Action d`un champ magnétique uniforme

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
Chapitre n° 4 : ACTION D'UN CHAMP MAGNETIQUE UNIFORME
I) Champ magnétique créé par un solénoïde et des bobines de Helmholtz :
1) Solénoïde et bobine :
Une bobine est un enroulement de fil conducteur. Chaque tour de fil est une spire.
Un solénoïde est une bobine formée d'une couche de spires jointives.
A l'intérieur d'un solénoïde, le champ magnétique est uniforme et de même direction que
l'axe de révolution du solénoïde.
Le sens du champ est déterminé par la règle des trois doigts de la main droite (équivalente à
la règle du bonhomme d'Ampère).
On pourra assimiler un solénoïde à un
solénoïde infiniment long si sa
longueur L est grande devant son
diamètre d (L >> d).
Dans le cas d'un solénoïde infiniment
long, le champ magnétique est nul à
l'extérieur, et à l'intérieur a pour
valeur :
B = µ0.n.I
Où µ0 est la perméabilité magnétique du vide (ou de l'air) et : µ0 = 4.π.10−7 S.I., n est le
nombre de spires par mètre de longueur du solénoïde et I est l'intensité du courant (en A).
Soit L sa longueur est N le nombre total de spires du solénoïde, on a :
B = µ0. N .I
L
2) Bobines de Helmholtz :
On appelle bobines de Helmholtz l'association de deux bobines plates coaxiales séparées
par une distance D égale à leur rayon commun R.
L'étude expérimentale du champ magnétique créé par les
bobines de Helmholtz montre que dans une région voisine du
centre de symétrie du système le champ magnétique est :
- uniforme,
- dirigé suivant l'axe commun des bobines,
- de sens donné par la règle de la main droite.
Si N est le nombre de spires de chaque bobine, R leur rayon et
qu'elles sont montées en série et parcouru par un courant
d'intensité I, le champ considéré comme uniforme au centre du
dispositif a pour valeur :
B = 0,72. µ0. N .I
R
3) Champ magnétique uniforme :
Pour disposer d'un champ magnétique uniforme on voit donc que l'on
peut utiliser un solénoïde long ou des bobines de Helmholtz.
Dans un solénoïde long le champ magnétique est très uniforme loin des
bords mais l'accès à ce champ est rendu délicat pour des expériences
encombrantes.
Les bobines de Helmholtz permettent de réaliser des expériences plus
volumineuses mais l'uniformité du champ est moins précise.
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Action d'un champ magnétique uniforme
II) Produit vectoriel de deux vecteurs :
1) Définition :
→
→
On considère deux vecteurs V 1 et V 2 de même origine O,
→
→
faisant entre eux un angle θ = ( V 1 , V 2 ) compris entre 0 et
180 ° (0 et π rad).
→
→
→
On appelle produit vectoriel de V 1 par V 2 , le vecteur V ,
→
→
→
noté V = V 1 /\ V 2 tel que :
→
→
→
- V est orthogonal au plan défini par V 1 et V 2 ,
→
→
→
→
- V a un sens tel que l'on "tourne" dans le sens direct de V 1 vers V 2 autour de V ,
→
→
→
- ║ V ║ = ║ V 1 ║.║ V 2 ║.sinθ = V1.V2.sinθ
→
→
→
→
Remarque : On peut dire aussi : V a un sens tel que le trièdre V 1 , V 2 , V est direct.
On peut appliquer la "règle des trois doigts de la main droite" :
→
→
→
V 1 est "porté" par le pouce, V 2 par l'index et V est alors porté par le majeur.
Remarque : Le sens direct choisi pour définir le sens du produit vectoriel est défini par une
convention : le produit vectoriel de deux vecteurs étant défini à une convention
près est un pseudo-vecteur (tenseur d'ordre deux, à trois dimensions et antisymétrique).
Remarque : Si θ = 0 ou θ = π, le produit vectoriel est nul : pour que deux vecteurs soient
parallèles, il faut et il suffit que leur produit vectoriel soit nul.
2) Cas particuliers :
→
→
- Si α = 0 ou α = π, sin(α) = 0 et V 1 et V 2 sont parallèles : leur produit vectoriel est nul.
