SUITES ET ALGORITHMES.

SUITES ET ALGORITHMES.
I. Calculer un terme.
Exemple 1 suite définie de façon explicite.
Soit ( ) un la suite définie pour tout n de par un2 0,8n.
1) Ecrire un algorithme affichant un, où n est un nombre donné par l’utilisateur.
2) Ecrire un algorithme affichant les termes de la suite jusqu à UN, où N est un nombre donné par
l’utilisateur.
Exemple 2 . suite définie par récurrence.
(un) est la suite définie pour tout n de par u0 = 2 et pour tout n de , un+1 = 2un1.
1) Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur la valeur de n et donnant la valeur de un.
2) Ecrire un algorithme affichant les termes de la suite jusqu à UN, où N est un nombre donné par
l’utilisateur.
II. Algorithme de seuil pour qn.
1. q compris entre 0 et 1.
Exemple 1 : ( ) un est la suite définie pour tout n de par un 4
5 n.
1) Expliquer pourquoi il existe au moins un entier naturel n0 tel que un010 5.
2) Ecrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier n0 tel que un010 5.
Exemple 2 : q est un réel compris entre 0 et 1 ; ( ) un est la suite définie pour tout n de par unqn et a est
un réel strictement positif.
1) Expliquer pourquoi il existe au moins un entier naturel n0 tel que un0a.
2) Ecrire un algorithme demandant les valeurs de q et a et affichant le plus petit entier n0 tel que
un0a.
3) Programmer cet algorithme à la calculatrice et l utiliser pour déterminer le plus petit entier n tel
que 0,2n3 10 6.
2. q strictement supérieur à 1.
Exemple 1 : ( ) un est la suite définie pour tout n de par un2n.
1) Expliquer pourquoi il existe au moins un entier naturel n0 tel que un0105.
2) Ecrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier n0 tel que un0105.
Exemple 2 : q est un réel strictement supérieur à 1 ; ( ) un est la suite définie pour tout n de par unqn et a
est un réel strictement positif.
1) Expliquer pourquoi il existe au moins un entier naturel n0 tel que un0a.
2) Ecrire un algorithme demandant les valeurs de q et a et affichant le plus petit entier n0 tel que
un0a.
3) Programmer cet algorithme à la calculatrice et l utiliser pour déterminer le plus petit entier n tel
que 3n250 000.

SUITES ET ALGORITHMES.
CORRECTION
I. Calculer un terme.
Exemple 1 suite définie de façon explicite.
Soit ( ) un la suite définie pour tout n de par un2 0,8n.
1)
Demander n
U prend la valeur 2 0,8n
Afficher U
2)
Demander N
Pour i allant de 0 à N
U prend la valeur 2 0,8i
Afficher U
Fin Pour
Exemple 2 . suite définie par récurrence.
(un) est la suite définie pour tout n de par u0 = 2 et pour tout n de , un+1 = 2un1.
1)
Demander n
U prend la valeur 2
Pour i allant de 1 à n
U prend la valeur 2U 1
Fin pour
Afficher U
2)
Demander N
U prend la valeur 2
Afficher U
Pour i allant de 1 à N
U prend la valeur 2U 1
Afficher U
Fin pour
II. Algorithme de seuil pour qn.
1. 0q1.
Exemple 1 : .
1) 0 4
5 1 donc lim
n
4
5 n 0 donc il existe au moins un entier naturel n0 tel que un010 5.
2)
U prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que U > 10 5
n prend la valeur n 1
U prend la valeur  4
5 n (ou U 4
5 )
Fin Tant que
Afficher n
Exemple 2 :
1) 0q1 et lim
nqn 0 et a0 donc il existe au moins un entier naturel n0 tel que qna.
2)
Saisir q
Saisir a
U prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que U > a
n prend la valeur n 1
U prend la valeur qn (ou U a)
Fin Tant que
Afficher n.

3) On obtient n08.
2. q1.
Exemple 1 : ( ) un est la suite définie pour tout n de par un2n.
1) lim
n2ndonc il existe au moins un entier naturel n0 tel que un0105.
2)
U prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que U 105
n prend la valeur n 1
U prend la valeur 2n (ou U 2)
Fin Tant que
Afficher n
Exemple 2 :
1) q1 donc lim
nqn = + et a0 donc il existe au moins un entier naturel n0 tel que un0a.
2)
Saisir q
Saisir a
U prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que U < a
n prend la valeur n 1
U prend la valeur qn (ou U a)
Fin Tant que
Afficher n.
3) On obtient n012.