Quelques propriétés des algèbres de Hopf, applications

Séminaire Henri Cartan
H. C ARTAN
Quelques propriétés des algèbres de Hopf, applications
à l’algèbre de Steenrod
Séminaire Henri Cartan, tome 11, no 2 (1958-1959), exp. no 12, p. 1-18
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1958-1959__11_2_A3_0>
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Séminaire H. CARTON,
E. N.
12-01
S.9 1958/59
2
PROPRIÉTÉS
1959
mars
ALGÈBRES DE HOPF,
APPLICATIONS À L’ALGÈBRE DE STEENROD
QUELQUES
DES
par H. CARTAN
1. Eléments
Soit
A
décomposables, éléments primitifs.
algèbre
~
sur un
et notons
corps
identité. On notera
=
La
(pour simplifier,
du corps de base K
l’injection canonique
une
avec élément unité. Notons
algèbre graduée augmentée,
une
l (A)
ô
le noyau de
on
K~ ~
r~~
suppose
que
l’augmentation. On a
~, 9 qui s’identific au
A
est
conoyau
multiplication
.
~p :
induit
une
(les produits
A@’
pris
K)
sur
application
par abus de
I (A)
appelés élérents décomposables de
langage, éléments décompesables de k) . On notera Q(A)
Les éléments de l’ image de
yau
tensoriels sont
r
sont
....._..~,...~..~...
l.a,
de
.
Par abus de
langage,
...
base(homogène) de Q(A) ,
éléments d’une
teurs" de
engendre A,
appelle éléments indécomposables les élémsnts .de Q(à)
un espace vectoriel gradué. Si on relevé dans
I (A) les
on
est
Observons que
et tout
Soit maintenant
A
"système minimal
algèbre à élément unité) : un
on
obtient
un
(considérée comme
vrai sous-système ne l’engendre
une
graduées 6 ::
toujours I (A) le noyau
bres
génératel système
de
pas.
coalgèbre graduée, munie de deux applications de coalgèet ~ : K~A ,
identité. Soit
telles que ~ o
de
Ç , identifié
au
conoyau de
~ .
Il existe
’
cation linéaire
et
cono-
une
seule induite
c’est-à-dire telle que le diagramme
P(A)
I ( ~~) ,
soit commutatif. Le noyau
des éléments
A . Si
on
primitifs
suppose,
ce
c’est-à-dire que les
sont l’identité
do
soit
Alors
une
algèbre
dualité,
gonal
du sous-espace
0
l’Exposé 10 y
de
~I (A} ~ I(A)
sont
application liné-
De
plus
un
sous.espace, et
ona une
Q(A)
un
espa-
,
de
Hopf
I(A) et I(A*)
éléments décomposables de
duale. Alors
P(A) . On
Q(A) et
s’identifie à la
obtient donc
u
sont
en
I(A-)
dualité. Dans
est l’ortho-
Q (A~ }
dualité naturelle entre
une
sont
on
dualité. De plus , l’application
transposée
de
l’application P(A) --~Q (A) .
le soin de démontrer les deux pro-
au
PROPOSITION i. - Soient
ot
v
-~. ; ~
~~, ;.53
deux éléments
et theorem
homogènes
de
4 o C’ 9
P(A) ,
de
p.
2~} â
dégrés
alors
uv - ( -
1 ) rs
vu
appartient à P(A} y qui
( "crochet gradué" de
est donc
PROPOSITION
p~
sens
et 03B4 :G
lecteur, à titre
positions suivantes ( c:~. ~ ~ ~~ proposition
s ;
Hopf (au
de
03C6 :
le sous-espace des
Nous laissons
et
.
I ( ~~} ) .
cette
r
condition nécessaire et suffi-
est que
Q(A) et P(A) .
(puisque P(A) est
de
P(A ) Q (l~~)
éléments primitifs de
est élément unité pour ,d ,
une
I(A)~I(A)~
A* l’algèbre
et ’P(A)
langage)
abus de
ainsi que les espaces
ce-quotient
Soit
primitif
soit
A
que
aire naturelle
,
(par
(cf. Expose 10, paragraphe 1),
Supposons désormais
définis,
ou
qu.’on fera toujours 9 que ~
deux applications composées
sante pour que
paragraphe 1).
s’appelle l’espace (vectoriel gradué)
une
u
algèbre
2. - Supposons que le corps
0 . Alors 3 pour que l’application P(A)~Q(A)
de Lie
de base
ct v)
graduée.
