la geometrie du college

LA GEOMETRIE DU COLLEGE
I. Le triangle :
1°) Triangles particuliers
Un triangle isocèle a deux côtés égaux Un triangle équilatéral a tous ses côtés
égaux Un triangle rectangle a un angle droit
2°) Droites remarquables d’un triangle
- La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment
en son milieu.
Propriété :
Soit (d) la médiatrice d’un segment [AB],
M ∈ (d) ⇔ AM = BM
Les trois médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un
point appelé centre du cercle circonscrit au triangle.
- La hauteur issue d’un sommet du triangle est la droite qui passe par ce
sommet et qui est perpendiculaire au coté opposé. On parle aussi de hauteur
relative à un coté.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé
orthocentre du triangle.
- La bissectrice d’un angle est la droite qui partage l’angle en deux
angles égaux.
Les trois bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en un
point appelé centre du cercle inscrit dans le triangle.
La médiane issue d’un sommet du triangle est la droite qui passe par ce
sommet et par le milieu du coté opposé. On parle aussi de médiane
relative à un coté.
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé
centre de gravité au triangle.
Remarque : Le centre de gravité se trouve toujours aux deux tiers de la
médiane en partant du sommet.
B
C
A B
C
A
B
C
A
B
C
A
O
B
C
A
I
B
C
A
H
B
C
A
G

3°) Théorèmes de la droite des milieux :
T HEOREME 1 : Dans un triangle ABC,
Si I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC],
Alors (IJ) est parallèle à (BC) et IJ = 1
2 BC
T HEOREME 2 : Dans un triangle ABC,
Si une droite passe par I est le milieu de [AB],
Et si cette droite est parallèle à (BC),
Alors cette droite coupe [AC] en son milieu J
II. Propriétés particulières du triangle rectangle
1°) Théorème de Pythagore et réciproque
Théorème :
Si un triangle ABC est rectangle en A,
Alors AB² + AC² = BC².
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 3cm
et AC = 4cm.
Puisque ABC est rectangle en A, alors d’après le
théorème de Pythagore on a :
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25
BC = 25
BC = 5
Réciproque :
Si un triangle ABC est tel que AB² + AC² = BC²,
Alors il est rectangle en A.
Exemple :
ABC est un triangle tel que AB=5cm, AC = 12 cm
et BC = 13cm.
Vérifions si AB² + AC² = BC²
D’une part: AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
D’autre part : BC² = 13² = 169
Puisque AB² + AC² = BC²,
Alors d’après la réciproque de Pythagore ABC est
rectangle en A.
2°) Triangle rectangle et cercle
Propriété :
Si ABC est rectangle en A, alors le
point A appartient au cercle de
diamètre [BC]
Réciproque :
Si le triangle ABC est inscrit dans un
cercle de diamètre [BC], alors ABC
est rectangle en A.
A
C
B
C
B
A
B
C
A
I
J

3°) Trigonométrie
Dans un triangle rectangle, on peut définir les relations
suivantes entre les angles aigus et les différentes
longueurs des côtés.
cos d x = côté adjacent (à d
x )
hypoténuse sin d
x =
côté opposé (à d x )
hypoténuse tan d
x = côté opposé (à d
x )
côté adjacent (à d x )
Remarque : Pour toute valeur de x, on a les égalités suivantes :
tan x = sin x
cos x (cos x)² + (sin x)² = 1
Quelques valeurs remarquables :
d
x 30° 45° 60°
cos
d
x
3
2 2 2 1
2
sin
d
x
1
2 2
2 3 2
tan
d
x
3
3 1 3
III. Angles
1°) Les angles d’un triangle :
Les trois angles d’un triangle sont supplémentaires (leur somme vaut 180°).
En particulier :
Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60°.
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90°).
Dans un triangle isocèle, les deux angles adjacents à la base sont égaux.
2°) Configurations angulaires
Les angles a xAz et a x’Az’ sont
« opposés par le sommet ».
Les angles a x’Az’ et a yBz sont
« alternes-internes ».
Les angles a xAz et a yBz sont
« correspondants ».
Propriété : Deux angles opposés par le
sommet sont toujours égaux.
Propriété : Si les deux droites sont
parallèles, alors deux angles alternes-
internes sont égaux.
Propriété : Si les deux droites sont
parallèles, alors deux angles
correspondants sont égaux.
B
C
A
x
Hypoténuse
Côté adjacent
Côté opposé
A
B
y y’
x’
z’
z
x

3°) Angle inscrit, angle au centre
(C) est un cercle de centre O.
L’angle
a
AMB est appelé angle inscrit dans (C). L’angle
a
ANB aussi.
L’angle
a
AOB est l’angle au centre associé à cet angle inscrit.
On dit que ces 3 angles interceptent le même arc
c
AB .
Propriété :
La mesure d’un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la
mesure de l’ange au centre associé.
IV. Théorème de Thalès et réciproque
1°) Configuration de Thalès :
Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A
Soient B et M deux points de (d), distincts de A
Soient C et N deux points de (d'), distincts de A
« configuration de Thalès »
Voici les 3 configurations de Thalès « classiques » :
Dans toutes les configurations de Thalès, on retrouve des triangles aux côtés parallèles et dont les longueurs sont
proportionnelles.
On peut résumer la position des points A, B, C, M et N par une seule phrase : « Les droites (MB) et (NC) sont
sécantes en A et (MN) // (BC) ».
2°) Théorème de Thalès :
Si les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A et les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors AM
AB = AN AC = MN BC .
3°) Réciproque du théorème :
Si AM
AB = AN AC et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN)
sont parallèles.
M
B
N
A
O
A
B
M
C
N
A
B
M
C
N
A
B
M
C
N

V. Aire des figures planes usuelles
base × hauteur
2 côté 1 × côté 2 2 (Petite Base + Grande Base) × Hauteur 2
Longueur × Largeur Diagonale 1 × Diagonale 2 π × Rayon²
VI. Transformations usuelles
a. Symétrie axiale (par rapport à une droite donnée)
Définition :
M a pour image M’ par la symétrie d’axe (∆) ⇔ (∆) est la médiatrice de [MM’].
Point(s) invariant(s)* :
tous les points de la droite (∆).
Propriété(s) particulière(s) :
Si (d) et (d’) sont symétriques par rapport à (∆), alors leur point d’intersection appartient à (∆).
b. Symétrie centrale (par rapport à un point donné)
Définition :
M a pour image M’ par la symétrie de centre O ⇔ O est le milieu de [MM’].
Point(s) invariant(s)* :
le centre O.
Propriété(s) particulière(s) :
Si (d) et (d’) sont symétriques par rapport à O, alors elles sont parallèles.
M
M’
(∆)
M
M’
O