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Université Paris-Sud
École Doctorale 142 : Mathématiques de la région Paris-Sud
Laboratoire de Mathématiques d’Orsay
Discipline : Mathématiques
Thèse de doctorat
Soutenue le 12 décembre 2014 par
Vincent Pecastaing
Le groupe conforme des structures
pseudo-riemanniennes
Thèse soutenue au vu des rapports de MM. Renato Feres et Marc Herzlich
Composition du jury :
Président du jury : M. Yves Benoist Directeur de recherche (Université Paris-Sud)
M. Sorin Dumitrescu Professeur (Université Nice Sophia Antipolis)
M. Elisha Falbel Professeur (Université Pierre et Marie Curie)
Directeur de thèse : M. Charles Frances Professeur (Université de Strasbourg)
M. Marc Herzlich Professeur (Université Montpellier 2)
M. Frédéric Paulin Professeur (Université Paris-Sud)

ii
Thèse préparée au
Département de Mathématiques d’Orsay
Laboratoire de Mathématiques (UMR 8628), Bât. 425
Université Paris-Sud
91405 Orsay CEDEX

Remerciements
Cette thèse ne pourrait commencer autrement que par l’expression de mes remercie-
ments à Charles Frances, qui a été mon directeur. Durant ces trois années, il s’est constam-
ment montré disponible et à l’écoute, et je suis heureux d’avoir eu la chance de bénéficier
durant tout ce temps de son intuition et de son expérience. Il a guidé mes premiers pas
de mathématicien sur des problématiques très riches et passionnantes, et pour lesquelles
mon intérêt n’a fait que croître avec le temps. Pour tout cela, je tiens ici à lui témoigner
ma profonde reconnaissance.
Je voudrais également exprimer ma gratitude à Renato Feres et Marc Herzlich pour
avoir accepté d’être mes rapporteurs. Je suis honoré qu’ils aient pu prendre de leur temps
pour relire mon manuscrit.
Je souhaite ensuite remercier vivement Yves Benoist, Sorin Dumitrescu, Elisha Falbel
et Frédéric Paulin, qui ont aimablement accepté d’être membres de mon jury de thèse.
Durant ces quelques années, j’ai eu la chance de travailler parmi les chercheurs du
laboratoire de mathématique d’Orsay. Ils m’ont toujours cordialement ouvert leur porte
et c’est toujours spontanément qu’ils ont pris du temps pour écouter mes questions et
discuter avec moi. Je les en remercie chaleureusement.
Je tiens à remercier les secrétaires du département, tout particulièrement Fabienne
Jacquemin et Valérie Lavigne, pour leur aide précieuse face aux divers tracas administratifs
que j’ai pu rencontrer.
J’ai également eu le plaisir de côtoyer au quotidien une équipe de doctorants très
vivante et sympathique, au sein de laquelle ces trois années se sont déroulées dans une
très bonne ambiance. Je remercie chacun d’entre eux.
Mes remerciements s’étendent à tous mes amis, et je suis heureux qu’une partie d’entre
eux ait pu venir à ma soutenance. Je tiens particulièrement à exprimer ma reconnaissance
à l’abbé Mole, ainsi qu’à toute sa confrérie.
Enfin, je voudrais terminer ces remerciements par une pensée toute particulière à ma
famille et à mes proches, pour leur soutien et leur affection.

Résumé
Résumé
Cette thèse a pour objet principal l’étude des structures pseudo-riemanniennes et de
leurs groupes de transformations conformes, locales et globales. On cherche à obtenir
des informations générales sur la structure du groupe conforme d’une variété pseudo-
riemannienne compacte de dimension au moins 3, et on s’intéresse également à la géométrie
et la dynamique des actions conformes de groupes de Lie sur de telles structures. L’essentiel
des résultats présentés en géométrie conforme se situe en signature lorentzienne (1, n −1).
Le point de vue qui est adopté ici est d’interpréter une structure conforme de dimension
au moins 3comme étant la donnée d’une géométrie de Cartan modelée sur l’univers
d’Einstein de même signature. Ces structures géométriques, introduites par Élie Cartan,
sont rigides et leurs symétries locales ont des propriétés remarquables. Nous retrouvons
dans ce contexte des résultats formulés par Mikhaïl Gromov à la fin des années 1980, et les
mettons en œuvre sur le cas particulier de la géométrie de Cartan définie par une structure
conforme.
Mots-clefs
Géométrie pseudo-riemannienne, Géométrie conforme, Structures de Cartan
The conformal group of pseudo-Riemannian structures
Abstract
The main object of this thesis is the study of pseudo-Riemannian structures and their
local and global conformal transformation groups. The purpose is to obtain general infor-
mations about the conformal group of a compact pseudo-Riemannian manifold of dimen-
sion greater than or equal to 3, and we also study dynamical and geometrical properties
of conformal Lie group actions on such structures. The largest part of the result that are
presented in this work are formulated in the (1, n −1)Lorentz signature.