T1. Exercices.

¤ PCSI ¤
T1. Exercices.
Le gaz parfait monoatomique.
T1.1. Pression dans un cylindre.
Un cylindre vertical fermé aux deux bouts est séparé en deux compartiments égaux par un piston de
forme cylindrique, homogène et de masse par unité de surface  = 136 g.cm-2. Ce piston peut coulisser
sans frottement. Les deux compartiments, de hauteur l = 0,50 m, contiennent un gaz parfait à T = 0 °C. La
pression qui règne dans le compartiment inférieur est P1 = 100 cm de Hg.
1.
2.
On chauffe le système à T’ = 100 °C. Quel est le déplacement d du piston ?
On part du même système que précédemment, mais au lieu de chauffer, on le retourne bout
pour bout, la température des gaz étant maintenue constante. Quel est le déplacement d' du
piston?
T1.2. Reconstruction de l’équation d’état.
L’étude expérimentale d’un gaz réel a permis de déterminer ses coefficients thermoélastiques :
A
1
B

T  
AT  BP
P AT  BP
Déterminer l’équation d’état de ce gaz.
T1.3. Surpression dans un thermomètre à alcool.
Un thermomètre à alcool est à une température telle que son réservoir et sa hauteur sont complètement
remplis de liquide, d’équation d’état V=f(P,T).
Connaissant les coefficients thermoélastiques supposés constants :
 = 11,2.10-3 K-1 et =3,4.10-5 atm-1 montrer qu’une simple élévation de température de 0,5°C suffit à
créer une surpression considérable. Que se passe-t-il ?
T1.4. Effusion gazeuse.
On considère un récipient constitué de deux compartiments de même volume V et maintenus à la
température T.
Le compartiment (1) contient N molécules d’un gaz parfait. Le compartiment (2) est vide. A la date t = 0
on perce un trou de section s entre les deux compartiments.
On étudie le passage du gaz entre les compartiments (1) et (2).
Pour obtenir un ordre de grandeur du phénomène, on adopte les hypothèses simplificatrices suivantes :
Le trou étant petit, le gaz se détend lentement en restant au repos. On néglige tout mouvement
macroscopique.
La vitesse de toutes les molécules est identique et égale à la vitesse quadratique u. De plus les vitesses ne
sont orientées que suivant les trois directions de l’espace.
On note N1(t) et N2(t) les nombres de molécules dans les compartiments (1) et (2). Soit u x la normale au
trou et orienté vers le compartiment (2).
1.
2.
Etablir l’expression du nombre dN12 de molécules contenues dans le compartiment (1) à
l’instant t et traversant la surface s vers le compartiment (2) entre les dates t et t +dt.
Même question pour le nombre dN21 de molécules contenues dans le compartiment (2) à
l’instant t et traversant la surface s vers le compartiment (1) entre les dates t et t +dt.
dN1
dN 2
et
En déduire les expressions de
en fonction de N1, N2, s, u et V.
dt
dt
3.
4.
Etablir les expressions de N1(t) et N2(t). Commenter les valeurs limites de ces grandeurs.
Faire apparaître une constante de temps  caractéristique du phénomène et proposer une
application numérique (on désire un ordre de grandeur ).
Comment varie  avec la masse des molécules ? Expliquer brièvement comment on peut
enrichir un constituant d’un mélange avec cette technique.
T1.5.Pompe isotherme.
On veut vider un réservoir de volume V, initialement rempli d'air (considéré comme un gaz parfait) au
moyen d'une pompe. La soupape 1, est fermée si la pression p dans le corps de pompe est supérieure à la
pression P du réservoir, ou si son volume diminue. La soupape 2 est fermée si la pression p est
inférieure à la pression Po constante.
Le volume v du corps de pompe est compris entre v1 (volume résiduel) et v2.
On suppose que la température de l'air reste constante et égale à T.
La valeur initiale de P est égale à Po.
1.
2.
3.
Au cours du coup de pompe n, le volume v passe de v1 à v2, puis de v2 à v1. La pression P dans
le réservoir passe de Pn à Pn + 1.
Déterminer la relation de récurrence entre les Pn.
Déterminer Plim valeur de P lorsque Pn + 1 = Pn. Quelle est la signification de cette pression ?
Déterminer la suite Pn - Plim, puis la valeur de Pn. Peut-on faire le vide dans le réservoir?
T1.6. Modèle de la pression cinétique.
Il pleut sur une fenêtre verticale de surface S = 2,0 m². Cette pluie frappe la fenêtre de façon régulière
selon un angle  = 30° constant par rapport à la verticale. Le débit D est de 800 gouttes par m3, une goutte
ayant toujours une vitesse v = 2 m/s et une masse m = 0,1 g.
On suppose que les gouttes rebondissent sur la fenêtre de façon à supposer les chocs élastiques.
1. Combien de gouttes rebondissent sur la fenêtre dans la durée  = 1 s ?
 Quelle est la pression créée par ces gouttes ? On donnera une réponse littérale puis numérique.