Action d`un champ magnétique uniforme

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
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Chapitre n° 4 : ACTION D'UN CHAMP MAGNETIQUE UNIFORME
I) Champ magnétique créé par un solénoïde et des bobines de Helmholtz
1)
:
Solénoïde et bobine
Une bobine est un enroulement de fil conducteur. Chaque tour de fil est une spire.
:
Un solénoïde est une bobine formée d'une couche de spires jointives.
A l'intérieur d'un solénoïde, le champ magnétique est uniforme et de même direction que
l'axe de révolution du solénoïde.
Le sens du champ est déterminé par la règle des trois doigts de la main droite (équivalente à
la règle du bonhomme d'Ampère).
On pourra assimiler un solénoïde à un
solénoïde infiniment long si sa
longueur L est grande devant son
diamètre d (L >> d).
Dans le cas d'un solénoïde infiniment
long, le champ magnétique est nul à
l'extérieur, et à l'intérieur a pour
valeur : B = µ0.n.I
Où µ0 est la perméabilité magnétique du vide (ou de l'air) et : µ0 = 4.π.10−7 S.I., n est le
nombre de spires par mètre de longueur du solénoïde et I est l'intensité du courant (en A).
Soit L sa longueur est N le nombre total de spires du solénoïde, on a :
B = µ0.
L
N
.I
2) Bobines de Helmholtz
On appelle bobines de Helmholtz l'association de deux bobines plates coaxiales séparées
par une distance D égale à leur rayon commun R.
:
L'étude expérimentale du champ magnétique créé par les
bobines de Helmholtz montre que dans une région voisine du
centre de symétrie du système le champ magnétique est :
- uniforme,
- dirigé suivant l'axe commun des bobines,
- de sens donné par la règle de la main droite.
Si N est le nombre de spires de chaque bobine, R leur rayon et
qu'elles sont montées en série et parcouru par un courant
d'intensité I, le champ considéré comme uniforme au centre du
dispositif a pour valeur : B = 0,72. µ0.
R
N
.I
3) Champ magnétique uniforme
Pour disposer d'un champ magnétique uniforme on voit donc que l'on
peut utiliser un solénoïde long ou des bobines de Helmholtz.
:
Dans un solénoïde long le champ magnétique est très uniforme loin des
bords mais l'accès à ce champ est rendu délicat pour des expériences
encombrantes.
Les bobines de Helmholtz permettent de réaliser des expériences plus
volumineuses mais l'uniformité du champ est moins précise.

Action d'un champ magnétique uniforme
Page 38 Christian BOUVIER
II) Produit vectoriel de deux vecteurs
1)
:
Définition
On considère deux vecteurs
:
→
1
V
et
→
2
V
de même origine O,
faisant entre eux un angle θ = ( →
1
V
,
→
2
V
) compris entre 0 et
180 ° (0 et π rad).
On appelle produit vectoriel de
→
1
V
par
→
2
V
, le vecteur
→
V
,
noté
→
V
=
→
1
V
/\
→
2
V
tel que :
-
→
V
est orthogonal au plan défini par
→
1
V
et
→
2
V
,
-
→
V
a un sens tel que l'on "tourne" dans le sens direct de
→
1
V
vers
→
2
V
autour de
→
V
,
- ║
→
V
║ = ║
→
1
V
║.║
→
2
V
║.sinθ = V1.V2.sinθ
Remarque
→
V
: On peut dire aussi : a un sens tel que le trièdre
→
1
V
,
→
2
V
,
→
V
est direct.
On peut appliquer la "règle des trois doigts de la main droite" :
→
1
V
est "porté" par le pouce,
→
2
V
par l'index et
→
V
est alors porté par le majeur.
Remarque : Le sens direct choisi pour définir le sens du produit vectoriel est défini par une
convention : le produit vectoriel de deux vecteurs étant défini à une convention
près est un pseudo-vecteur (tenseur d'ordre deux, à trois dimensions et anti-
symétrique).
Remarque : Si θ = 0 ou θ = π, le produit vectoriel est nul : pour que deux vecteurs soient
parallèles, il faut et il suffit que leur produit vectoriel
soit nul.
2) Cas particuliers
- Si α = 0 ou α = π, sin(α) = 0 et
:
→
1
V
et
→
2
V
sont parallèles : leur produit vectoriel est nul.
- pour
→
1
V
et
→
2
V
donnés,
→
V
est maximal lorsque sin(θ) = 1 :
→
1
V
et
→
2
V
sont orthogonaux.
III) Force de Laplace, rappels
1)
:
Action d'un champ magnétique sur un courant
Le champ magnétique est généré par à un aimant en U et a
pour sens d'avant en arrière de la figure.
:
Quand le courant circule de bas en haut dans le
conducteur, celui-ci est dévié vers la gauche, la force
de Laplace s'exerce donc vers la gauche.
Lorsqu'on inverse le sens du courant, la force de Laplace s'inverse.
Lorsqu'on inverse le sens du champ magnétique, la force de Laplace s'inverse.
D'une façon générale, nous admettrons la loi de Laplace :
Lorsqu'un conducteur rectiligne de longueur
→
l
(orienté dans un
sens arbitraire), parcouru par un courant d'intensité algébrique I
(dont le signe dépend de l'orientation et du sens du courant), est
plongé dans un champ magnétique uniforme
→
B
, il est soumis à une
force →
F
(dite de Laplace) dont :
- la direction est orthogonale au plan →
l
,
→
B
,
- le sens est défini par la règle des trois doigts de la main droite :
- la mesure est donnée par : F = I.l.B
Nous prendrons la force de Laplace pour définir l'intensité du
champ magnétique : B =
l.IF

