Prise en compte de la tension de surface en nano

17
ème
Congrès Français de Mécanique Troyes,-Septembre2005
Prise en compte de la tension de surface en nano-indentation de
matériaux souples
Christophe FOND
Institut Charles Sadron (C. N. R. S.)
6 rue Boussingault
F67083 Strasbourg
Résumé :
Le contact entre un indenteur sphérique et un solide élastique est considéré. Un modèle par éléments finis permettant de prendre
en compte la tension de surface du solide est présenté et validé. Il est montré que pour la nano-indentation de matières souples,
la tension de surface du solide peut influencer considérablement la courbe force vs. profondeur d’indentation. Il est ainsi définit
quand le modèle de Hertz ne convient plus. En bonne approximation, la courbe force vs. profondeur d’indentation peux être
approchée par une croissance allométrique F = a δ
b
où F désigne la force, δ la profondeur d’indentation, a et b ∈ ]1, 1.5]
sont des constantes qui dépendent du matériau et du rayon de pointe.
Abstract :
The contact between a spherical indenter and an elastic solid is considered. A numerical finite element model to take into
account the surface tension of the solid is presented and assessed. It is shown that for nano-indentation of soft materials, the
surface tension of the solid can influence significantly the force vs. the indentation depth curve. The situations for which the
Hertz’s model is not suitable are defined. With good accuracy, the force vs. the indentation depth curve is well fitted by an
allometric function F = a δ
b
where F is the force, δ the indentation depth, a and b ∈ ]1, 1.5] constants depending on the
material and the indenter radius.
Mots clefs :
Indentation – nano-indentation - tension de surface – matière molle .
1 Introduction
Les essais d’indentation sont de plus en plus utilisés pour mesurer les raideurs élastiques des matériaux [1, 2].
Dans le cas des matières souples, plus souvent appelées matières molles, la mesure du module d’élasticité à
partir d’essai de nano-indentation donne généralement des valeurs supérieures au module mesuré en masse
par exemple en traction uniaxiale [3]. Pour pouvoir en déduire des propriétés massiques au voisinage de la
surface différentes des propriétés à cœur, il convient d’évaluer les effets d’éventuelles forces de surface sur
la mesure effectuée. En particulier, il est montré plus loin que la tension de surface du solide peut avoir un
effet considérable sur la force de réaction sur l’indenteur lorsque le module d’Young du matériau est faible
et le rayon de pointe petit.
2 Modèle par élément fini
Il est admis que la tension de surface ne varie avec la courbure de façon significative que pour les rayons de
courbure typiquement inférieurs au nanomètre [4]. En ce qui concerne les rayons de pointes de quelques
dizaines de nanomètres utilisées en nano-indentation, le modèle proposé devra donc assurer une tension de
surface quasi-constante. L’énergie associée à la tension de surface peut être vue de façon équivalente comme
une énergie de variation de surface ou comme le travail des forces générées par cette tension [5]. Un moyen
simple d’intégrer la tension de surface à un modèle par éléments finis (E. F.) consiste à lier la surface à une
couche d’éléments simulant une peau précontrainte. Les résultats de calcul présentés ici sont issus du

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logiciel CAST3M©. Les calculs numériques doivent prendre en compte les grands déplacements [6], même
si les déformations sont petites. Des éléments isoparamétriques à 4 nœuds standards constituent la peau
précontrainte. Afin que ces éléments ne perturbent quasiment pas la réponse volumique du milieu et pour
limiter la variation de la tension de surface liée aux non-linéarités géométriques, il faut optimiser les
paramètres géométriques et matériau de ces éléments. L’optimisation conduit à choisir E
t
= E, ν
t
= 0,
e < (r / 1000), σ
t
> 10
4
E où E et E
t
sont respectivement les modules d’Young du matériau et de la peau, ν
t