→
→
→
→
→
- pour V 1 et V 2 donnés, V est maximal lorsque sin(θ) = 1 : V 1 et V 2 sont orthogonaux.
III) Force de Laplace, rappels :
1) Action d'un champ magnétique sur un courant :
Le champ magnétique est généré par à un aimant en U et a
pour sens d'avant en arrière de la figure.
Quand le courant circule de bas en haut dans le
conducteur, celui-ci est dévié vers la gauche, la force
de Laplace s'exerce donc vers la gauche.
Lorsqu'on inverse le sens du courant, la force de Laplace s'inverse.
Lorsqu'on inverse le sens du champ magnétique, la force de Laplace s'inverse.
D'une façon générale, nous admettrons la loi de Laplace :
→
Lorsqu'un conducteur rectiligne de longueur l (orienté dans un
sens arbitraire), parcouru par un courant d'intensité algébrique I
(dont le signe dépend de l'orientation et du sens du courant), est
→
plongé dans un champ magnétique uniforme B , il est soumis à une
→
force F (dite de Laplace) dont :
→
→
- la direction est orthogonale au plan l , B ,
- le sens est défini par la règle des trois doigts de la main droite :
- la mesure est donnée par : F = I.l.B
Nous prendrons la force de Laplace pour définir l'intensité du
champ magnétique :
B= F
I.l
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2) Application de la force de Laplace :
La mesure de la force exercée sur un élément de circuit plongé dans un champ magnétique,
permet de déterminer l'intensité de ce champ magnétique.
C'est sur ce principe que sont conçus la plupart des instruments de mesure du champ
magnétique :
balance de Cotton
sonde à effet Hall ...
IV) Force magnétique (de Lorentz) :
1) Mise en évidence :
Le champ magnétique n'a pas d'action sur le pendule électrostatique (charges au repos).
Un champ magnétique a une action mécanique sur un faisceau de particules chargée en
mouvement. Cette action dépend des caractéristiques du mouvement des particules par
rapport au champ magnétique (expérience d'Oersted : tube à croix de Malte).
2) Force de Lorentz :
Lorentz à étudié la force appliquée à une particule portant la charge q et animée à un instant
→
→
donné d'une vitesse v dans un champ magnétique B . La force de Lorentz a pour
→
→
→
expression :
F = q. v /\ B
→
→
Comme dans l'expression de la force de Coulomb F = q. E , on peut distinguer deux
→
→
contributions : le vecteur q. v caractérise la particule, alors que B est une propriété de
→
l'espace au point où se trouve la particule. F est le résultat d'un produit vectoriel et a pour :
→
→
- direction : la perpendiculaire au plan défini par v et B ,
→
→
→
- sens : tel que l'on "tourne" de q. v vers B dans le sens direct autour de F ,
→
→
→
→ →
→ →
- valeur : ║ F ║ = q.║ v ║.║ B ║.sin( v , B ) ou encore F = q .v.B.sin( v , B ).
→
→
→ →
Si v est orthogonal à B , sin( v , B ) = 1 et la valeur de la force de Lorentz est : F = q .v.B.
3) Variation de la vitesse de la particule :
Appliquons le théorème de l'énergie cinétique durant un petit intervalle de temps δt pendant
→
→
lequel la particule subit un petit déplacement δ l = v .δt. La variation d'énergie cinétique
pendant l'intervalle de temps δt est égale au travail de la force magnétique de Lorentz :
→
→
→ →
δEC = F . δ l = F . v .δt
→
→
→
→
La force magnétique F = q. v /\ B est orthogonale à v à chaque instant, donc le produit
→ →
scalaire F . v est constamment nul, donc δEC = 0 et l'énergie cinétique est constante ainsi
que la mesure v de la vitesse de la particule.
Si une particule chargée n'est soumise qu'à une force magnétique son mouvement est
→
uniforme (quel que soit le champ magnétique B ).
Il est impossible de mettre en mouvement une particule à l'aide du seul champ magnétique.
→
→
Remarque : Attention : la force de Lorentz F s'exerçant perpendiculairement à la vitesse v
de la particule, elle peut modifier la direction de la vitesse et donc communiquer
une accélération à la particule sans pouvoir modifier la mesure de cette vitesse.