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2) Application de la force de Laplace
La mesure de la force exercée sur un élément de circuit plongé dans un champ magnétique,
permet de déterminer l'intensité de ce champ magnétique.
:
C'est sur ce principe que sont conçus la plupart des instruments de mesure du champ
magnétique :
balance de Cotton sonde à effet Hall ...
IV) Force magnétique (de Lorentz)
1)
:
Mise en évidence
Le champ magnétique n'a pas d'action sur le pendule électrostatique (charges au repos).
:
Un champ magnétique a une action mécanique sur un faisceau de particules chargée en
mouvement. Cette action dépend des caractéristiques du mouvement des particules par
rapport au champ magnétique (expérience d'Oersted : tube à croix de Malte).
2) Force de Lorentz
Lorentz à étudié la force appliquée à une particule portant la charge q et animée à un instant
donné d'une vitesse
:
→
v
dans un champ magnétique
→
B
. La force de Lorentz a pour
expression :
→
F
= q.
→
v
/\
→
B
Comme dans l'expression de la force de Coulomb
→
F
= q.
→
E
, on peut distinguer deux
contributions : le vecteur q.
→
v
caractérise la particule, alors que
→
B
est une propriété de
l'espace au point où se trouve la particule.
→
F
est le résultat d'un produit vectoriel et a pour :
- direction : la perpendiculaire au plan défini par
→
v
et
→
B
,
- sens : tel que l'on "tourne" de q.
→
v
vers
→
B
dans le sens direct autour de
→
F
,
- valeur : ║
→
F
║ = q.║
→
v
║.║
→
B
║.sin(
→
v
,
→
B
) ou encore F =
q
.v.B.sin(
→
v
,
→
B
).
Si
→
v
est orthogonal à
→
B
, sin(
→
v
,
→
B
) = 1 et la valeur de la force de Lorentz est : F =
q
.v.B.
3) Variation de la vitesse de la particule
Appliquons le théorème de l'énergie cinétique durant un petit intervalle de temps δt pendant
lequel la particule subit un petit déplacement
:
→
δl =
→
v
.δt. La variation d'énergie cinétique
pendant l'intervalle de temps δt est égale au travail de la force magnétique de Lorentz :
δEC =
→
F
.
→
δl =
→
F
.
→
v
.δt
La force magnétique
→
F
= q.
→
v
/\
→
B
est orthogonale à
→
v
à chaque instant, donc le produit
scalaire
→
F
.
→
v
est constamment nul, donc δEC = 0 et l'énergie cinétique est constante ainsi
que la mesure v de la vitesse de la particule.
Si une particule chargée n'est soumise qu'à une force magnétique son mouvement est
uniforme (quel que soit le champ magnétique
→
B
).
Il est impossible de mettre en mouvement une particule à l'aide du seul champ magnétique.
Remarque : Attention : la force de Lorentz →
F
s'exerçant perpendiculairement à la vitesse →
v
de la particule, elle peut modifier la direction de la vitesse et donc communiquer
une accélération à la particule sans pouvoir modifier la mesure de cette vitesse.

