Vibrations lumineuses

Principe des interférences
Vibrations lumineuses
Augustin Fresnel a été le premier à expliquer les phénomènes de l'optique physique
en admettant que la lumière est constituée par des vibrations transversales; il
assimilait les vibrations lumineuses aux vibrations élastiques transversales des
solides. Cette dernière hypothèse aboutit à de nombreuses contradictions qui ont
conduit à remplacer la théorie mécanique de Fresnel par la théorie
électromagnétique de Maxwell. Dans celle-ci la lumière apparaît comme due à la
propagation simultanée d'un champ électrique et d'un champ magnétique, les
vibrations du champ électrique représentant la vibration lumineuse dans l'espace où
se propage la lumière.
Une vibration lumineuse en un point de l'espace est représentée par un vecteur
ayant ce point pour origine: l'extrémité de ce vecteur décrit une certaine courbe dans
un plan perpendiculaire à la direction de propagation, et sa projection sur un axe de
ce plan est une fonction périodique du temps. La fonction périodique la plus simple
est la fonction sinusoïdale, et l'on représentera la vibration lumineuse par une
fonction sinusoïdale du temps. Elle pourra s'écrire, à l'origine du temps:
où a est l'amplitude de la vibration,  = 2  N = 2 /T la pulsation, N lafréquence et T
la période. Au point M d'abscisse z, la vibration est à l'instant t ce qu'elle était au
point O au temps t - (z/V), si V est la vitesse de propagation.
On aura donc:
VT = n est la longueur d'onde de la vibration. En posant  = 2  z/n, on peut écrire:
 étant la différence de phase entre la vibration en M et la vibration en O.
La longueur d'onde n est caractéristique d'une radiation donnée dans un milieu
déterminé. Si une même radiation change de milieu, sa fréquence reste fixe, mais sa
longueur d'onde varie. On caractérise souvent les radiations par leur longueur d'onde
dans le vide c = c/N avec c = 3 . 108m/s. Dans un milieu d'indice de réfraction n où
se propage la vibration de fréquence N, sa longueur d'onde sera n = V/N = c V/c
= c/n. L'indice nétant toujours plus grand que 1, les longueurs d'onde sont plus
courtes dans les milieux matériels que dans le vide.
La relation précédente s'écrit:
Le produit  = nz est le chemin optique entre O et M ou encore ladifférence de
marche entre ces deux points. Les différences de phase sont reliées aux
différences de marche  par l'expression:
On utilisera par la suite la notation , longueur d'onde dans l'air, qui diffère très peu
de c.
Production des interférences
Lorsque deux ou plusieurs ondes lumineuses se superposent, on ne peut pas, en
général, décrire d'une manière simple les phénomènes observés. Pour préciser les
conditions auxquelles deux faisceaux lumineux doivent satisfaire pour pouvoir
interférer, il faudrait connaître le mécanisme de l'émission par une source lumineuse.
Ce mécanisme n'est pas encore complètement élucidé, mais il semble pouvoir être
admis, pour les problèmes que l'on aura à traiter, que les ondes électromagnétiques
ne sont pas émises de façon continue, mais «par paquets», c'est-à-dire par trains
d'ondes provenant des divers atomes. Les atomes n'émettent que pendant un temps
limité ; si l'on attend un temps important par rapport à, les vibrations observées à
l'instant initial auront disparu, d'autres auront pris le relais, mais elles n'auront plus
aucune relation avec les vibrations initiales. La vibration d'un atome peut être
représentée par l'expression:
Au bout d'un temps supérieur à , la vibration précédente cesse, soit par
amortissement, soit parce qu'il y a eu choc avec d'autres atomes. Lorsque l'atome
réémet une vibration, l'amplitude a et la phase  ont complètement changé. Le
phénomène se reproduit ainsi un très grand nombre de fois par seconde.
