Licence de Mécanique Thermodynamique L305 Durée du contrôle continu : 1h30 Les documents et calculettes ne sont pas autorisés. Nom : Prénom : Section : Date : N° dossier signature : Problème N°1 : Etude de l’équilibre d’un système à trois compartiments Une boite à parois thermiquement isolantes est partagée en trois compartiments A, B, C par des pistons mobiles sans frottement et adiabatiques, comme le précise la figure 1. Le compartiment A comporte une résistance électrique chauffante. A l’état initial, chaque compartiment contient une mole de gaz parfaits monoatomiques à la température T0. A l’état initial, la résistance chauffante n’est pas utilisée. On affecte de l’indice 0 les variables thermodynamiques P, V, T correspondant à l’état initial. Ainsi P0 est la pression dans le compartiment A. 1. Déterminer les pressions des deux autres compartiments B et C, ainsi que les volumes de chacun. On apporte une quantité de chaleur dans le compartiment A par effet Joule. Un courant d’intensité I parcourt la résistance de valeur constante Re, pendant une durée Δt . 2. Donner l’expression de la quantité de chaleur Q. Le système atteint un nouvel état d’équilibre caractérisé par les conditions (PA, VA, TA), (PB, VB, TB), (PC, VC, TC) dans les compartiments A, B, C respectivement. o On notera que les transformations des compartiments B et C sont adiabatiques o Que le premier principe peut être appliqué valablement au système total mais aussi à chaque sous système A, B et C si nécessaire. Pour résoudre le problème, il est nécessaire de déterminer autant d’équations que d’inconnues au système. Dans le cas présent, 9 inconnues imposent d’écrire 9 équations. 3. L’état d’équilibre thermodynamique impose un équilibre mécanique, comment se traduit cet équilibre ? 4. Ecrire les lois des gaz parfaits associées à chaque sous système A, B et C. 5. Traduire l’évolution thermodynamique des compartiments B et C. 6. Traduire la conservation des volumes. 7. Ecrire le bilan d’énergie (1er principe) pour les 3 compartiments. 8. Les 9 relations obtenues amènent alors à la résolution complète du problème. Donner l’expression de l’ensemble des grandeurs (Pi, Vi, Ti) en fonction de Q, T0 et P0. 9. Faire les applications numériques pour Q et l’ensemble des Pi, Vi, Ti. Données : T0 = 300 K, P0 = 105 Pa, Cv = 3R/2, γ = 5/3, Re = 45 Ω, Δt = 10s et I = 5 A. De plus, RT0 ≈ 2500 J.mol-1 et 22/5 ≈ 4/3. J:\Philippe\Cours\Licence L3 Thermodynamique L305\Examens\2008 08 L305 DE.doc Page 1/2 Compartiment A TA PA VA Intensité I Résistance Re Compartiment B TB PB VB Compartiment C TC PC VC Pistons amovibles hermétiques et adiabatiques Figure 1 : Schéma de l’installation Problème N°2 : Transformation élémentaire pour un gaz de Van der Waals. L’équation de Van der Waals (VDW) est une alternative plus précise de la loi des gaz parfaits lorsque l’on caractérise le comportement d’un gaz proche du point critique. Dans ce problème, on cherche à retrouver certaines relations de transformations élémentaires connues écrites pour le cas des gaz parfaits (évolution isotherme ou adiabatique réversible) pour un gaz qui suit la loi de Van der Waals. Expression du travail pour une transformation isotherme Une mole de gaz, dont le comportement suit l’équation d’état de Van der Waals, voit son volume passer de V1 à V2 au cours d’une transformation isotherme réversible. On rappelle que l’équation de VDW peut s’écrire comme suit : a (P + )(V − b) = RT V2 Où a et b sont des constantes du gaz considéré. De façon classique, la pression du gaz est notée P, sa température T et la constante des gaz parfaits R=8.314J/K/mole. 1. Donner l’expression du travail W des forces de pression échangé avec l’extérieur, en fonction de a , b,R ,V1, V2 et T. 2. Donner l’expression du travail W’ dans le cas du gaz parfait 3. En particulier, exprimer W-W’ lorsque b<<<V. Commenter le signe de W-W’ en fonction de la température et pour le cas d’une détente ou d’une compression. Relation pour une évolution adiabatique réversible 4. Donner l’expression dans le cas général de la quantité de chaleur δQ pour une évolution infinitésimale réversible en coordonnée (P,V). Déterminer le coefficient ⎛ ∂P ⎞ l = T⎜ ⎟ dans le cas du gaz de VDW ⎝ ∂T ⎠V 5. Dans le cas d’une évolution adiabatique et réversible, déterminer une relation analogue à PV γ = cte (cas gaz parfait) pour le cas d’un gaz de VDW. On fera R ≅ γ − 1. l’hypothèse que Cv J:\Philippe\Cours\Licence L3 Thermodynamique L305\Examens\2008 08 L305 DE.doc Page 2/2