SUITES ET ALGORITHMES.

SUITES ET ALGORITHMES.
I.
Calculer un terme.
Exemple 1 suite définie de façon explicite.
Soit ( un ) la suite définie pour tout n de par un 2 0,8n .
1)
Ecrire un algorithme affichant un , où n est un nombre donné par l’utilisateur.
2)
Ecrire un algorithme affichant les termes de la suite jusqu à UN , où N est un nombre donné par
l’utilisateur.
Exemple 2 . suite définie par récurrence.
(u n ) est la suite définie pour tout n de par u 0 = 2 et pour tout n de , u n +1 = 2un 1.
1)
Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur la valeur de n et donnant la valeur de u n .
2)
Ecrire un algorithme affichant les termes de la suite jusqu à UN , où N est un nombre donné par
l’utilisateur.
Algorithme de seuil pour q n .
II.
1.
q compris entre 0 et 1.
4 .
5
Expliquer pourquoi il existe au moins un entier naturel n0 tel que un
Exemple 1 : ( un ) est la suite définie pour tout n de
1)
n
par un
10 5.
0
2)
Ecrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier n0 tel que un
Exemple 2 : q est un réel compris entre 0 et 1 ; ( un ) est la suite définie pour tout n de
un réel strictement positif.
1)
Expliquer pourquoi il existe au moins un entier naturel n0 tel que u n
a.
10 5.
0
par un
q n et a est
0
2)
un
Ecrire un algorithme demandant les valeurs de q et a et affichant le plus petit entier n0 tel que
a.
0
3)
Programmer cet algorithme à la calculatrice et l utiliser pour déterminer le plus petit entier n tel
que 0,2 n 3 10 6.
2.
q strictement supérieur à 1.
Exemple 1 : ( un ) est la suite définie pour tout n de par un 2 n .
1)
Expliquer pourquoi il existe au moins un entier naturel n0 tel que u
2)
n0
105.
Ecrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier n0 tel que u n
105.
0
Exemple 2 : q est un réel strictement supérieur à 1 ; ( un ) est la suite définie pour tout n de
est un réel strictement positif.
1)
Expliquer pourquoi il existe au moins un entier naturel n0 tel que u n
a.
par un
q n et a
0
2)
un
Ecrire un algorithme demandant les valeurs de q et a et affichant le plus petit entier n0 tel que
a.
0
3)
Programmer cet algorithme à la calculatrice et l utiliser pour déterminer le plus petit entier n tel
n
que 3
250 000.
SUITES ET ALGORITHMES.
CORRECTION
I.
Calculer un terme.
Exemple 1 suite définie de façon explicite.
Soit ( un ) la suite définie pour tout n de par un
1)
Demander n
U prend la valeur 2 0,8n
Afficher U
2 0,8n .
2)
Demander N
Pour i allant de 0 à N
U prend la valeur 2 0,8 i
Afficher U
Fin Pour
Exemple 2 . suite définie par récurrence.
(u n ) est la suite définie pour tout n de par u 0 = 2 et pour tout n de , u n +1 = 2un 1.
1)
2)
Demander n
Demander N
U prend la valeur 2
U prend la valeur 2
Pour i allant de 1 à n
Afficher U
Pour i allant de 1 à N
U prend la valeur 2U 1
U prend la valeur 2U
Fin pour
Afficher U
Afficher U
Fin pour
1
Algorithme de seuil pour q n .
1.
0 q 1.
Exemple 1 : .
n
1)
0 4 1 donc lim  4 
0 donc il existe au moins un entier naturel n0 tel que un
0
5
n
5
2)
U prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que U > 10 5
n prend la valeur n 1
n
U prend la valeur  4  (ou U 4 )
5
5
Fin Tant que
Afficher n
II.
Exemple 2 :
1)
0
q
1 et lim q n
n
0 et a
10 5.
0 donc il existe au moins un entier naturel n0 tel que q n
2)
Saisir q
Saisir a
U prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que U > a
n prend la valeur n 1
U prend la valeur q n (ou U a)
Fin Tant que
Afficher n.
a.
3)
On obtient n0
8.
2.
q 1.
Exemple 1 : ( un ) est la suite définie pour tout n de
1)
lim 2n
par un
2n.
donc il existe au moins un entier naturel n0 tel que u n
n
105.
0
2)
U prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que U 10 5
n prend la valeur n 1
U prend la valeur 2 n (ou U 2)
Fin Tant que
Afficher n
Exemple 2 :
1)
q
1 donc lim q n = +
n
et a
0 donc il existe au moins un entier naturel n0 tel que u n
2)
Saisir q
Saisir a
U prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que U < a
n prend la valeur n 1
U prend la valeur q n (ou U a)
Fin Tant que
Afficher n.
3)
On obtient n0
12.
a.
0