Considérons un point qui reçoit deux vibrations d'amplitude a et bprovenant de deux
atomes. À l'instant où la différence de phase est , le carré de l'amplitude résultante
A est:
mais, pendant l'observation, A varie un très grand nombre de fois par suite des
variations de a, b, et . L'intensité perçue est la valeur moyenne du carré A2 de
l'amplitude prise sur un intervalle de temps pendant lequel la différence de
phase  varie un très grand nombre de fois et prend toutes les valeurs possibles. Le
terme en cos  prend donc autant de fois des valeurs positives que des valeurs
négatives et s'élimine en moyenne. Des atomes différents émettent des vibrations
qui ne peuvent interférer et que l'on appellera des vibrations incohérentes. Il ne
pourrait y avoircohérence que si les phénomènes étaient observés dans un temps
nettement inférieur à . Cela est pratiquement impossible avec les sources ordinaires
pour lesquelles le temps  est toujours très petit, mais peut être réalisé avec les
lasers. On peut rapprocher ce dernier cas des phénomènes acoustiques produits par
deux diapasons différents qui peuvent donner des interférences simplement parce
qu'on a le temps de les observer avant qu'il soit nécessaire de relancer l'un d'eux.
Dans le cas des sources thermiques, les interférences résultant de la composition de
deux ou plusieurs vibrations ne peuvent se produire que dans des conditions
déterminées: les vibrations doivent provenir d'une même source (sauf pour les
lasers) et être parallèles. Un appareil interférentiel a donc pour rôle essentiel de
diviser l'onde incidente en deux ou plusieurs ondes qui, après avoir parcouru des
chemins différents, se superposent en donnant lieu à des phénomènes
d'interférences. Il existe beaucoup de types différents de diviseurs d'ondes. En
particulier, les lames biréfringentes dédoublent un rayon incident en deux rayons, l'un
ordinaire, l'autre extraordinaire, qui accomplissent des chemins optiques différents
puisque l'indice de la lame n'est pas le même pour les deux rayons. Dans la région
où ils se superposent, ils peuvent interférer à condition que les vibrations soient
cohérentes, ce qui s'obtient à l'aide d'un polariseur placé avant la lame, et qu'elles
soient parallèles, ce qui est possible en plaçant un analyseur après la lame. En
sélectionnant le type de cristal employé et la façon dont il est taillé, on observera de
très belles figures d'interférences.
Interférences à deux ondes
Franges de Young
Considérons deux trous très petits A1 et A2
identiques, percés dans un écran opaque et équidistants de la source lumineuse S.
D'après les lois de l'optique géométrique, on devrait voir seulement deux taches
lumineuses en A'1 et A'2. En fait, chaque petite ouverture diffracte la lumière qui
s'étale dans le plan P. Tout se passe comme si A1 et A2 étaient de véritables sources,
mais les vibrations qu'elles diffractent sont dues à une source unique S et sont par
conséquent cohérentes. C'est dans la région M1M2 où se superposent les faisceaux
diffractés que l'on peut observer les franges d'interférences. En un point quelconque
M de l'écran P la différence de marche  est:
en considérant les triangles A1A2H et COM, et en posant CO = D, OM = y, A1A2 =
2 a, on a:
Comme les ouvertures A1 et A2 sont identiques, elles diffractent le même flux, et dans
l'expression (7) les amplitudes a et b sont pratiquement égales. La variation de
l'intensité lumineuse dans le plan P est donnée par:
En première approximation, les franges sont des droites parallèles et équidistantes.
Elles sont dirigées perpendiculairement au plan de la figure 2b. La formule (10)
montre que les maximums de lumière, c'est-à-dire les franges brillantes, sont donnés
par:
Le rapport k = / est appelé ordre d'interférence. Pour les franges sombres:
on a une frange brillante en O puisque y =  = 0.
Phénomènes en lumière blanche
Considérons une source ponctuelle de lumière blanche. À chaque radiation
monochromatique correspond un système de franges, et tous ces systèmes
s'ajoutent en intensité dans le plan d'observation.
