degré −1
(appelée différentielle), satisfaisants les conditions suivantes :
∀x,y,z∈L, homogènes,
1[x,y] = −(−1)|x||y|[y,x]; i.e. [,]est antisymétrique.
2[x,[y,z]] = [[x,y],z]+(−1)|x||y|[y,[x,z]] ; i.e. [,]vérifie
l’identité de Jacobi.
3∂[x,y]=[∂x,y]+(−1)|x|[x, ∂y]; i.e. [,]vérifie l’identité de
Leibnez (∂est une dérivation).
4∂◦∂=0.
On dira que (L,[,], ∂)est abélienne ssi [,]≡0.
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Introduction
Les algèbres de Lie différentielles graduées
Algèbres de Hopf différentielles graduées
Modèle de Quillen
Notons que si |x|est pair, alors [x,x] = 0 et si |x|est impair,
alors [x,[x,x]] = 0.
L’identité de Jacobi s’exprime aussi sous la forme :
(−1)|x||z|[x,[y,z]] + (−1)|y||x|[y,[z,x]] + (−1)|z||y|[z,[x,y]] = 0.
Exemples
Si L=: (L,[,], ∂)est une aldg, alors (L0,[,]) est une algèbre
de Lie et inversement, toute algèbre de Lie (L,[,]) peut être
considérée comme aldg de différentielle nulle.
Soit (A,d)est une algèbre (associative) différentielle graduée
(adg). On définit sur Ale crochet,
[a,b] = ab −(−1)|a||b|ba,∀a,b∈A,homogènes.
(A,[,],d)est alors une aldg. Elle est abélienne ssi (A,d)est
commutative (adgc).
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