le coefficient de Poisson de la peau, e son épaisseur, σ
t
sa précontrainte dans les directions radiale et ortho-
radiale et r la rayon de l’indenteur sphérique. La Fig. 1(gauche) est un schéma du modèle axisymétrique. Les
conditions aux limites, hors surface, imposent des déplacements nuls, i. e. u
3
= u
1
= 0. En pratique, les
frontières sont suffisamment loin de l’indenteur pour simuler un milieu semi-infini. D et h sont
suffisamment grands devant r pour que u
3
= u
1
= 0 aux frontières équivaut au premier ordre à imposer
u
1
= 0 et u
3
≠ 0 (la force nodale correspondante f
3
est nulle) le long de x
3
et u
1
≠ 0 (f
1
= 0) et u
3
= 0 le long
de x
1,
hors surface. La Fig. 1(droite) illustre l’évolution de la précontrainte dans un élément de surface en
grande rotation. f
1
= σ
t
e= t
0
et f
3
= 0 sont imposés dans la configuration initiale et la précontrainte selon
l’axe x
1
est maintenue. En pratique, pour les résultats de simulations suivantes, les angles maximaux de
rotation sont de l’ordre de 15°, soit t < 1.03 t
0
. Pour diminuer les problèmes de convergence, les
déplacements selon x
1
des nœuds en peau adjacents selon x
3
sont imposés égaux. La région de l’espace
occupée par la pointe est interdite aux nœuds du modèle, i. e. la pointe est indéformable et pas réellement
modélisée. Les conditions aux limites sont réactualisées à chaque pas de calcul - un pas correspondant à un
incrément d’indentation – pour passer de la condition de surface libre de contrainte à la condition de
déplacement imposé lorsqu’un nœud en surface du modèle entre en contact avec la pointe.
0 10 20 30 40 50 60
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
f
1
/ t
0
f
3
/ t
0
t / t
0
f
1
/ t
0
, f
3
/ t
0
, t / t
0
(-)
angle (degrés)
FIG. 1 – (gauche) Schéma du modèle par élément fini, axisymétrique autour de l’axe x
3
, montrant
l’indenteur sphérique, le solide élastique, les éléments de surface précontraints et les conditions aux limites –
les proportions ne sont pas respectées ; (droite) évolution de la contrainte dans les éléments précontraints
en surface en fonction de leur angle de rotation par rapport à leur position initiale.
3 Validations du modèle
3.1 Comparaison aux valeurs théoriques
3.1.1 Cas de "la bulle de savon"
L’évolution de la tension dans l’élément fournit une information locale sur l’écart par rapport à une tension
constante. Un test représentatif pour un indenteur sphérique consiste à envisager une sphère sous pression,
i. e. un rayon de courbure constant pour les éléments en peau. La Fig. 2 représente l’évolution du travail des
forces extérieures normée par l’énergie de création de surface correspondant à l’inflation d’une sphère. La
tension de surface déduite du travail des forces extérieures ainsi que celle déduite de l’incrément de travail
des forces extérieures est maintenue quasiment constante par le modèle numérique proposé.
3.1.2 Modèle de Hertz
La Fig. 3(gauche) illustre la capacité du modèle par E. F. à reproduire le résultat analytique de Hertz pour la
force de réaction F
H
à l’indentation d’un massif élastique semi-infini, donné par :
F
H
= (4/3) E* r
0.5
δ
1.5
(1)

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où E* = E / (1 − ν²). Le milieu étant discrétisé, la force de réaction à l’indentation au début du contact est
relativement mal estimée du fait de l’interaction avec la pointe sur un seul élément. Pour des valeurs de
δ / r > 0.05, l’erreur est inférieure à 10 %, que le contact soit parfaitement collé ou parfaitement glissant. Il
est en effet connu que l’influence du frottement entre un indenteur sphérique et un milieu élastique est du
second ordre sur la réaction d’indentation. Pour les simulations suivantes, le contact est considéré
parfaitement glissant, correspondant au modèle de Hertz [7].
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.00
1.05
1.10
ra
W / t ∆ s
dW / t d ∆ s
W / t
∆
s, dW / t d
∆
s (-)
a / r (-)
FIG. 2 – Travail des forces extérieures normé par l’énergie de création de surface pour une courbure
constante et sa différentielle vs. courbure.