Supposons que toutes les radiations aient même énergie et traçons sur un graphique
les variations de I en fonction du nombre d'ondes  = 1/que l'on mesure en cm-1.
Pour tracer convenablement le graphique, il faudrait tenir compte de la sensibilité
spectrale de l'œil; on supposera simplement que la partie utile est comprise entre  =
13 000 cm-1 ( = 0,8m, rouge) et  = 25 000 cm-1 ( = 0,4 m, bleu). Pour chaque
radiation l'intensité est donnée, à un facteur constant près, par la relation (10).
Au point O (fig. 2) sur la frange centrale,  = 0 pour toutes les radiations et la courbe I
= f () est une droite parallèle à l'axe des abscisses;
en O la frange centrale est blanche. À faible distance du centre O ( = ), la courbe
de l'intensité est une sinusoïde très allongée; l'intensité est plus faible pour les
courtes longueurs d'onde que pour les grandes longueurs d'onde; le violet est plus
atténué que le rouge, et la teinte résultante est rougeâtre. Plaçons-nous en un point
du plan P tel que  = 0,28 m. D'après (10), I = 0 si  = /2, c'est-à-dire si  = 2 =
0,56 m; la sinusoïde est tangente à l'axe des abscisses au point  = 18 000 cm1 ( = 0,565m) correspondant au jaune vert; au point considéré, on aurait la
première frange noire si la source émettait seulement la radiation  = 0,565 m. La
courbe montre que l'intensité reste partout faible, sauf aux extrémités du spectre
visible, auxquelles l'œil est très peu sensible. Dans la région considérée du plan P, le
champ est un peu lumineux et il présente une teinte pourpre, mélange de rouge et de
violet.
Écartons-nous très peu de cette position en nous rapprochant de O. La différence de
marche devient  = 0,28 m - . La couleur est plus riche en rouge et moins riche en
violet, la teinte pourpre vire au rouge. En un point plus éloigné de la frange
centrale  = 0,28 m + , la teinte est plus bleue (indigo). Un léger changement
de  fait virer rapidement la teinte pourpre, et l'œil est très sensible à ce changement
de teinte. La teinte correspondant à  = 0,28 m est appelée teinte sensible du
premier ordre.
Pour  = 0,4 m:
la courbe présente un minimum dans le rouge ( = 13 000 cm-1,  = 0,8m) et un
maximum dans le violet ( = 25 000 cm-1,  = 0,4 m). La teinte résultante est bleue.
On peut ainsi observer toute une série de teintes qui présentent des colorations très
vives si l'on ne s'écarte pas trop loin de la frange centrale. À chaque valeur
de  correspond une teinte déterminée. Ces teintes sont données dans une table
dite échelle des teintes de Newton. La frange centrale est blanche: on a l'échelle des
teintes à centre blanc. Dans d'autres expériences, la frange centrale est noire et l'on
obtient une autre échelle des teintes de Newton dite échelle à centre noir.
Pour des valeurs croissantes de , la sinusoïde de la figure 3 se resserre de plus en
plus, on a une série de maximums et de minimums. Les colorations cessent d'être
visibles dès que  dépasse 3 ou 4 m: l'œil perçoit une impression de blanc,
appelé blanc d'ordre supérieur. Par ailleurs, lorsque  augmente, des radiations de
plus en plus nombreuses s'éteignent dans le spectre: si on reçoit du blanc d'ordre
supérieur dans un spectroscope, le spectre apparaît sillonné de cannelures noires
(spectre cannelé).