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Action d'un champ magnétique uniforme
V) Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme :
1) Cas particulier :
On considère une particule de masse m et de charge q se déplaçant dans un champ
→
→
magnétique B uniforme. On se place dans le cas particulier où la vitesse v 0 de la particule
à l'instant initial est orthogonale au champ magnétique.
→
→
→
→
→
On choisit un repère (O, i , j , k ) tel que k soit parallèle à B .
a) Trajectoire :
La particule n'est soumise qu'à la force magnétique et
l'application de la loi fondamentale donne :
→
→
q → →
. v /\ B
a = F =
m
m
→
→
Le vecteur accélération a étant le produit vectoriel de v
→
→
→
par B , est orthogonal à B donc à k , la composante de
l'accélération sur l'axe z est donc nulle : az = 0.
On déduit vz = cte = vz0 = 0 par hypothèse, puis z = cte = z0.
→
Le mouvement de la particule a lieu dans un plan perpendiculaire à B .
→
→
→
Le vecteur accélération a étant le résultat d'un produit vectoriel de v par B est
→
→
orthogonal à v , la composante tangentielle de a est nulle.
Or aT = dv = 0 donc v = cte = v0, on retrouve que :
dt
Le mouvement de la particule est uniforme.
→
→
→
v étant constamment orthogonal à B , la mesure de a est donnée par :
q
a = aN =
.v0.B où q, v0, B et m sont des constantes. L'accélération de la particule est
m
constante en mesure et normale à la trajectoire qui est elle-même plane :
La trajectoire de la particule est circulaire.
→
La particule a un mouvement circulaire uniforme dans un plan orthogonal à B .
2
q
On a : aN =
.v0.B = v 0 où R est le rayon du cercle trajectoire : R = m.v 0
R
m
q .B
b) Vitesse angulaire, période, fréquence :
On vient de voir que la particule a un mouvement circulaire uniforme. On s’intéresse à la
vitesse angulaire de la particule sur sa trajectoire.
q .B
On a la relation ω = v 0 d'où
ω=
(en rad.s−1)
m
R
La période de rotation est
T = 2.π = 2.π.m
(en s)
ω
q .B
Et la fréquence de rotation
q .B
N= 1 =
2.π.m
T
(en Hz)
2) Cas général :
On considère une particule de masse m et de charge q se
→
→
déplaçant dans un champ magnétique B uniforme. La vitesse v 0
de la particule à l'instant initial n'est pas orthogonale au champ
magnétique.
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Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
→
→
→
→
On peut écrire : v 0 = v 0 ⊥ + v 0 // où v 0 ⊥ est la composante de la vitesse dans un plan
→
→
→
orthogonal à B et v 0 // la composante de la vitesse parallèle à B .
→
L'action du champ magnétique B sur la particule se traduit par l’existence de la force
→
→
magnétique de Lorentz F qui est systématiquement orthogonale à B , le champ magnétique
n'a pas d'action parallèlement à lui-même (produit vectoriel).
Le mouvement le plus général de la particule est un mouvement hélicoïdal qui est la
superposition :
→
- d'un mouvement circulaire uniforme dans un plan orthogonal à B , décrit avec une période :
T = 2.π = 2.π.m avec, ici : ω = v 0⊥ .
ω
R
q .B
→
- d'un mouvement de translation rectiligne uniforme parallèlement à B , décrit avec une
vitesse v0//.
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Action d'un champ magnétique uniforme
A RETENIR
I) Champ magnétique créé par un solénoïde et des bobines de Helmholtz :
1) Solénoïde et bobine :
Le sens du champ est déterminé par la règle des trois doigts de la main droite (équivalente à
la règle du bonhomme d'Ampère).
Dans le cas d'un solénoïde infiniment long, le champ magnétique est nul à l'extérieur, et à
l'intérieur a pour valeur :
B = µ0.n.I
Où µ0 est la perméabilité magnétique du vide (ou de l'air) et : µ0 = 4.π.10−7 S.I., n est le
nombre de spires par mètre de longueur du solénoïde et I est l'intensité du courant (en A).