soit de
soit
caractéristique
injective, il faut o,t
’
il suffit que :r
1° la
multiplication
de
A
soit associative et com.mutative
(i.
ve) ;
2° la puis ance
p-ième
de tout élément de
soit nulle.
e.
anticommutati-
(cf. Séminaire 1954/55)
1
groupe abélien de
type fini, et
1 . Alors l’homologie
Z ) et la cohomologie
n’ un entier
Z ) sont des algèbres de Hopf en dualité. La multiplication de
est
n ; Z ) est associative et commutative ; Inapplication
est surjective, et son noyau se compose
injective ; l’application
EXEMPLE. -
des
la
On montre
puissances
suspension
*
( 03C0 ,
i’l
Sous-algèbres
2.
j
*
p
de
Hopf
outre que
P(H )
( il,
et
n +
1 j
l’imago
l’espace des
est exactement
)~H*(03C0 , n ; Z ) , tandis
H*(03C0 , n ; Z ) est exactement le
éléments décomposables do
sion H
en
un
Z
1j
n +
.
Soit
que
de
’
noyau de la suspen-
p
algèbres-quotients.
d’homomorphisme d’algèbres de Hopf :
est alors aussi un homomorphisme d t algèbres do
A2014~B . La transposée
Hopf ; si l’une des applications est injective, l’autre est surjective, et viceOn définit d’une manière évidente la notion
-versa.
injectif (resp. surjectif) donne la notion
algèbre de Hopf B (resp. d’algèbre de Hopf quotient
où l’homonorfl:isne
de sous-algèbre de Hopf d’une
Le
d’une
algèbre
de
Hopf A).
sous-algèbre
1 ’ application composée
PROPOSITION 3. - Soit
ft
A
cation de
cation de
Hopf d’une algèbre
On
C
quotient
Hopf
la
B. Soit
multipli-
de
f
est muni G’ une
C
de
B
o
permet
de retrouver la
sous-algèbre
B).
a une
proposition
duale ~1
PROPOSITION 3 bis. - Soit
Soit
désigne
et
B~~I(C) désigne l’application composée
de
de
application diagonale
induite par l’ application diagonale 0394 de B 9 si en outre la multipliB est associative, A est le noyau de l’ application composée
B. Alors le conoyau
la connaissance du
A
de
l’injection h..-.~.8 ,
est induite par
où
où
est
cas
fi B2014~
(~I(A)
B~A
.
un
homomorphisme surjectif d’algèbres
l’application composée
de
Hopf.
Alors le
si
novau
de
C
v
est
sous-algèbre
une
outre l’application diagonale
l’application composée
B
de
en
est
de
B
(pour
associative,
la
A
multiplication) ;
est le
Démontrons par exemple la proposition 1 ; la proposition 1 bis s’en déduira
passant aux algèbres duales. L’application diagonale A de B envoie I(A)
I (A) ~ A
+
A
~I (A3 ~
f :i B
suite 6
Le noyau de
g
passe
au
quotient
multiplicatio:n
g(x) = 0 est dans
B~I (C) 9 donc si g(x) = 0 ,
dans B.I(A) Supposons alors
o
k
montrer que si
ce
Pour
cela,
de
I(A) ~
Puisque
en
de
dans
l’application
n
n
1 ,
car
ce noyau
de B
(~ ~ 1)
cst
contient
associative,
I(A)
et
K. Il
Z (B)
tout
tal
n’est autre que la projection
est dans le noyau
c’est-à-dire
~~
c
g
que
on a
x
6.
(
03A3 Bq).I(A) ; d’où,
par
récurrence,
veut démontre r.
qu’on
prenons
(a.)
une
de
l’espace
De
plus
vectoriel des éléments de
degré
on a
1 ,
on a
notant
de sorte que
C--~C ~~ C ~
définit
~! 9
que
~.I(A) ~
et
contient
reste a montrer que si
x
(image
donc elle envoie
en
dans
et par
on va
de
conovau
’
l’hypothèse g(x) =
0
donne
Puisque les a,i sont linéairement indépendants, on a donc
dit, bi ~
B.I (A) , et par suite (pour une raison de degré)
p(b.i)
=
0 ;
autrement
D’après l’associativité
de la
multiplication,
on a
qui achève la démonstration.