3.1.3 Cas de "la peau de tambour"
La Fig. 3(droite) illustre la capacité du modèle par E. F. à reproduire le résultat analytique de l’Annexe pour
la force de réaction F à l’indentation d’une peau précontrainte. Les paramètres du calcul sont e = 10
-4
. r,
t
0
= 420 N / m, D = 102 mm et h = 20 . r. Pour des rayons de pointe de 1.5 mm et 3.55 mm, les forces
d’indentations issues du modèle numérique coïncident convenablement avec les résultats analytiques.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
1E-3
0.01
0.1
1
ν = 0.35
contact collé
contact glissant
|F
FEM
- F
Hertz
| / F
Hertz
(-)
δ / r (-)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
0.00
0.05
0.10
0.15 R = 3.55 mm
modèle E.F.
solut. analyt.
R = 1.5 mm
modèle E.F.
solut. analyt.
F (N)
δ (mm)
FIG. 3 – (gauche) Erreur du calcul numérique par rapport au calcul analytique de Hertz vs. profondeur
d’indentation normée par la rayon de pointe ; (droite) comparaison des forces de réaction à l’indentation
obtenues par calcul numérique par E. F. et par calcul analytique vs. profondeur d’indentation.
Comme le montre les calculs en Annexe, lorsque le rapport entre le module d’élasticité du matériau et la
tension de surface devient petit, i. e. lorsque le modèle tend vers le problème de l’indentation d’une
membrane, la dimension du milieu doit être grande devant le rayon de l’indenteur (D >> r). En effet,
comme l’indique la Fig. 4 pour δ / r = 0.1, t = 0.03 N / m, r = 50 nm, ν = 0.4999167, D / r doit être de
l’ordre de (100 r . E) / t pour atteindre des valeurs asymptotiques. La Fig. 4 fournissant une comparaison
avec le calcul de Hertz, elle indique aussi que la tension de surface a un effet considérable sur la force
d’indentation dans la gamme où le module de raideur surfacique t / (r . E*) est de l’ordre de 1.

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10 100 1000 10000
1.0x10
-10
2.0x10
-10
3.0x10
-10
4.0x10
-10
5.0x10
-10
Hertz
analyt. peau seule
modèle E.F.
h = D, E = 0.1 MPa
h = D, E = 1 MPa
h/r = 30
F (N)
D / r (-)
FIG. 4 – Evolution de la force d’indentation vs. diamètre du modèle normé par le rayon de l’indenteur.
3.2 Comparaison aux valeurs expérimentales d’indentation de membrane
tendue
La Fig. 5 montre les forces mesurées en indentation par une bille métallique d’une membrane en
caoutchouc tendue sur un support circulaire. La précontrainte dans la membrane est évaluée en mesurant la
courbure induite par une pression d’eau induite par gravité. Les données sont identiques à celles
correspondant à la Fig. 3. La tension initiale dans la membrane est évaluée à t
0
= 420 N / m ± 5 %. La
précision sur cette dernière valeur est limitée par la légère variation de pression d’eau entre le centre et le
bord de la membrane ainsi que par l’incertitude sur la mesure du rayon de courbure. Les contraintes induites
par les déformations élastiques liées à l’indentation sont faibles devant la précontrainte dans la membrane.
Les barres d’erreur correspondent aux calculs numériques pour t
0
= 400 N / m et t
0
= 440 N / m. On
constate expérimentalement, en lubrifiant ou non la bille, que l’influence du frottement dans le contact est
du second ordre sur la force d’indentation, à l’instar du problème de Hertz. Les courbes F vs. δ présentent
des évolutions systématiquement très proches d’une croissance allométrique :
F ≈ a δ
b
(2)
où a dépend de E, ν, t et r et b ∈ ]1 ; 1.5]. Même si les calculs connaissent généralement des problèmes de
convergence – un schéma implicite basé sur la "θ-méthode" est utilisé par le logiciel CAST3M - pour
δ / r > 0.25, l’extrapolation au-delà de cette dernière valeur, issue de l’identification des paramètres a et b en
deçà, fournit des estimations fort convenables. L’exposant b pour le cas présenté (D / r ≈ 0.35) est de
l’ordre de 1.1.
