Rapport

Spé ψ 2011-2012
Devoir n°1
MÉCANIQUE DU POINT
Rapport officiel du jury
CENTRALE TSI PHYSIQUE I
Présentation du sujet
L’épreuve était dédiée à l’étude du confinement d’un électron non relativiste dans une portion donnée de l’espace. On suppose que cet électron n’est soumis qu’à des forces d’origine électromagnétique. Le problème est scindé en cinq parties. Dans la première, on examine les propriétés
du mouvement de cet électron dans un champ magnétique uniforme B . Dans la partie II, on étudie
les propriétés d’un champ électrique quadrupolaire dérivant d’un potentiel dont on donne la forme
générale U = f^x, y, zh. Ensuite, on s’intéresse au mouvement de l’électron dans ce champ quadrupolaire E . Dans la troisième partie l’électron est soumis simultanément au champ magnétique B et
au champ électrique quadrupolaire E . Il faut également en déduire que l’électron est confiné autour
de l’origine 0 pour une valeur de la pulsation c 0 ~ 2 ~ .
Dans la partie IV, on s’intéresse aux aspects énergétiques d’une particule chargée (électron)
accélérée et par suite rayonnant. On examine plus particulièrement l’amortissement des oscillations
de celle-ci.
Analyse globale des résultats
Les résultats d’ensemble sont moyens en rapport avec une épreuve somme toute classique et
dont la décomposition en cinq parties permettait d’aborder par étapes les difficultés intrinsèques à
cette partie du programme.
Les parties III et IV ont été abordées de façons très inégales par les candidats. Le principe
fondamental de la dynamique n’a pas été appliqué correctement à l’électron soumis aux champs E
et B (Cf. Partie III) ; d’où la difficulté d’arriver aux bonnes équations différentielles sur les trois
axes. Les bons résultats obtenus dans les parties I et II pouvaient faciliter l’obtention des solutions.
La présentation et la rédaction des copies sont en général correctes, en revanche de nombreux candidats ont oublié de numéroter les pages de leurs copies ! Enfin, il faut signaler que quelques candidats traitent une question d’une sous-partie et, immédiatement après, une question d’une
autre sous-partie sans transition ni avertissement !
Commentaires sur les réponses apportées et conseils aux candidats
Partie I - Mouvement de l’électron dans un champ magnétique uniforme
De nombreuses erreurs et fautes sont à signaler. Le principe fondamental de la dynamique
n’a pas été appliqué correctement à l’électron en présence d’un champ magnétique. La projection
sur les trois axes a donné lieu à de nombreuses fautes. Certains candidats ont écrit que z = f(t) = 0 !
Pour les vitesses vx(t) et vy(t), au lieu de trouver une forme sinusoïdale, ils ont donné des expressions de celles-ci sous forme d’un polynôme du second degré t !
Dans la question IB2, de nombreux calculs ont été mal conduits dans la détermination de la
constante intégration de y(t). Certains candidats ayant les expressions correctes des vx(t) et vy(t),
après intégration, les coordonnées correspondantes x(t) et y(t) ont été exprimées sous forme de polynômes en t !
Pour la question IB3, des erreurs sont à signaler dans la position du cercle Г dans le plan
Oxy et aussi dans le sens de parcours de l’électron sur ce cercle.
Partie II - Mouvement de l’électron dans un champ électrique quadrupolaire
Nombre de candidats obtiennent la relation correcte entre α2 et α1. En revanche, peu de candidats ont donné la forme explicite correcte de V(r, z),
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Pour la question IIA6, la détermination des trois composantes du champ E ne présentait pas
de difficultés dans la mesure où l’on avait la bonne expression de V(r, z,),. L’étude du mouvement
de l’électron dans le champ E quadrupolaire (cf. IIB1 et IIB2) ne présentait pas de difficultés après
application correcte du PFD. On aboutissait naturellement à la conclusion que le mouvement dans
l’axe des z est périodique de fréquence f0 .
De nombreuses erreurs numériques sont à signaler dans la valeur de f0 et donc que f0 << fC ,
dans la question IIB3).
Partie III - Mouvement de l’électron dans les champs magnétique et électrique
Elle a été traitée par un nombre relativement restreint de candidats alors que les deux premières parties donnaient des éléments pour aboutir. L’électron est soumis à présent à une force de
Lorentz, à partir de l’application correcte du PFD on formulait sans difficulté majeure les trois
équations différentielles du mouvement d’électrons suivant les trois axes Ox, Oy et Oz. On pouvait
noter ainsi que le mouvement de l’électron suivant l’axe des z n’est pas modifié.
La question IIC1, ne présentait pas de difficultés intrinsèques. Les questions suivantes se
faisaient en examinant les différentes solutions de cette équation différentielle complexe u(t).
Partie IV - Amortissement du mouvement de l’électron par rayonnement
Elle a été abordée par peu de candidats. La seule difficulté était d’écrire l’expression de
l’énergie potentielle à partir du champ électrique suivant l’axe Oz. Pour cela, il fallait avoir répondu, par exemple, à la question II6.
L’obtention de l’amplitude quadratique moyenne <z2> permettait d’exprimer l’énergie mécanique E en fonction de trois paramètres m, zm, ω0. L’énoncé donnant l’expression de la puissance
moyenne Pm(t) rayonnée par l’électron, on pouvait rapidement établir que l’énergie mécanique de
l’électron diminue selon une loi de décroissance exponentielle avec l’hypothèse que la constante de
temps τ0 est telle que τ0 >> T0 .
Conclusion
Les candidats doivent systématiquement s’interroger sur la pertinence de leurs résultats tant au plan de la dimension physique des grandeurs manipulées qu’au niveau des valeurs numériques obtenues en rapport avec la réalité du phénomène physique et l’application.
fin du rapport du jury
Commentaires du D.S.