Soit L sa longueur est N le nombre total de spires du solénoïde, on a :
B = µ0. N .I
L
2) Bobines de Helmholtz :
On appelle bobines de Helmholtz l'association de deux bobines plates coaxiales séparées
par une distance D égale à leur rayon commun R.
Si N est le nombre de spires de chaque bobine, R leur rayon et qu'elles sont montées en
série et parcouru par un courant d'intensité I, le champ considéré comme uniforme au centre
du dispositif a pour valeur :
B = 0,72. µ0. N .I
R
II) Produit vectoriel de deux vecteurs :
1) Définition :
→
→
→
→
→
→
On appelle produit vectoriel de V 1 par V 2 , le vecteur V , noté V = V 1 /\ V 2 tel que :
→
→
→
- V est orthogonal au plan défini par V 1 et V 2 ,
→
→
→
→
- V a un sens tel que l'on "tourne" dans le sens direct de V 1 vers V 2 autour de V ,
→
→
→
- ║ V ║ = ║ V 1 ║.║ V 2 ║.sinθ = V1.V2.sinθ
2) Cas particuliers :
→
→
- Si α = 0 ou α = π, sin(α) = 0 et V 1 et V 2 sont parallèles : leur produit vectoriel est nul.
→
→
→
→
→
- pour V 1 et V 2 donnés, V est maximal lorsque sin(θ) = 1 : V 1 et V 2 sont orthogonaux.
III) Force de Laplace, rappels :
→
Lorsqu'un conducteur rectiligne de longueur l (orienté dans un sens arbitraire), parcouru par
un courant d'intensité algébrique I (dont le signe dépend de l'orientation et du sens du courant),
→
→
est plongé dans un champ magnétique uniforme B , il est soumis à une force F (dite de
Laplace) dont :
→
→
- la direction est orthogonale au plan l , B ,
- le sens est défini par la règle des trois doigts de la main droite :
- la mesure est donnée par : F = I.l.B
Nous prendrons la force de Laplace pour définir l'intensité du champ magnétique :
B= F
I.l
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Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
IV) Force magnétique (de Lorentz) :
→
→
→
F = q. v /\ B
→
F est le résultat d'un produit vectoriel et a pour :
→
→
- direction : la perpendiculaire au plan défini par v et B ,
→
→
→
- sens : tel que l'on "tourne" de q. v vers B dans le sens direct autour de F ,
→
→
→
→ →
→ →
- valeur : ║ F ║ = q.║ v ║.║ B ║.sin( v , B ) ou encore F = q .v.B.sin( v , B ).
→
→
→ →
Si v est orthogonal à B , sin( v , B ) = 1 et la valeur de la force de Lorentz est : F = q .v.B.
→
→
→
La force de Lorentz a pour expression : F = q. v /\ B
→
F a pour :
→
→
- direction : la perpendiculaire au plan défini par v et B ,
→
→
→
- sens : tel que l'on "tourne" de q. v vers B dans le sens direct autour de F ,
→
→
→
→ →
→ →
- valeur : ║ F ║ = q.║ v ║.║ B ║.sin( v , B ) ou encore F = q .v.B.sin( v , B ).
→
→
→ →
Si v est orthogonal à B , sin( v , B ) = 1 et la valeur de la force de Lorentz est : F = q .v.B.
→
→
→
→
Théorème de l'énergie cinétique : δEC = F . δ l = F . v .δt
→ →
Le produit scalaire F . v est constamment nul, donc δEC = 0 et l'énergie cinétique est constante
ainsi que la mesure v de la vitesse de la particule.
Si une particule chargée n'est soumise qu'à une force magnétique son mouvement est
→
uniforme (quel que soit le champ magnétique B ).
V) Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme :
On considère une particule de masse m et de charge q se déplaçant dans un champ
→
→
magnétique B uniforme. On se place dans le cas particulier où la vitesse v 0 de la particule à
l'instant initial est orthogonale au champ magnétique.
La particule n'est soumise qu'à la force magnétique, l'application de la loi fondamentale donne :
→
→
q → →
F
=
. v /\ B
a =
m
m
→
Le mouvement de la particule a lieu dans un plan perpendiculaire à B .
Le mouvement de la particule est uniforme.
La trajectoire de la particule est circulaire.
→
La particule a un mouvement circulaire uniforme dans un plan orthogonal à B .