ce
DEFINITION. la
multiplication
de
Hopf d’une algèbre
à
est
est
droite
de
Hopf
B
dont
sous-algèbre normale si
I(A).B j alors le conoyau
une
multiplication induite par celle de B 9 et il en résulet on l’ appelle 1.’algèbre de
algèbre de Hopf 0 On la no tc
de Hopf B par la sous-algèbre normale ~ , S’il en
le noyau de chacune des deux applications composées
est muni d’une
f
C
te que
de
est associative. On dit que A
l’idéal à-gauche
C
sous-algèbre
Soit A une
est
une
de
Hopf quotient
est ainsi, A
est
Dualement,s so’.t
A
une
algèbre
Hopf quotient d’une algèbre de Hopf B dont
associative. On dit que A est un quotient normal de
de
Inapplication diagonale est
B si les deux applicatio s composées
même
C 9 alors
et qu’on peut appeler le
ont
novau
C
la
est 1~ conoyau de chacune des
Les
propositions 3
sous-algèbre
est
et 3 bis
de
surjection
applications composées
Hopf
do
B 9 qu’on note
S’il en est ainsi,
A
entraînent :1
~
1. - Soit
diagonale
l’algèbre
B
algèbre
une
sont associatives. Si’
A
de
est
Hopf dont la multiplication et l’application
une sous-algèbre de Hopf normale de B ,
Hopf quotient C=B//~ est normale 3 et A=CBBB .
algèbre de Hopf, quotient normal de B , alors le ~noyau" A de
s ’us-algèbre
Hopf normale de B y et C==B//A.
de
Si ’A
" duales
B* et A*
et
B
aux
0
hypothèses de la proposition 3,
hypothèses de la proposition 3 bis, et
satisfont
satisfont
Si
aux
est
une
est
une
alors les
réciproquement.
B’
A
le de
alors
Si la
est
multiplication de
associative ; si de plus’
est
un
quotient
pour duale le
a
de la
extérieure
engendrée
(les
3
c’est
Si
est
S.
par les
S* :z
de
Hopf
,
c’est
.
extérieure ayant pour base
S (ce
normale de
11).
S*
qui
se
duale.
A
la
sous-algèbre
S
de
sous-algèbre de Hopf (? cause de la formule
sous-algèbre normale, à cause de la commutativité
est clair que C
s’identifie à l’algèbre
ui;e
Il
=
l’application diagonale étant
~. ~
C
~
C).
sous-algèbre engendrée
primitifs
sa
premier impair. Soit
p
.
de
multiplication
A
de Steonrod et de
EXEMPLE 1. - Nous supposons
-
associative, l’application diagonaest une sous-algèbre normale de B y
et l’algèbre de Hopf C == BA
B 2014~
l’algèbre
engendrée par les P.1
(12) de l’Exposé 11).
est
B* ,
normal de
de
3. Exemples tirés de
B
sous-algèbre de
qui est une algèbre
par les
p
’
"
~~
les
p"’ . La sous-algèbre C est une sous-algèbre
vérifierait directement sur la formule (18) de l’Exposé
La duale
dans
s’identifie à
une
,
plus, ici, la
ayant pour base les
De
=
S //C
s’identifie à la
sous-algèbre
de
Hopf
de
prendre garde que ceci b’est pas une
sous-algèbre normale de S* . En effet, si l’idéal a gauche de S engendré par les
autres que 1 était un idéal à droite, cet idéal contiendrait les
pour
tout entier k > 0 ~ puisque (d’après l’Exposa 11~ corollaire au théorème l)~ on a
donc
S* / A*
S
dre dans
*
1;~ J , et
se
réduirait à la
ui!
idéal
03C4 1
Soit
algèbre
étant
est distinct de
qui
p = 2 .
o
S*
engendré
Ct l’algèbre
de
J
sous-algèbre engendrée
A*),
est orthogonal à
EXEMPLE 2. - Prenons
de
mais il faut
Soit
t
d’où
un
par
l’orthogonal
une
9 ’or 03C4
fJ
engen-
A* (par exomple
de
contradiction.
entier > o p et soit
Jt
par
quotient de
polynômes "tronquée"
à
S*
t
par
multiplicativement,
... 9
~t9
Ct
est
une
les relations
Il est immédiat que
passe
quotient dans
au
est
Ct
S* (t) ,
l’application diagonale
SqR
9
11, formule (10))
car
c?e
Hopf, quotient de
de Hopf c{e
parcourt l’ ensemble des
une
s’identifie à
pour base les
S~ (Exposé
de
unE
où
R
S*
Sa duale,
a
qu’on
notera
sous-algèbre ayant
1 r 9 . e . 9 r ,. 9 . m .
c’est la
suites
telles que
quelle
et
S*(t)
sous-algèbre
On voit que la
Sq
contient
est de dimension finie,
i2 p
pour
et
ne
contient
aucun
égale
à
des
2t(t+1)/2 ;
i
pour
2t .
plus loin (théorème 3) que S*(t) est la sous-algèbre de S* engendrée
est réunion des sôus-algèbres S (t)
par les Sq
pour i 2 ). L’algèbre S*
de dimension finie, et par conséquent tous les éléments de S de degré > 0 sont
nilpotents (MILNOR [2] ).
