Remplissage des polygones

Chapitre 3
Remplissage des polygones
Achraf Othman
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Polygones dans le plan
Définition
Un polygone Π dans le plan est une suite de segments
Π = (S1, S2, … , Sn) avec n ∈ℵ*
Et pour i = 1,…,n, le segment Si est de la forme Si = [Si-1, Si]
Où Pi est un point du plan pour i=0,…,n avec P0= Pn
Pi s’appelle un sommet du polygone
Les segments Si s’appellent les arêtes du polygone.
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Polygones dans le plan
Points intérieurs et points extérieurs
Soit un polygone Π = (S1, S2, … , Sn) et un point M du plan
qui ne se trouve pas sur aucun des segments du Π.
Considérons une demi-droite ∆ issue de M qui ne
contient aucun des sommets du polygone Π..
On dit que le point M est à l’intérieur au polygone Π si la
demi-droite ∆ intersecte un nombre impair de segments de Π.
Sinon, si le nombre est pair, on dit que le point M est à
l’intérieur du polygone Π.
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Polygones dans le plan
Points intérieurs et points extérieurs
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Polygones dans le plan
Polygones convexes
Un polygone Π = (S1, S2, … , Sn) est dit convexe si pour
tous points M et M’ qui sont intérieurs au polygone Π, le
segment [MM’] est entièrement composé de points
intérieurs au polygone Π.
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Principe du remplissage de polygones
Considérons un polygone Π du plan, dont tous les
sommets ont des coordonnées entières.
Le problème du remplissage consiste à trouver un
algorithme permettant de parcourir tous les points de
coordonnées entières du plan qui sont intérieurs du
polygone.
Parcourir et afficher tous les pixels qui se trouvent à
l’intérieur d’un polygone donné sur un écran ou une
image numérique.
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Principe du remplissage de polygones
Le principe du remplissage consiste à calculer des
segments horizontaux inclus du polygone.
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Principe du remplissage de polygones
Nous devons déterminer, pour chaque horizontale, quels
pixels sont à l’intérieur du polygone:
Les marquer
Les afficher en couleur
En faisant cela itérativement pour toutes les horizontales.
On remplit complètement le polygone.
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Principe du remplissage de polygones
Le remplissage, pour chaque ligne horizontale, sera
décomposé en trois étapes:
1)
2)
3)
Trouver les extrémités des segments horizontaux inclus dans
le polygone Π. Ces extrémités correspondent à des
intersections de la ligne horizontale avec les arêtes du
polygone.
Trier les extrémités obtenues à l’étape 1 dans l’ordre des
coordonnées X croissantes.
Afficher tous les pixels qui sont à l’intérieur du polygone
entre paires d’extrémités.
On utilise la règle de parité pour déterminer qu’un pixel se trouve à
l’intérieur de Π.
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Parcours des arêtes
Comment trouver les extrémités sur chaque horizontale
Les extrémités des segments horizontaux inclus dans le
polygone correspondent à des intersections d’une
horizontale avec les arêtes du polygone, donc à des points
sur les arêtes.
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Algorithme de parcours des arêtes du
polygone (1)
Détermination des extrémités des segments horizontaux
inclut dans le polygone par un parcours des arêtes du
polygone.
Chaque arête du polygone va d’un pixel (xbas, ybas) à un pixel
(xhaut, yhaut) avec ybas < yhaut.
On fait varier l’ordonnée y de ybas à yhaut, et on obtient la
relation suivante pour les coordonnées de l’intersection de
notre arête avec les horizontales:
Où
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est l’inverse de la pente de la droite.
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Algorithme de parcours des arêtes du
polygone (2)
Pour se ramener à l’arithmétique entière, on décompose
la donnée 1/m en :
Son numérateur numerat = xhaut – xbas, qui est de signe
quelconque.
Son dénominateur denomin = yhaut – ybas, qui est toujours
strictement positif.
On considère une variable entière increment telle que :
représente, à une constante inférieure à 1 près, la
partie fractionnaire de xi.
