Contrôle n˚10 :-TS1 EX N˚1 :(6 points) Soit X une variable aléatoire

Contrôle n˚10 :-TS1
EX N˚1 :(6 points)
Soit Xune variable aléatoire à densité fdéfinie sur [1; e]par f(t) = a
t
1. Déterminer a
2. Calculer une valeur approchée à 10−3de P(X>2)
3. On rappelle que E(X) = Re
1tf(t)dt . Montrer que E(X) = e−1
EX N˚2 :(7 points)
1. Relativement au repère (A, −→ AB, −→ AC, −−→ AD), calculer les coordonnées du vecteur −−→ BG
puis du point Goù Gest le centre de gravité du triangle BCD
2. En déduire une représentation paramétrique de la droite (BG)dans ce repère
3. On admet que la droite (AG)a pour représentation paramétrique x=t0
3,y=t0 3,
z=t0
3avec t0∈R. Retrouver par calcul que les droites (BG)et (AG)se coupent
en G
EX N˚3 :(7 points)
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
La durée de vie, exprimée en années, d’un oscilloscope est une variable aléatoire X
qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, où λest un réel strictement positif.
1. On sait que P(X>10) = 0,286.
Montrer qu’une valeur approchée du réel λest 0,125
2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope ait une durée de vie inférieure à 6 mois.
3. Un oscilloscope a déjà fonctionné durant 8 ans. Quelle est la probabilité pour qu’il
fonctionne encore 2 ans ?
4. Calculer l’espérance de la variable aléatoire Xet donner une interprétation de ce
résultat.
1

Correction
EX N˚1 :(6 points)
Soit Xune variable aléatoire à densité fdéfinie sur [1; e]par f(t) = a
t
1. Puisque fest une densité de probabilité sur [1; e]donc Re
1f(t)dt = 1
Or Re
1f(t)dt =Re 1
a
tdt =aRe
1
1
tdt =a[ln(t)]e
1=a(ln(e)−ln(1)) = a
Donc a= 1
2. P(X>2) = Re
2
1
tdt = ln(e) −ln(2) = 1 −ln(2) = 0,70 à10−3près
3. E(X) = Re
1t1
tdt =Re
11dt = [t]e
1=e−1
EX N˚2 :(7 points)
1. −−→ BG =2
3
−→
BJ =2
3(−−→
BC +−→ CJ =2
3(−→
BA +−→ AC) + 2
3
−→
CJ) = −2
3
−→
AB +2
3
−→
AC +2
3×1 2
−−→
CD
−−→
BG =−2
3
−→
AB +2
3
−→
AC +1
3(−→
CA +−−→ AD) = −2
3
−→
AB +1
3
−→
AC +1
3
−−→
AD
Donc −−→ BG(−2
3;1 3;1 3)dans le repère
Enfin −→ AG =−→ AB +−−→ BG =1
3
−→
AB +1
3
−→
AC +1
3
−−→
AD
Donc −→ AG(1
3;1 3;1 3)et G(1 3;1 3;1 3)dans le repère
2. une représentation paramétrique de la droite (BG)dans ce repère est
x=1
3−2 3t
y=1
3+1 3t
z=1
3+1 3tavec t∈R
2

3. On résout le système
1
3−2 3t=t0 3,
1
3+1 3t=t0 3
1
3+1 3t=t0 3
On multiplie toutes les lignes par 3 et on obtient
t0+ 2t= 1
t0−t= 1
et on obtient comme solution t0= 1 et t= 0 et donc x=1
3,y=1 3et z=1 3ce
sont les coordonnées de G
EX N˚3 :(7 points)
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
1. On a P(X>10) = e−10λ. Donc e−10λ= 0,286 et −10λ= ln(0,286)
Donc λ=ln(0,286)
−10 = 0,125
2. On cherche P(X60,5) = 1 −e0,125×0,5= 0,061
3. On cherche PX>8(X>10) = P(X>10)
P(X>8) =e−10λ e−8λ= e−2λ= 0,779
4. E(X) = 1
λ= 8 ans . C’est la durée de vie moyenne d’un oscilloscope
3