Un certain nombre de copies montrent, de la part de leur auteur, de réelles difficultés pour
réfléchir et raisonner au delà de la récitation de quelques formules (et encore, celles-ci sont souvent
fausses voire absurde). Le premier objectif de ces étudiants sera d’obtenir un minimum
d’autonomie dans la réflexion en appliquant les méthodes proposées en cours.
Les copies sont globalement correctement présentées. Cependant, il est nécessaire de rappeler des règles élémentaires à respecter :
proscrire les symboles mathématiques ⇔,⇒ ou autre en guise d’explication ou
comme abréviation dans une phrase.
. les résultats demandés par l’énoncé, et seulement ceux-là, doivent être mis clairement en évidence. On conseille très fortement de les encadrer (à la règle).
les valeurs numériques doivent être indiquées avec un nombre de chiffres significatifs correct. Ce n’est pas celui fourni par la calculatrice. Il y a un travail de réflexion à faire. Par
ailleurs, une unité (autre que U.S.I.) est indispensable.
une suite de « on a », « donc », « on sait que » ne constitue pas une explication.
Une relation démontrée en cours porte généralement un nom qu’il faut indiquer correctement :
« théorème de X » et non « d’après X », sans acronyme incompréhensible (PFD, Th de l’Ec ...)
l’usage du crayon de papier est à proscrire formellement pour le tracé des courbes
et des schémas.
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Problème
I-1.1.) La force de Lorentz est mal connue. Certains utilisent sa valeur en t = 0 dans la
deuxième loi de Newton (exprimée à un instant quelconque). Attention au signe de la charge (q
désigne ici la charge élémentaire, notée usuellement e). L’utilisation des conditions initiales doit
être claires. (35% de réussite à cette question de niveau Term)
dvx ( t )
= − q v y ( t ) B en faisant
dt
comme si v y ( t ) était constant. On peut utiliser une variable complexe ou non. L’énoncé n’y invite
pas. Attention à l’utilisation des conditions initiales.
c) Reconnaître l’équation d’un cercle pose beaucoup de problème. Le centre de ce
cercle ne peut pas être O puisque la particule passe en O. Il faut jusitifier le sens de parcours même
s’il est indiqué par une flèche sur le schéma.
d) Le résultat numérique ne peut pas contenir plus de chiffre après la virgule que les
données. Ici, c’est un. L’unité de fréquence est le Hz (et non s–1, même si la dimension est correcte).
e) Il faut expliquer, même si on fait un dessin.
I-3-a) La formule de composition des vitesse est mal comprise. Il est inutile d’écrire la vitesse d’entraînement à l’aide d’une formule contenant un produit vectoriel retenu par cœur.
L’analyse des bases de projection dans les différents référentiels est mal faite.
II-1-a) Calcul simple et souvent bien fait.
b) Il ne faut pas se contenter d’aligner les équations. Il faut expliquer comment ont
traduit mathématiquement les contraintes évoquées dans l’énoncé.
1-c) et 2-a ) Très facile si 1-a et 2-a sont correctement faits.
b) Il faut trouver z(t) pour justifier l’expression de f0.
c) Même erreurs qu’en I-2-d)
d) Souvent, mauvaise intégration des équations différentielles.
II-3-a) La démonstration de F = − grad ( EP ) n’est en général pas connue. La justesse du résultat de la question dépend essentiellement de l’absence d’erreurs commises dans les questions
précédentes.
b) et c) Faciles si les équations de a) sont correctes.
d) et e). Il faut expliquer les dessins en étudiant les rapports des périodes et des amplitudes des fonctions x(t) et z(t).
III-1) Il suffit de combiner les résultats I-1 et II-2-a.
III-2) Très facile si 1 est correcte.
III-3-a) La méthode à suivre est indiquée par l’énoncé. Attention aux signes pour étalir
l’équation différentielle.
b) Petit test pour voir quelles connaissances restent sur la résolution des équations
différentielles du deuxième ordre.
c) Il faut développer les racines du polynôme caractéristique au premier ordre en
2
2
ω0 /ωC .
Le reste de cette partie n’a pas été traité.
IV-1) Pour établir l’expression de EP, il faut utiliser l’équation du mouvement le long de Oz
vue en II-2-b.
IV-2-a) Question difficile. Il faut distinguer les différentes constantes de temps qui ne sont
pas du même ordre. On calcule sur des petites durées les valeurs moyennes des grandeurs ayant de
grandes durées caractéristiques de variation mais ses valeurs moyennes dépendant du temps à
l’échelle de ces grandes durées caractéristiques. Cette question est les suivantes n’ont pas été abordées.
I-2-a) et 2-b) On ne peut pas intégrer une équation du type m
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Fin du commentaires du D.S.
Florilège
Ce qu’il ne faudrait JAMAIS voir (parmi d’autres horreurs):
ma = B ;
y ( t ) = v0 cos ( ωt ) ;
V ( r , z ) = V0 + r 2 + z 2 + ... ;
zM 2 =
1
T0
∫ z ( t ') dt ' donc z ( t ) =
T0
dzM
;
dt
∂V
1
∂ 2V
1
= 2α1 2 ;
= 2α1 x
donc
2
dt
∂x
dt
∂x
dV
E=−
Ex = −grad (U )
dr
ɺɺ
x = ωC ( E + y ) (où E est un champ électrique)
EM =
1 2 1
ma + mω0 2
2
2
( ∫ a (u ) du )
t
0
t +T0
 z3 ( s ) 
z
s
ds
=
∫t ( )  3 
t
F = − qE P (où EP est une énergie potentielle)
t +T0
2
z ( t ) = v0 x t e x + v0 z te z
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