(On
verra
0
’EXEMPLE 2 bis. - On suppose
p
premier impair ;
l’idéal de
soit
J
comme
ci-dessus,
S
engen-
’
.
,
t-i+1
dré par les
(k 0).
tous les
~. ~
S*
et
... ~
~+ ~
et
C’est
une
~ ? * ~)
encore une
algèbre
où
ayant pour base les
... ,
5++1 ~ S++o ~
de
...
algèbre
de
et
en
polynômes tronquée
en
outre par
Hopf. Sa duale est la sous-algèbre de Hopf
R parcouct l’ensemble des suites
de
.
satisfaisant a
elle
sous-algèbre en question est de dimension finies égale à
contient (P pour 1 ..
p~ et ne contient pas ~ pour i ~ p (on verra
(théorème 3) que c’est la sous-algèbre de S* engendrée par les Pi pour i
La
Il
en
résulte que tous les
EXEMPLE 3. - On suppose
engendré
et les
(? distincts
p
de
premier impair.
1
sont
nilpotents.
Soit cette fois
J.
l’idéal
de
S
par
lrk
pour
k > t .
L’algèbre quotient
Ct
est le
produit tensoriel d’une
algèbre
gendrée
.
de
(12)
k
(13))
et
S*(t) ,
qu’on notera
sous-algèbre ayant
des suites E
(
0
=
à
Ainsi
pour base les
1~ >
S*(t)
contient
S’(t)
(p
pas
et
p
associative.
Supposons
polymômes,
et
corps
parfaite
A ~
de
0
pour
telles que
t) ~
k >
multiplication
(on
(p
verra
pour
ne
(théorème 3) que
i po) .
L’algèbre
chacune est de dimension
finie,
donc
nilpotent (Î.IILNOR, E2J ).
est
algèbre
mais
de
Hopf.
multiplication soit commutative et
algèbre, soit un produit tensoriel d’algèbres
Hopf
comme
et les
dont la
éventuellement
dont la
=
rk ’ ...)
i : t ,
i > t
pour
tronquées; dont chacune
(de degré ~ 0). [~Rappelons que d’après A. BOREL
de
... ,
que les
1
-tp y ni
.Igebre
que
duale,
.
4. Recherche des éléments primitifs d’une
une
Hopf.
t(t+l)/2
sous-algèbre engendrée par 03B2o
S* est réunion des sous-algèbres S (t) dont
chaque élément de S* dont le degré est > 0
A
(03C4k) ,
Sa
c’est la
Hopf de
R parcourent l’ensemble
do
(donc r.
est la
LEM’tE. - Soit
dô
finie, égale à
i ~
pour
algèbre
une
R = (r1 ,
pour
l
E
P ’
~i.
est
(P
contient - les
est
où
que 0394*
notamment parce
sous-algèbre
.,.)
t ~
et d’une
Ct’
C.
03B2E PR ,
~
Elle
une
... , ~k ,
pour
sous-algèbre
la
quotient dans
au
s’identifie à
=
S..
algèbre extérieure enplus, l’application diagonale de S
(Exposé 11,
De
passe
> t , appartient
Si’...’ 03BEt
on
03C4o, ... , 03C4t .
par
formules
pour
polynômes tronquée
générateur homogène x.
toute algèbre de Hopf sur un
a un
est commutative et
associative,
est de
ce
type. Mais nous n’utiliserons pas le résultat de BOREL]. Soit y un élément homogène, qui s’écrit
polynôme an x à coefficients polynomiaux par rapport
à des
x.
primitif
tels que les
A(x.)
ne
et contient effectivement
élément de la forme
où
et où
ne
=
DÉMONSTRATION. -
y
est Te
x
.
