¤ PCSI ¤ O2. Exercices.
Objets, images, stigmatisme et
aplanétisme. Conditions de Gauss.
O2.1. Association de deux miroirs plans à 90° l'un de l'autre.
Soit deux miroirs M1 et M2 (nous ne nous intéresserons pas à leurs dimensions transversales) disposés à 90°
l'un de l'autre symétriquement par rapport à l'axe (x'Ox), O étant le point de contact des deux miroirs. Soit un
objet ponctuel A (x, y) placé entre M1 et M2 en dehors de l'axe (x'Ox).
1. Déterminer les images A1 de A par M1 et A’ de A1 par M2.
2. Déterminer les images A2 de A par M2 et A’’ de A2 par M1.
3. Que peut-on dire de A’ et A’’?
4. Comment se transforme un vecteur au cours de ces réflexions ?
5. Dans quels cas n'y a-t-il qu'une seule réflexion?
Dans quels cas ces deux réflexions se produisent-elles?
Faut-il considérer plus de deux réflexions ?
6. Un individu debout et perpendiculaire au plan du schéma se regarde dans ce système de miroirs en se
plaçant au voisinage du plan de symétrie sur l'axe (Ox). Comment se voit-il ?
02.2. Lames à faces parallèles.
On considère une lame de verre à faces parallèles, d'épaisseur e = 1 cm, d'indice n = 1,5 plongeant dans
l'air d'indice 1. Un rayon incident provenant du point O (origine du plan Ox, Oy, l'axe Ox étant
perpendiculaire à la lame), d'angle d'incidence i rencontre la lame en A et ressort en B dans la direction BC.
O est à la distance OA' = d = 10 cm de la lame.
1. Le rayon sort de la lame suivant la droite BC d'équation y = ax + b ; déterminer en fonction des
données de i et de r (angle de réfraction dans la lame) les paramètres a et b.
Application numérique : déterminer a et b pour i = 0°, puis pour i = 45°.
2. Deux rayons incidents passant par O, très voisins, d'angles d'incidence i et i + di (di très faible < 5°)
arrivent sur la lame. Les paramètres a' et b' du rayon sortant de la lame et correspondant à
l'incidence i + di peuvent se mettre sous la forme : a' = a + da et b' = b + db (da et db étant très
petits). Exprimer da en fonction de i et di, puis db en fonction de r, n et di.
Application numérique : on a di = 2° = 0,0349 rad ; calculer da et db pour i = 0°, puis pour
i = 45°.
3. Les deux rayons de la question précédente, sortant de la lame, se coupent en un point O' de
coordonnées
. Calculer
en fonction de a, b, a' et b'. Montrer que ces coordonnées
sont indépendantes de di (à condition que di reste très faible).
Application numérique : calculer
pour i = 0°, puis pour i = 45°.
4. Les pupilles des yeux d'un observateur limitent fortement l'ouverture des faisceaux lumineux qu'ils
reçoivent (ouverture inférieure à 10°). Il observe l'image donnée du point O précédent par la lame à
faces parallèles. Détermnier les coordonnées (x, y) de la position de cette image si l'observation se fait
normalement à la lame, puis suivant une direction à 45° de la normale à la lame.