Franges d'égale inclinaison par réflexion sur une lame à faces
parallèles
Considérons une lame à faces parallèles d'épaisseur e et d'indice n:
éclairée par une source étendue S de lumière monochromatique. Un rayon incident
S1I1 se dédouble en I1 sur la première face de la lame et donne naissance à un rayon
transmis I1J1 et à un rayon réfléchi I1L1. Le rayon I1J1 se réfléchit en J1 sur la seconde
face de la lame et sort suivant K1L1 parallèlement à I1L1. Les deux rayons parallèles
I1L1 et K1L'1 se rencontrent en F dans le plan focal de l'objectif O et ils interfèrent. Soit
S2un autre point de la source S; parmi les rayons émis par S 2, considérons le rayon
S2I2 parallèle au rayon S1L1. Le même phénomène se reproduit, et les deux rayons
J2L2 et K2L'2 aboutissent au même point F où ils interfèrent. Il est facile de voir que les
différences de marche
sont égales. Les phénomènes d'interférence produits en F par S 1 et S2sont
incohérents, mais, comme ils sont identiques, la visibilité du phénomène reste la
même. Cela est vrai pour tous les rayons émis par les différents points de la source
S qui sont parallèles à S1I1: ils donnent le même phénomène au point F. Les rayons
incidents parallèles correspondant à une autre inclinaison aboutissent en un autre
point du plan focal.
Les phénomènes d'interférences produits par une lame à faces parallèles observés
dans le plan focal d'un objectif sont nets quelle que soit l'étendue de la source. Dans
ce qui précède, on a négligé les rayons plusieurs fois réfléchis car, par suite de la
décroissance rapide de leurs amplitudes, ils ne produisent que des perturbations
négligeables. En effet, si l'on prend l'amplitude incidente égale à l'unité, les formules
de Fresnel donnent alors, pour les amplitudes des rayons réfléchis et transmis
successifs, les valeurs portées sur la figure 5b. Les amplitudes sont pratiquement
négligeables à partir du troisième rayon, et il suffit de faire intervenir les rayons (1) et
(2). Par ailleurs, on étudiera les phénomènes sous une incidence voisine de
l'incidence normale. Calculons la différence de marche en F. Soit un rayon incident
SI faisant avec la normale l'angle d'incidence i (fig. 5c). Après réflexion sur les deux
faces de la lame, on a les deux rayons IL et KL'. Ces deux rayons provenant du
même rayon incident SI, leur différence de phase reste constante à partir de K et H,
H étant le pied de la perpendiculaire abaissée de K sur IL. Entre I et KH, le rayon IL
accomplit le trajet IH dans l'air et le rayon KL' le trajet IJK dans le milieu d'indice n. La
différence de marche est donc  = 2n IJ - IH. Mais le rayon IL se réfléchit de l'air sur
le verre, c'est-à-dire d'un milieu moins réfringent sur un milieu plus réfringent, tandis
que le rayon JKL se réfléchit du verre sur l'air, soit d'un milieu plus réfringent sur un
milieu moins réfringent. On montre qu'il faut alors ajouter un retard supplémentaire
égal à /2 et la différence de marche s'écrit:
L'étude géométrique de la figurec conduit au résultat suivant:
 = Cte si i' = Cte: les franges sont des anneaux ayant pour axe la normale à la lame.
L'observation peut se faire suivant le schéma de la figure 6.
La source S est une source étendue de lumière monochromatique envoyant des
rayons diversement inclinés sur la lame l après réflexion sur la lame semitransparente G inclinée à 450. En faisant coïncider la normale à l avec l'axe optique
de l'objectif O, on observe dans le plan focal  des anneaux de centre F. Tous les
points d'un anneau correspondent à une même valeur de l'inclinaison des rayons
incidents sur la normale. On appelle ces anneaux des franges d'égale inclinaison.
Les rayons correspondant au même angle d'incidence i sur la lame coupent le plan
focal suivant une circonférence de rayon FM. Pour tous les points de cette
circonférence, l'ordre d'interférence est constant et égal à:
Si p = k entier, on aura un anneau brillant et pour p = k + (1/2) un anneau noir. Au
centre F, l'ordre d'interférence est:
Si l'on s'éloigne de ce point, l'ordre d'interférence diminue et, au point M, il est:
K (entier ou fractionnaire) représentant le nombre de franges que l'on voit entre F et
M. En supposant les angles petits: cos i'
(17), donnent:
1 - (i'2/2), i
ni', les formules (15), (16) et
Si l'on a une frange noire en F, cette formule donnera le rayon du K-ième anneau
noir. Les rayons des anneaux correspondant au même état d'interférence que le
centre varient comme les racines carrées des nombres entiers. Ils se resserrent à
mesure que l'on s'écarte du centre F.
