O2. Exercices.

¤ PCSI ¤
O2. Exercices.
Objets, images, stigmatisme et
aplanétisme. Conditions de Gauss.
O2.1. Association de deux miroirs plans à 90° l'un de l'autre.
Soit deux miroirs M1 et M2 (nous ne nous intéresserons pas à leurs dimensions transversales) disposés à 90°
l'un de l'autre symétriquement par rapport à l'axe (x'Ox), O étant le point de contact des deux miroirs. Soit un
objet ponctuel A (x, y) placé entre M1 et M2 en dehors de l'axe (x'Ox).
1. Déterminer les images A1 de A par M1 et A’ de A1 par M2.
2. Déterminer les images A2 de A par M2 et A’’ de A2 par M1.
3. Que peut-on dire de A’ et A’’?
4. Comment se transforme un vecteur au cours de ces réflexions ?
5. Dans quels cas n'y a-t-il qu'une seule réflexion?
Dans quels cas ces deux réflexions se produisent-elles?
Faut-il considérer plus de deux réflexions ?
6. Un individu debout et perpendiculaire au plan du schéma se regarde dans ce système de miroirs en se
plaçant au voisinage du plan de symétrie sur l'axe (Ox). Comment se voit-il ?
02.2. Lames à faces parallèles.
On considère une lame de verre à faces parallèles, d'épaisseur e = 1 cm, d'indice n = 1,5 plongeant dans
l'air d'indice 1. Un rayon incident provenant du point O (origine du plan Ox, Oy, l'axe Ox étant
perpendiculaire à la lame), d'angle d'incidence i rencontre la lame en A et ressort en B dans la direction BC.
O est à la distance OA' = d = 10 cm de la lame.
1.
2.
3.
4.
Le rayon sort de la lame suivant la droite BC d'équation y = ax + b ; déterminer en fonction des
données de i et de r (angle de réfraction dans la lame) les paramètres a et b.
Application numérique : déterminer a et b pour i = 0°, puis pour i = 45°.
Deux rayons incidents passant par O, très voisins, d'angles d'incidence i et i + di (di très faible < 5°)
arrivent sur la lame. Les paramètres a' et b' du rayon sortant de la lame et correspondant à
l'incidence i + di peuvent se mettre sous la forme : a' = a + da et b' = b + db (da et db étant très
petits). Exprimer da en fonction de i et di, puis db en fonction de r, n et di.
Application numérique : on a di = 2° = 0,0349 rad ; calculer da et db pour i = 0°, puis pour
i = 45°.
Les deux rayons de la question précédente, sortant de la lame, se coupent en un point O' de
coordonnées xO ' et yO ' . Calculer xO ' et yO ' en fonction de a, b, a' et b'. Montrer que ces coordonnées
xO ' et yO ' sont indépendantes de di (à condition que di reste très faible).
Application numérique : calculer xO ' et yO ' pour i = 0°, puis pour i = 45°.
Les pupilles des yeux d'un observateur limitent fortement l'ouverture des faisceaux lumineux qu'ils
reçoivent (ouverture inférieure à 10°). Il observe l'image donnée du point O précédent par la lame à
faces parallèles. Détermnier les coordonnées (x, y) de la position de cette image si l'observation se fait
normalement à la lame, puis suivant une direction à 45° de la normale à la lame.
O2.3. Etude d’une aberration géométrique.
On considère une lentille en forme de demi sphère de rayon R et d’indice n plongé dans l’air d’indice 1. Un
faisceau cylindrique (de rayon d) de lumière monochromatique arrive sous incidence normale sur la lentille ; ce
faisceau est donc issu d'un point objet A situé à l'infini dans la direction de l'axe.
1.
On considère un rayon du faisceau de lumière. Établir la relation donnant CA' en fonction de R = CS et
des angles i et r. En déduire la limite CF' de CA' lorsque l'on se place dans l'approximation de
Gauss (d << r et i petit). Vérifier que, dans ces conditions, tous les rayons paraxiaux incidents
parallèles à l’axe optique émergent de la lentille en passant par le point F' : F' est donc l'image de A
dans les conditions de Gauss (stigmatisme approché) et représente le foyer image de la lentille.
2. Quelle est la valeur limite do du rayon du faisceau incident si l'on veut que tous les rayons lumineux
ressortent de la lentille ? Faire l'application numérique pour n = 1,5 et R = 5cm .
3 . Calculer les valeurs numériques de la distance CA' pour des rayons incidents dont la distance d à
l'axe optique vaut respectivement d1 = 0,5 cm, d2 = 1 cm, d3 = 1,5 cm et d 4 =2 cm.
4. Faire un développement limité au second ordre en i et en déduire une expression approchée de la
distance CA' en fonction de n, R et i . Conclure.
5. Pour quel rayon particulier a-t-on A'F ' maximum ? Quelle est la valeur de d correspondante ?
Exprimer A'F' max en fonction de n et R. Faire l'application numérique.
6. Donner qualitativement l'allure de ce qui est observé si on place un écran successivement en F' , puis
en un point A' défini par A'F'max , puis en un point A' défini par A’F’max/2.