Action d'un champ magnétique uniforme
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V) Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme
1)
:
Cas particulier
On considère une particule de masse m et de charge q se déplaçant dans un champ
magnétique
:
→
B
uniforme. On se place dans le cas particulier où la vitesse →
0
v de la particule
à l'instant initial est orthogonale au champ magnétique.
On choisit un repère (O,
i
→
, j
→,
k
→
) tel que
k
→ soit parallèle à
→
B
.
a) Trajectoire :
La particule n'est soumise qu'à la force magnétique et
l'application de la loi fondamentale donne :
→
a
=
→
m
F
=
m
q.
→
v
/\
→
B
Le vecteur accélération
→
a
étant le produit vectoriel de
→
v
par
→
B
, est orthogonal à
→
B
donc à
k
→
, la composante de
l'accélération sur l'axe z est donc nulle : az = 0.
On déduit vz = cte = vz0 = 0 par hypothèse, puis z = cte = z0.
Le mouvement de la particule a lieu dans un plan perpendiculaire à
→
B
.
Le vecteur accélération
→
a
étant le résultat d'un produit vectoriel de →
v
par
→
B
est
orthogonal à →
v
, la composante tangentielle de →
a
est nulle.
Or aT =
dt
dv
= 0 donc v = cte = v0, on retrouve que :
Le mouvement de la particule est uniforme.
→
v
étant constamment orthogonal à
→
B
, la mesure de
→
a
est donnée par :
a = aN =
m
q.v0.B où q, v0, B et m sont des constantes. L'accélération de la particule est
constante en mesure et normale à la trajectoire qui est elle-même plane :
La trajectoire de la particule est circulaire.
La particule a un mouvement circulaire uniforme dans un plan orthogonal à
→
B
.
On a : aN =
m
q.v0.B =
R
v2
0
où R est le rayon du cercle trajectoire : R =
B.qv.m 0
b) Vitesse angulaire, période, fréquence :
On vient de voir que la particule a un mouvement circulaire uniforme. On s’intéresse à la
vitesse angulaire de la particule sur sa trajectoire.
On a la relation ω =
R
v0
d'où ω =
m
B.q
(en rad.s−1)
La période de rotation est T =
ω
π.2
=
B.q m..2 π
(en s)
Et la fréquence de rotation N =
T
1
=
m..2 B.q π
(en Hz)
2) Cas général
On considère une particule de masse m et de charge q se
déplaçant dans un champ magnétique
:
→
B
uniforme. La vitesse
→
0
v
de la particule à l'instant initial n'est pas orthogonale au champ
magnétique.

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On peut écrire :
→
0
v =
→
⊥0
v
+
→
//0
v
où
→
⊥0
v
est la composante de la vitesse dans un plan
orthogonal à
→
B
et
→
//0
v
la composante de la vitesse parallèle à
→
B
.
L'action du champ magnétique
→
B
sur la particule se traduit par l’existence de la force
magnétique de Lorentz
→
F
qui est systématiquement orthogonale à
→
B
, le champ magnétique
n'a pas d'action parallèlement à lui-même (produit vectoriel).
Le mouvement le plus général de la particule est un mouvement hélicoïdal qui est la
superposition :
- d'un mouvement circulaire uniforme dans un plan orthogonal à
→
B
, décrit avec une période :
T =
ω
π.2
=
B.q m..2 π
avec, ici : ω =
R
v0⊥
.
- d'un mouvement de translation rectiligne uniforme parallèlement à
→
B
, décrit avec une
vitesse v0//.