Franges d'égale épaisseur en faisceau parallèle, par réflexion
Cas général
Soit maintenant une lame d'épaisseur variable. Supposons que les variations
d'épaisseur de la lame soient faibles et l'incidence voisine de l'incidence normale. La
lame est éclairée en faisceau parallèle par une source ponctuelle à l'infini.
Considérons deux rayons incidents parallèles (1) et (2). Le rayon (1) suit le trajet
SIJKL1, le rayon (2) le trajet SKL2. Puisqu'on opère en incidence presque normale,
les points I et K sont très rapprochés et l'on peut donc considérer que la lame a une
épaisseur e bien définie dans la région IJK. L'objectif O donne en K' une image de la
lame. Il peut s'agir simplement de l'œil de l'observateur qui accommode sur la lame,
le cristallin constituant l'objectif O et la rétine étant alors en K'.
Entre K et K', les chemins optiques des deux rayons sont égaux. Il suffit de
considérer la différence de marche entre K et la source S. Il est facile de voir que la
différence de marche, géométriquement, est 2 ne en incidence presque normale;
comme précédemment, il faut ajouter un retard supplémentaire égal à /2. La
différence de marche en K (ou en K') entre les rayons (1) et (2) devient:
Les rayons qui interfèrent ont pratiquement la même amplitude a et l'intensité
lumineuse au point K vaut:
Pour un autre point K sur la lame, l'épaisseur e n'est plus la même et l'intensité varie.
L'indice de réfraction n étant supposé constant, la différence de marche  est
fonction seulement de l'épaisseur e. En regardant la lame, on voit des franges qui en
dessinent les lignes d'égale épaisseur (franges de Fizeau). Les franges brillantes
sont données par:
et les franges noires par:
Les franges noires correspondent aux épaisseurs e = K/2 n et, lorsqu'on passe
d'une frange à la suivante, l'épaisseur de la lame varie de /2n. Par exemple, avec
une lame d'air comprise entre deux lames de verre, et pour = 0,6 m, on a /2 n =
0,3 m.
On peut aussi observer les phénomènes par transmission, mais ils sont peu visibles
et moins intéressants.
Coins d'air
On utilise une lame mince d'air comprise entre deux lames de verre formant un petit
angle .
Les franges sont localisées sur la lame et dessinent les lignes d'égale épaisseur: ce
sont des droites parallèles à l'arête du coin. Quand on passe d'une frange à la
suivante (deux franges de même type), l'épaisseur varie de /2.
Anneaux de Newton
Posons une surface sphérique S (lentille plan-convexe de grand rayon) sur une
surface de verre plane P.
Observons par réflexion les interférences produites par la lame d'air mince située
entre les deux surfaces. Les franges qui dessinent les lignes d'égale épaisseur sont
ici des cercles centrés sur le point de contact de la lentille et de la surface de verre:
ce sont les anneaux de Newton.
Si R est le rayon de courbure de la surface sphérique S, et K un nombre entier
quelconque, le rayon du K-ième anneau noir est donné par:
Interféromètre de Michelson
L'interféromètre de Michelson
comporte essentiellement deux miroirs orthogonaux (M1 et M2) et une lame de verre
(G1), inclinée à 450 par rapport aux normales aux deux miroirs. La première face de
la lame G1, appelée séparatrice, est semi-réfléchissante: elle réfléchit autant de
lumière qu'elle en transmet.