0 2 4 6 8 10
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
R = 1.5 mm
contact lubrifié
contact sec
F = 0.14 δ
1.1
F (N)
δ (mm)
R = 3.55 mm
contact lubrifié
contact sec
F = 0.16 δ
1.12
FIG. 5 – (gauche) photos d’une bille métallique déformant une membrane en caoutchouc tendue ; (droite)
évolution de la force d’indentation vs. diamètre du modèle normé par le rayon de l’indenteur.

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4 Couplage élasticité et tension de surface
Les calculs numériques montrent que le cas de l’indentation d’un massif élastique où la tension de surface
présente une contribution significative est totalement couplé et ne peut se résumer précisément à la
superposition de deux problèmes distincts. Ils montrent aussi que l’éq. (2) fournit une bonne approximation
quels que soient E, ν, r, et t. La Fig. 6(gauche) est issues de simulations par E. F. pour t = 0.03 N / m,
D = 300 r et h = 30 r. Le module de compressibilité K du matériau est maintenu à 2 GPa, correspondant
typiquement aux élastomères ainsi qu’à l’eau. La Fig. 6(droite) propose une estimation de l’exposant b par
une loi de Boltzmann :
b ≈ 1.09 + 0.41 / {1 + e
1.4 + 2 log(t/rE*)
} (3)
Il apparaît que pour des valeurs du module de raideur surfacique t / (r . E*) de l’ordre de 0.01 ou moins, le
modèle de Hertz prévaut, i. e. b ≈ 1.5. En deçà de ces valeurs, il convient de prendre en compte la tension
de surface. En pratique, l’identification de l’exposant b à partir des données expérimentales dans la portion
du début de l’indentation, typiquement lorsque δ / r < 0.3, informe directement sur la contribution relative
de la tension de surface.
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
r = 25 nm
r = 50 nm
r = 100 nm
r = 250 nm
r = 500 nm
a
membrane
~ b
membrane
= b
Hertz
a
Hertz
a (N/m)
E (Pa)
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
K = 2 GPa
t = 0.03 N/m
b (-)
-4 -3 -2 -1 0 1 2
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
simul. E. F.
approx. Boltz.
b
log (t / rE*)
FIG. 6 – (gauche) Abaques fournissant l’exposant b et le pré-facteur a pour des rayons de pointe
microscopique pour des matériaux de la classe des élastomères ; (droite) exposant b vs. module de raideur
surfacique pour K = 2 GPa.
5 Conclusion
Le modèle par E. F. proposé permet d’obtenir des estimations de la force d’indentation en présence de
tension de surface à l’aide de logiciels et de procédures standards. La précision des résultats est bonne et
cohérente avec les données expérimentales disponibles aux échelles concernées [3], en particulier la
connaissance de la dimension et de la forme des pointes microscopiques. L’exploitation du modèle pour le
dépouillement d’essais de nano-indentation sur des élastomères permet d’estimer la tension de surface du
solide lorsque le module d’Young est mesuré par ailleurs [8].
6 Annexe : le problème du "tambour"
La solution analytique pour l’indentation d’une membrane précontrainte par un indenteur sphérique est
aisément obtenue pour une précontrainte équi-biaxiale constante t à l’aide de considérations purement
géométriques. Cela correspond à une membrane élastique suffisamment précontrainte pour que les
déformations élastiques n’engendrent que des variations de précontraintes négligeables. La membrane est
initialement plane et l’effet de la gravité n’est pas considéré. L’équilibre quasi-statique impose :
F = 2 π t sin α(D) (A. 1)
où F est la force appliqué sur l’indenteur, D la distance à l’axe d’axisymétrie et α(D) l’angle entre l’état initial
et l’état déformé à une distance D. Les rayons de l’indenteur et de la calotte en contact sont désignés
respectivement par r et a (voir Fig. A1). La membrane est tangente à l’indenteur sphérique à la limite du
contact de sorte que :
F = 2 π t a²/r (A. 2a)