Alors,
produit d’un scalaire
si
y
est
et d’un
.
dépend que des
téristique p. (d 1 si
z
.
fassent pas intervenir
On
a
a
la
l’exposant d est une puissance
caractéristique est nulle).
priori
de la
carac-
étant
d
entier ~ 1 ,
un
thèse}
a ~. K ~,
Notons
k ~
en
l’espace
A-
étant des
a
font pas intervenir
ne
montrer que
et les
polynômes
en
les
On suppose
Par
hypo-
on va
alors
x
0 ~
raisonnant par l’absurde.
vectoriel
engendré
par les
monômes
en
dont le
x
degré
est
on a
degré
si le
donc,
de
a 0 était > 0 9
on
aurait, y étant primitif,
d’où
désignant
J
absurde. Par
par les
conséquent
ii est bien
xi
prouvé
x . Comme a o ~ 0 9 ceci
deg (a0 ) - 0 9 autrement dit
autres que
que
est
C K .
ao
En
n
multipliant
va
montrer que
~
posons que
0
j
y
par
s,k
0
=
pour
un
o
scalaire
pour
u~~
k
o
on
k
tel que
k . Alors
t
~ 09
peut donc supposer désormais
Raisonnons
0
~.:
k ~ d
p
encore
et que
par l’ absurde
a.-
0
..-
a
0
d
pour
Posons
On
a
On
en
( en
par
déduit
notant
[t , t’]
1 ~ xn ,
le coefficient
>
en
remplaçant
u
Z .
Ceci
impose
Finalement$
est primitif,
or
le
ce
qui exige
=
a.
on a
0 ~
y
contrairement à
+
=
l’hypothèse.
étant
z
z ,
polynôme
un
en
les
x.. Puisque
y
on a
premier
membre est
égal,
module
J
(~ .~ 9
à
[~d - i ~ ij soient nuls p ur
s’ensuit (résultat classique) que d est une puissance de la
(si p ~ 0) ~ ou que d 1 (si la caractéristique est nulle).
que les coefficients binomiaux
1 ~ i ~ d - 1 . Il
caractéristique
p
=
Ceci achevé la démonstration du lemme.
5. Application : éléments primitifs de
THÉORÈME
S~
et de certains de
ses
quotients.
2.
Considérons l’une des algèbres de Hopf suivantes : dans le cas p = 2 , l’algèbre S~ ou les algèbres quotients
C. considérées à l’exemple 2 ; dans le cas où
p est premier impair~ la sous-algèbre de S~ engendrée par les
ou l’une des
algèbres quotients considérées dans 1)exemple 2 bis. Dans chacune de ces algèbre s de
a.
T.
Hopf;
les éléments
(~.) ~
où
d
primitifs sont les combinaisons linéaires d’éléments de la forme
est une puissance de p.
b. Considérons pour
premier impair~ l’une des algèbres de Hopf suivantes :i
soit l’algèbre S~ ~ soit
des quotients de
S considérés à l’exemple 3. Dans
une telle algèbre de Hopf, les éléments
primitifs sont les combinaisons linéaires
de 1::’ et des
DÉMONSTRATION
figure
D’après
où
d
p
de
a. -
Soit
dans l’expression de
le
lemme,
est une
montrer que
(~J ~ ~
éléments de la forme
y
est, à
puissance de
2
conduit à
un
v
qu’aucun des
facteur scalaire
p 9 et
une
est
élément primitif
y , mais
un
d
z
ne
dépend
une
puissance de
p .
homogène. Supposons que 03BEn
03BEi ,
près,
pour
i > n , n’y figure.
de la forme
que
contradiction. On aurait
pour
i ~ n . On
va
donc,
B’
si
désigne
la
sous-algèbre engendrée
1,
par les
pour
i ~ n - 2 ,
on
aurait
Il
en
résulte que
z,
qui est
un
polynôme
à coefficients dans
en
B’ ,
contient effectivement
avec
0 . Le
(03BEn-1)k ,
donc le
degré
degré
de
étant celui de
z
(03BEn)d
ne
peut être égal à celui de
Alors, dans l’expression de 03B4 z ,
03BEn-1 figure à droite du produit tensoriel avec l’exposant k , mais jamais avec un
exposant *> k ; en comparant à (2) , cela prouve que k d . Mais alors, dans l’exne figure
pression de 5 z ,
jamais~ à gauche du produit tensoriel, avec un
exposant > d , ce qui contredit (l).
de
est> 0 .
b
=
Ce raison .ement est valable dans les
ples
2 et 2 bisi
(03BE1)pn-1d
Sont /
/
sont
0
DÉMONSTRATION de
0) ne figure
03C4n figure
dans
montrer que
l’absurde,
n
en
éléments tels
ne,
et
y
effet, puisque y ~ 0 ,
et
.
