Contrôle n˚10 :-TS1 EX N˚1 :(6 points) a Soit X une variable aléatoire à densité f définie sur [1; e] par f (t) = t 1. Déterminer a 2. Calculer une valeur approchée à 10−3 de P (X > 2) Re 3. On rappelle que E(X) = 1 tf (t)dt . Montrer que E(X) = e − 1 EX N˚2 :(7 points) −→ −→ −−→ −−→ 1. Relativement au repère (A, AB, AC, AD), calculer les coordonnées du vecteur BG puis du point G où G est le centre de gravité du triangle BCD 2. En déduire une représentation paramétrique de la droite (BG) dans ce repère 0 0 3. On admet que la droite (AG) a pour représentation paramétrique x = t3 , y = t3 , 0 z = t3 avec t0 ∈ R. Retrouver par calcul que les droites (BG) et (AG) se coupent en G EX N˚3 :(7 points) Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième. La durée de vie, exprimée en années, d’un oscilloscope est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif. 1. On sait que P (X > 10) = 0, 286. Montrer qu’une valeur approchée du réel λ est 0,125 2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope ait une durée de vie inférieure à 6 mois. 3. Un oscilloscope a déjà fonctionné durant 8 ans. Quelle est la probabilité pour qu’il fonctionne encore 2 ans ? 4. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et donner une interprétation de ce résultat. 1 Correction EX N˚1 :(6 points) a Soit X une variable aléatoire à densité f définie sur [1; e] par f (t) = t Re 1. Puisque f est une densité de probabilité sur [1; e] donc 1 f (t)dt = 1 Re 1 Re Re a Or 1 f (t)dt = 1 dt = a 1 dt = a[ln(t)]e1 = a(ln(e) − ln(1)) = a t t Donc a = 1 Re 1 2. P (X > 2) = 2 dt = ln(e) − ln(2) = 1 − ln(2) = 0, 70 à 10−3 près t Re Re 1 3. E(X) = 1 t dt = 1 1dt = [t]e1 = e − 1 t EX N˚2 :(7 points) −−→ 2 −→ 2 −−→ −→ 2 −→ −→ 2 −→ 2 −→ 2 −→ 2 1 −−→ 1. BG = BJ = (BC + CJ = (BA + AC) + CJ) = − AB + AC + × CD 3 3 3 3 3 3 3 2 −−→ 2 −→ 2 −→ 1 −→ −−→ 2 −→ 1 −→ 1 −−→ BG = − AB + AC + (CA + AD) = − AB + AC + AD 3 3 3 3 3 3 −−→ 2 1 1 Donc BG(− ; ; ) dans le repère 3 3 3 −→ −→ −−→ 1 −→ 1 −→ 1 −−→ Enfin AG = AB + BG = AB + AC + AD 3 3 3 −→ 1 1 1 1 1 1 Donc AG( ; ; ) et G( ; ; )dans le repère 3 3 3 3 3 3 2. une représentation paramétrique de la droite (BG) dans ce repère est 1 2 x= − t 3 3 1 1 y= + t 3 3 1 1 z = + t avec t ∈ R 3 3 2 3. On résout le système t0 1 2 − t= , 3 3 3 1 1 t0 + t= 3 3 3 t0 1 1 + t= 3 3 3 On multiplie toutes les lignes par 3 et on obtient t0 + 2t = 1 t0 − t = 1 1 1 1 et on obtient comme solution t0 = 1 et t = 0 et donc x = , y = et z = ce 3 3 3 sont les coordonnées de G EX N˚3 :(7 points) Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième. 1. On a P (X > 10) = e−10λ . Donc e−10λ = 0, 286 et −10λ = ln(0, 286) ln(0, 286) = 0, 125 Donc λ = −10 2. On cherche P (X 6 0, 5) = 1 − e0,125×0,5 = 0, 061 3. On cherche PX>8 (X > 10) = 4. E(X) = P (X > 10) e−10λ = −8λ = e−2λ = 0, 779 P (X > 8) e 1 = 8 ans . C’est la durée de vie moyenne d’un oscilloscope λ 3