On a :
R = m.v 0
q .B
On a la relation ω = v 0 d'où
R
La période de rotation est
Et la fréquence de rotation
q .B
m
2
.
π
T=
= 2.π.m
ω
q .B
ω=
q .B
N= 1 =
2.π.m
T
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(en rad.s−1)
(en s)
(en Hz)
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Action d'un champ magnétique uniforme
POUR S'ENTRAÎNER
I) Cyclotron.
Soit un cyclotron à fréquence fixe. C'est un accélérateur
de particules chargées, constitué par deux demicylindres conducteurs creux D1 et D2, les "dees",
séparés par un intervalle étroit.
→
Un champ magnétique uniforme B est créé dans D1 et
D2, parallèlement à l'axe des demi-cylindres.
→
Un champ électrique E est créé dans l'intervalle étroit,
entre les deux "dees" perpendiculairement aux surfaces
qui délimitent l'intervalle entre D1 et D2.
La tension électrique établie entre les deux "dees" et qui
crée le champ électrique est alternative de fréquence N,
de valeur maximale UM (le champ électrique est nul à
l'intérieur des "dees"). Les particules accélérées sont
→
des protons, ils pénètrent en A avec une vitesse v 0
→
orthogonale à B et à l'axe PQ.
a) Montrer que dans un "dee" le mouvement d'un proton
est circulaire et uniforme (on admettra que le mouvement est plan).
b) Exprimer littéralement la durée d'un demi-tour. Vérifier qu'elle est indépendante de la vitesse;
donner sa valeur numérique. En déduire la fréquence N de la tension alternative. (on néglige
le temps de transfert dans l'intervalle entre les deux "dees").
c) Quelle est l'énergie cinétique transmise au proton à chaque tour ?
d) On veut que la vitesse finale des protons soit 20000 km.s−1; quel est le nombre de tours
effectués par les protons pour acquérir cette vitesse ? On admettra que la vitesse initiale des
protons quand ils pénètrent dans le cyclotron est pratiquement nulle.
A.N. : B = 1 T; UM = 4000 V; masse du proton mp = 1,67.10−27 kg; charge q = + e = 1,6.10−19 C
II) Filtre de Wien et spectrographe de masse.
Pour avoir à l'entrée d'un
spectrographe de masse
des
particules
chargées
ayant même vecteur vitesse,
on place avant la chambre de
déviation du spectrographe
un sélecteur de vitesse pour
particules chargées (filtre de
Wien). Ce filtre ne laissera
passer par une ouverture O
que les particules chargées
ayant une certaine vitesse
→
v 0 et déviera les particules
→
→
ayant une vitesse v ≠ v 0 . Le
principe du filtre est le suivant
: des particules chargées positivement sont projetées dans l'appareil suivant l'axe x'x, entre
deux plaques parallèles distantes de d, entre lesquelles existe une tension U produisant un
→
champ électrique E .
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Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
→
→
a) Dans toute la région où règne E , il existe un champ magnétique uniforme B1 orthogonal à
→
E et à l'axe x'x.
→
i. Quel doit être le sens de B1 (sur un schéma) pour que des particules chargées
→
positivement et animées d'une vitesse v 0 aient un mouvement rectiligne et uniforme ?
ii. Montrer qu'il existe une relation entre v0, E et B1.
iii. Décrire qualitativement comment seront déviées les particules de vitesse v > v0 et celles
de vitesse v < v0.
iv. Calculer v0 quand B1 = 0,010 T; d = 0,5 cm et U = 500 V.
→
b) Dans une enceinte où règne un champ magnétique uniforme B 2 , on fait entrer par une
→
ouverture O des ions obtenus à partir de l'éthanol, animés tous de la même vitesse v 0 et
porteurs d'une charge + e. La trajectoire de C2H5O+ a un rayon de 22,5 cm.
→
→
Les ions sont reçus sur un collecteur C, tel que OC soit orthogonal à v 0 et à B 2 .
i. Quelles doivent être les différentes distances OC pour recueillir les ions C2H5OH+, C2H5+,
OH+, CH2OH+, CH3+, CH2+ ?
ii. Peut-on recueillir H+ ?