(?.)
en
est, à
puisque y
Donc 03BEn-1
algèbres quotients considérées
0
dans la relation
b. - Soit
dans
y ,
y
on
on a
d
dans la relation
p ;
(2),
il
dans les
s’ensuit
que
(03BEn-1)pd
et que
(l).
exem-
et
élément primitif homogène. Si aucun des 03C4
n
est ramené au cas précédent. ’SUPPOS011S donc que
un
qu’aucun
T.
n’y figure
pour
i >
(n 0) .
n
On
va
0 , ce qui, grâce au lemme: établira le théorème. Raisonnons par
+ b ,
supposant n > 0 ; y est delà forme
et b étant des
a
que
T ne figure pas dans A(a) ni dans A(b) . D’après le lem=
0
un
est
facteur scalaire
près 3
de la forme
primitif,
figure effectivement dans
z , et
on a
où
u
des
degrés
et
de
~ ~
indépendants
sont
v
et de
"T
ce
qui est
do
03C4n-1 , est
>
contradiction
en
Ce raisonnement est valable dans les
En
effet,
S
et
algèbres
de
l’espace
dans le
6
0 ; donc
cas
p =
(03BE1)d ~ S*
est
un
terme
en
algèbres quotients considérées
à
l’exemple 3.
0 .
l’engcndrenent
sur
l’algè-
de
sous-algèbres. Rappelons en effet que si A et A*
Hopf en dualité, l’espace P(A) des éléments primitifs de
des éléments "indécomposables" de il’ sont en dualités Ici,
ses
2 , l’élément
Sq
contient
z
différence
à
u
(3).
avec
n ~.t ~ donc
et de certaines de
sont deux
A
alors
de
le théorème 1 fournit des informations
dualité,
Par
bre
on a
degré
Le
S
de la base de Milnor de
(Exposé 10,
qui correspond à
3).
corollaire du lemme
Dans le
où
cas
est
p
premier impair, l’élément de la base do Milnor de S* qui correspond à
est
et celui qui correspond à
(opérateur de Bockstein)
03C4o est 03B2o = 03B2
(cf. Exposé 10, corollaire du lemme 4). Le théorème 2 donne aussitôtt
THÉORÈME
(03BE1)d
3.
_
a.
(h =’0 ~ 1 , ...)
Les
gèbre
de Steenrod
S*
pour
=
p
forment
un
2 . Pour
p
système
Sq2h
pour
système minimal de générateurs les
impair, le. sous-algèbre de S* ayant pour
la
2 ,
=
générateurs de l’alsous-algèbre S*(t) admet
minimal de
0 $ h
pour
h.:se les
t . Pour
admet pour
premier
p
système
mini-
h
mal de
générateurs
les
où
R
(h
les
=
0 ~ 1 ~ ...) ~
la
sous-algèbre ayant
pour base
satisfait à
ri
t
P t-k
o .. >
>
.. o ,
>
h
système minimal
sous-algèbre est engendrée
admet pour
b. Pour
de
générateurs
premier impair,
p
(R~
par les
~p ~
les
(donc
t
cette
’
i
pour
h
(h
et les
/3
h
pour
-=:
tème minimal de générateurs pour l’algèbre de Steenrod
0 , ’ 1 , ... )
S;
la
forment
un
Sys-
sous-algèbre
S*(t)
0’h (t
(donc
h
admet pour système minimal de
S (t) ’ est
le-.
engendrée
6. Antiautomorphismes d’une
Soit
A
ciativité
une
ou
générateurs ~
algèbre
de
algèbre
Hopf.
de commutativité
au
par
de
/~
et les
pour
et les
pour
i~
p )~
Hopf.
Pour commencer,
sujet de la
on ne
fait
aucune
multiplication 03A6
hypothèse
et de
d’asso-
l’application
A .
diagonale
PROPOSITION 4. - Il existe
le que
soit
application linéaire
une
et
ct
soûle tel-
Inapplication composée
égale
à
o ~ . Cette application
est cle
degré
0 .
iriposée à c peut encore s’ exprimer
tien composée (4) est nulle sur I(A) .
REMARQUE. - La condition
c(l) = 1 ,
et
0n prouve l’existence et l’unicité de
degré
le
une
de
x ~ .. ~~ . Pour
c(x)
= 1 . Si
on a
x
suiti
comma
on e,
récurrence
par
ost de
sur
degré
n ~ o ~ soit
la condition
c(x) puisque
qui détermine
ce
donc de définition
conme on
les
récurrente
REMARQUE. c ,
(4) s’écrit
imposée à
c
le voit
en
c(z.)
c ~
sont
déjà
connus.