Prenons une source ponctuelle S au foyer d'un objectif O 1; l'interféromètre est éclairé
par un faisceau de rayons parallèles. L'un de ces rayons, SA, se dédouble lorsqu'il
arrive en A sur la face semi-réfléchissante de la séparatrice G1. Le rayon réfléchi sur
G1 frappe le miroir M1 en B1, revient sur lui-même, traverse G1 sans déviation et
pénètre dans l'objectif O2. L'autre rayon traverse G1, se réfléchit en B2 sur le miroir
M2, revient en arrière, se réfléchit sur la face semi-réfléchissante A de G1 et se
superpose au premier rayon pour traverser l'objectif O 2. Le premier rayon ne traverse
qu'une fois la séparatrice G1 alors que le deuxième la traverse trois fois. Pour rendre
les trajets parcourus aussi identiques que possible, on interpose une lame G 2,
dite compensatrice, sur le premier rayon. Cette lame doit avoir la même épaisseur et
être faite du même verre que la lame G1. Comme une égalité rigoureuse des
épaisseurs de G1 et G2 est très difficile à réaliser, on peut compenser la très faible
différence éventuelle en inclinant légèrement la compensatrice G 2.
Par réflexion sur la face semi-réfléchissante A de la séparatrice G1, le miroir M2 a une
image en M'2. Tout se passe comme s'il y avait des interférences produites par une
lame d'air comprise entre M1 et M'2. Si l'image M'2 n'est pas parallèle à M1, il s'agit
d'un coin d'air. Si les différentes pièces optiques constituant l'appareil sont parfaites,
les franges sont alors rectilignes, parallèles et équidistantes. Pour les voir, on place
la pupille de l'œil au foyer F de l'objectif O2.
Si l'image M'2 est rigoureusement parallèle à M1, on peut observer les anneaux à
l'infini de la lame d'air ainsi formée. On examine alors au moyen d'une loupe le plan
focal F où ils sont localisés. L'ensemble de l'objectif O 2 et de la loupe constitue une
lunette visant à l'infini, dont le grossissement sera choisi en fonction du diamètre
angulaire des anneaux observés. Il faut remplacer la source ponctuelle S par une
source étendue. On peut d'ailleurs supprimer le collimateur et le remplacer par une
grande surface diffusante éclairée par une source monochromatique. En déplaçant
l'un des miroirs parallèlement à lui-même, on fait varier à volonté le diamètre des
anneaux. Si les deux lames G1 et G2 sont bien parallèles, on constate que les
anneaux à l'infini sont parfaitement circulaires. Ils se déforment lorsqu'on incline
G2 par rapport à G1: d'abord elliptiques, ils deviennent hyperboliques si l'on augmente
encore l'inclinaison.
Interféromètre de Mach-Zehnder
Comme l'interféromètre de Michelson, l'interféromètre de Mach-Zehnder est un
interféromètre à deux ondes.
La lame S1 sépare le faisceau initial en deux. Après réflexion sur les miroirs M1 et M2,
les faisceaux lumineux sont réunis grâce à la lame semi-réfléchissante S2.
Quand les miroirs M1 et M2 ne sont pas rigoureusement parallèles, les deux faisceaux
forment un petit angle et il apparaît un système de franges d'interférences rectilignes.
Un réglage convenable permet de localiser ces franges entre M 1 et S2.
L'interposition, en cet endroit, d'un objet déphasant qui ne modifie que l'un des
faisceaux déforme le système de franges. La disposition des miroirs permet de
séparer largement les faisceaux lumineux et d'étudier des objets volumineux au prix
de difficultés accrues pour les réglages initiaux et le maintien de la stabilité
mécanique et thermique de l'ensemble.
Cet interféromètre est d'utilisation courante pour la mesure des variations de
pression dans l'air s'écoulant autour d'une maquette. Ces variations se traduisent par
des modifications d'indice de l'air et, donc, par des déformations de franges. Il est
ainsi possible de mettre en évidence et de mesurer les particularités de l'écoulement
de l'air.