→
iii. Sachant que les ions ont tous la vitesse v 0 du 4) en O, en déduire la valeur du champ
→
magnétique B 2 .
On donne les masses molaires atomiques MH = 1 g.mol−1; MC = 12 g.mol−1; MO = 16 g.mol−1 et
e = 1,6.10−19 C et on néglige la masse de l'électron.
III) Champ électrique ou champ magnétique.
Dans cet exercice, le poids des particules est négligeable devant les autres forces.
Dans le but de les identifier, on fait passer un
faisceau de particules homocinétiques de vitesse
→
v 0 , dans une région de l'espace où règne :
→
- soit un champ électrique uniforme E orthogonal à
→
v 0 (figure 1).
- soit
un
champ
→
magnétique
uniforme
→
B
orthogonal à v 0 (figure 2).
Sur Les figures 1 et 2, les régions où règne le
→
→
champ E ou le champ B sont délimitées par des
hachures et les trajectoires des particules sont
représentées par l'arc de parabole OA ou par l'arc
de cercle OD.
a) Dans chaque cas, préciser sur un schéma soigné :
- la nature, la direction et le sens du champ sachant que les particules sont chargées
positivement,
- la direction et le sens de la force agissant sur la particule en mouvement au point M.
→
b) Dans le cas de la déviation par champ électrique E , exprimer la charge massique q/m en
fonction de E, v0, l et d. [l = OH; d = HA (figure 1)].
Données : E = 4,0.105 V.m−1; v0 = 2,0.107 m.s−1; l = 5,0.10−1 m; d = 6,0.10−3 m. Calculer q/m.
→
c) Dans le cas de la déviation par champ magnétique B , exprimer, sans démonstration, la
charge massique q/m en fonction de B, v0 et R. [R = CO = CD (figure 2)].
Données: B = 1,0 T; v0 = 2,0.107 m.s−1; R = 4,2.10−1 m. Calculer q/m.
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Action d'un champ magnétique uniforme
d) Ces particules ont été obtenues par ionisation d'atomes.
Exprimer la charge massique des particules en fonction de la charge élémentaire e et de la
masse mn d'un nucléon.
En déduire, parmi les ions proposés dans le tableau suivant, ceux qui satisfont aux résultats
précédents, en précisant les nucléides dont ils dérivent.
H+
He2+
Li+
Be2+
Symbole de l'ion
H+
1
2
4
7
9
Symbole du nucléide
1H
1H
2 He
3 Li
4 Be
−19
−27
On donne : e = 1,6.10 C; mn = 1,67.10 kg
IV) Accélération puis déviation de particules chargées.
On accélère des ions positifs par une tension U0 appliquée
entre la source d'émission S des ions et une électrode A
percée d'une petite ouverture en O. On admet qu'en S les
ions ont une vitesse négligeable.
a) Quelle est, de l'électrode S ou de l'électrode A, celle qui
est au potentiel le plus élevé ? Justifier.
b) Exprimer la norme v0 de la vitesse des ions en O en
fonction de U0, de leur charge q et de leur masse m.
c) Après traversée de l'électrode A, les ions sont soumis sur
toute la distance l qui sépare l'électrode
A d'un écran C à
→
l'action d'un champ magnétique B uniforme, orthogonal
au plan de la figure, de sens indiqué sur la figure.
i. Montrer qu'entre A et C, les ions ont une trajectoire
plane. Préciser le plan de cette trajectoire.
ii. Montrer que la norme de la vitesse des ions reste constante.
iii. Montrer que leur trajectoire est un cercle dont on exprimera le rayon R en fonction de q,
m, et v0, puis en fonction de q, m et U0.
d) Soit O'Y l'axe situé dans le plan de l'écran, dans le plan de figure et orthogonal à Ox.
i. Indiquer comment il faut orienter O'Y pour que les ions arrivent sur l'écran avec une
ordonnée Y positive.
ii. Etablir la relation entre R, Y et l.
iii. Calculer numériquement Y dans le cas d'ions calcium (Ca2+) en utilisant les données
suivantes :
U0 = 2000 V; l = 10 cm; B = 0,2 T
masse d'un ion Ca2+ = 6,68.10−26 kg
charge élémentaire : e = 1,6.10−19 C
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