La relation
(5)
sert
,
:
de
l’algèbre
duale est la
transposée
de
transposant (4-)*
donnée une algèbre de Hopf A , de multipliAlgèbres de Hopf opposées. on va lui associer trois autres alcation 03A6 et d’application
et distinctes entre elles. Elles ont
gèbres de Hopf, en général distinctes
le môme support
et ne différent que par la n.ul tiplication et l’application
diagonale. Soit 03A6’ l’application composée
où
T , comme d’habitude, transforme x ~ y
définissent sur
applications 03A6’ et 0394
en
A
y;
(une
structure
la vérification est
gramme
produit
(l)
de
y
~ x . Les
d’algèbre
de
aisée, le point essentiel consistant à vérifier que le
l’Exposé 10 est bien commutatif ; or cela revient à vérifier
des trois
permutations suivantes
(1,2,3,4) 20142014~(3 .4,1,2)
(1 p 2 , 3 , 4) 20142014~(1 .3,2,4)
(1.2,3. 4)~20142014~(2 .1,4,3),
Hopft
diaque le
égale
à la seconde d’entre elles..On notera que
est de même de 03A6’ ;
si
est commutative, alors
est
03A6
structure
De
d’algèbre
"terne,
sent
sur
même
de
de
Hopf coïncide
si 03A6
est
03A6
03A6’ ,
il
en
et la nouvelle
l’ancienne.
avec
û’1
soit
=
associative,
l’application composée T
A une structure d’algèbre de Hopf ; si
0394’ ; si 0394 est commutative, 0394’t
6 .
alors ~
A
est
~’t définisassociative, il en est de
et
=
En combinant les deux
aussi
sur
tures
d’algèbres
A
On constate
résultats précédents,
structure
une
de
~. ’
et
définissant
d’algèbre
Hopf. Nous avons ainsi obtenu quatre strucHopf sur A (en comptant 1:-. structure initialement donnée).
de
la formule
sur
r
voit que
on
(5)
que
est aussi caractérisée
c
par
la condition que
l’application composée
PROPOSITION 5. - Si la multiplication
Autrement
dit, le diagramme suivant
.~.insi que le
récurrence
Notons
sur
>
+
On voit que
est
associative,
p
+
q ,
en
p
=
0
supposant
q’j , q"j les degrés
qjJ q"j = q , p"i p
+
on a
est commutatif
où les rôles
C’ est évident si
par
03A6
ou
p
1
et
et
de
=
q
q
0 . On
faire la
va
échangés.
démonstration
strictement positifs.
y’j , y"j
pour
sont
i~0,
resPectivement- °n
pour j / 0
°
’
q"j
Soit
q
a
d’où,
par la définition de
c ,
D’autre r.c’.rt, par le. définition de
Comparons (7)
peut-être
relation (6) à
sauf
(8),
et
pour
et utilisons
i =
0, j = 0 .
c ,
03A3j y’.(cy’.’)
J
J
on Il
l’hypothèse
= 0 , d’où
récurrence, qui
de
En retranchant
(8)
(7),
de
on
evidemment
donne
obticnt alors la
démontrer.
PROPOSITION 5 bis. - Si
0394
l’application diagonale
est
associative, le diagram
’
suivant es t commutatif
me
ainsi que le
diagramme analogue où les rôles de 0394
DÉMONSTRATION. -
On
et de
0394’
sont
échangés*
applique la proposition 5 à l’algèbre duale.
poursuivre? il nous faut préciser les notationsi on notera c(~ ~ ~)
et relative à la multiplication ~
et à
l’application c considérée
l’application diagonale ~ . On a donc aussi des applications c(’~’ ~ A) ~
Avant de
c(~,A’)
c(~’ , A’) .
et
PROPOSITIONS. - Si la
c(03A6 , 0394)
multiplication ~ est associative 3 les applications
c(03A6 , 0394’) sont des bij ections, réciproques l’une de l’autre.
et
DÉMONSTRATION. -
car
alors,
Pour
en
Il suffira de montrer
échangeant
abréger,
notons
les
c
rôles.
de
~,
l’application
et
I1’ ,
on
c(03A6 , 0394) ,
obtiendra aussi
et
c’
l’application
c( ~ ~ ~’) .
On veut montrer que
par récurrence
.
avec
tion
p.
=
sur
le
degré
deg (yi) ,
(11’),.
en
tenant
de
(c’ es t
x
qi = deg (z.) . Appliquons
compte
plication, puisque celle-ci
du fait que
qui,
On
par
a une
prouve
est
c
est associative
comparaison avec (11)s
position 6 est ainsi démontrée.
ce
trivial pour
c
un
x
deux membres de la rela-
aux
antihomomorphisme dé
(proposition 5) ;
(10)
par
la multi-
récurrence
il vient :
sur
le
degré.
La pro-
proposition duale :
PROPOSITION 6 bis. - Si
tiens c ( 03A6 , 0394) et c(03A6’
diagonale 0394 est associative, les applica
t des bijections, réciproques l’une
de
’
1
,
A )
son
l’autre.
,
REMARQUE. - Il suffit donc que
associative,
A commutative,
inverse) ; il en
l’application
sur
soit
au
moins des
applications 03A6
applications
bijective. De plus,
°
la transformation ’
est de
PROPOSITION 7. -
(A ~~~ ~)
l’une
pour que chacune des quatre
c ~ ~ ’ 9 ~ ) , c ~ ~’ 9 A’)
et
=
c(~ ~ ~ ))
même l.orsque ~
Lorsque f
et 0394
est associative et
(i.
est involutive
est associative et
sont toutes deux
~
e.
propositions 6
et 6
bis,
associatives,
on a
est
sa
propre
commutative.
6 ) est un isomorphisme de l’algèbre de Hopf
l’algèbre l’doublemeiat opposée~’ (A~ ~’ ~ À’) .
les
soit
c(~ZB)~ c(~~A’)~
c(03A6 ,
DÉMONSTRATION. - D’après
ou 0394
on a
d’où,
~’
t
par
.me
un
par
~ ) c( ~‘ , 6’) . En remplaçant ~?
classique;r
relation, on obtient (12). Que c( ~ , L1 ) soit un isomorphis-
raisonnement
dans cette
~ ~ L~)
de
sur
REMARQUES. - La relation
on
=
(~ ,
~’ ~
® ’)
(12) exprime
résulte des propositions 5 et 5 bis.
ceci :t si
a à la fois
03A6
On notera que si
et 0394
réduisent à deuxs et que si
cations
l’algèbre
rations de
dans
un
de Steenrod
numérique R
S* ,
p
MILNOR
est
se
présente
les
pour
l’algèbre
resp. les
c((P ) ~
de Steenrod.
sont les
opé-
~~ ~
c
(cf. E5] ).
dans l’algèbre
de dimension donnée
S* , on
c
Pour calculer
duale
c
dans
S* , puis de
a
premier impair,
en
déduit des formules explicites pour
EXEMPLES. - Pour
Puisque
S ~i
cas
il est commode de calculer
prendre la transposée :i dans
et, si
outre 03A6 ou
Thom, qui interviennent dans le problème du plongement d’un espace compact
espace
l’algèbre
associatives, les quatre applications c se
A est commutative, toutes les appli-
sont confondues. Ce dernier
c
Cas de
en
sont
est
p
un
= 2 s
on
a, dans
antiautomorphisme
c .
l’algèbre S~ ~1
involutif de
l’algèbre
S~ ~
c
permet
de
12- 18
problème
transformer tout
concernant les idéaux à
S*
gauche de
en
problème
concer-
nant les idéaux à droite. Par
exemple~ en utilisant la table de multiplication de la
base de Milnor (Exposé 11, paragraphe 4), on prouve facilement les deux assertions
(pour,
suivantes
-
S
Les
2) s
p =
6) =
’tels que
0
éléments de l’idéal à
sont exactement les
droite
-
,
Les
par
Sq
En transformant par
c ,
à droite
engendre
0(r S
Les
che
engendre
tels que
sont exactement les
éléments de l’idéal
et
on
obtient ;
1.Si
= 0
tels que
Sq
par
0
=
éléments de l’idéal à gau-
sont exactement les
par
Les
gendré
6!
tels que
=
Sq2.Sq3
et
(qui
0
sont exactement
ceux
est aussi l’idéal à
de l’idéal à
gauche engendré
gauche
Sq
par
en-
et
d’autres résultats du même type ; ils sont utiles dans le calcul des groupes
d’homotopie des sphères, par la méthode oui consiste à tuer les groupes d’homotopie
Il y
a
successifs
au moven
de fibrations
ayant
en
fibre des
espaces
BIBLIOGRAPHIE
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différentiables,