La variable increment doit être augmentée de la quantité
numerat à chaque étape (itération).
On dessine un pixel dont l’abscisse est arrondi de la valeur xi.
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Algorithme de parcours des arêtes du
polygone (3)
Cette valeur arrondie doit être augmentée lorsque la
quantité
dépasse 1.
On note Q la partie entière de
, alors l’abscisse du
pixel à afficher doit être augmentée de la valeur Q.
Il faut alors ramener la quantité
à sa partie
fractionnaire pour qu’elle redevienne inférieure à 1.
Astuce 1 : la variable increment doit rester ramenée entre 0 et
(denomin-1)
Astuce 2 : la variable increment doit être diminué de la Q x denomin.
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Algorithme de parcours des arêtes du
polygone (4) : initialisation
L’initialisation correcte de la variable increment dépend de
la pente de la droite et du caractère gauche ou droite de
l’arête du polygone :
Pour une arête gauche avec numerat>0 (pente positive), on a :
int increment = denominateur – 1 ;
Pour une arête droite avec numerat > 0 (pente positive), on a :
int increment = -1 ;
Pour une arête gauche avec numerat <= 0 (pente négative), on a :
int increment = 0 ;
Pour une arête droite avec numerat <= 0 (pente négative), on a :
int increment = - denominateur ;
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Algorithme de parcours des arêtes du
polygone (5)
void gauche_pente_pos (int xbas, int ybas, int xhaut, int yhaut,
int couleur)
{
int y;
int x = xbas;
int numerateur = xhaut – xbas;
int denominateur = yhaut / ybas;
int increment = denominateur – 1;
int Q;
for(y = ybas ; y <= yhaut ; y++) {
PutPixel(x,y,couleur);
increment += numerateur;
Q = increment / denomintaeur;
x += Q;
increment -= Q * denominateur;
}}
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Algorithme de parcours des arêtes du
polygone (7)
Prenons l’exemple d’une arête :
denomin = yhaut – ybas = 10
numerat = xhaut – xbas = 4
On suppose, par exemple que :
xbas = 3 et ybas = 0
pente positive, initialisation :
increment = denomin – 1 = 9
Algorithme :
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void gauche_pente_pos (int xbas, int ybas, int xhaut, int yhaut,
int couleur)
{
int y;
int x = xbas;
int numerateur = xhaut – xbas;
int denominateur = yhaut / ybas;
int increment = denominateur – 1;
int Q;
for(y = ybas ; y <= yhaut ; y++) {
PutPixel(x,y,couleur);
increment += numerateur;
Q = increment / denomintaeur;
denomin = yhaut – ybas = 10
numerat = xhaut – xbas = 4
x += Q;
increment -= Q * denominateur; }}
y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
increment
9
9+4=13
7
7+4=11
1+4=5
5+4=9
9+4=13
3+4=7
7+4=11
1+4=5
5+4=9
x
3
3+1=4
4
4+1=5
5+0=5
5+0=5
5+1=6
6+0=6
6+1=7
7+0=7
7+0=7
(3,0)
(4,1)
(4,2)
(5,3)
(5,4)
(7,8)
(7,9)
(7,10)
Pixel
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(5,5)
(6,6)
(6,7)
Remplissage de polygones
Le cas du polygone convexe
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Remplissage de polygones
Algorithme 1 : Le cas du polygone convexe
Avantage : pour chaque
horizontale, on a au plus un
segment horizontal inclus dans
le polygone Π.
Idée de l’algorithme :
Partir du bas du polygone vers le
haut.
Parcourir les arêtes qui bordent
le polygone à gauche et à droite
(en utilisant l’algorithme
précédent).
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Remplissage de polygones
Algorithme 1 : Le cas du polygone convexe
Par exemple, pour le polygone Π :
Parcourir les arêtes [AH] et [BC]
Lorsqu’on arrive à la hauteur 2
On remplace l’arête [BC] par [CD]
Parcourir les arêtes [AH] et [CD]
Lorsqu’on arrive à la hauteur 3
On remplace l’arête [AH] par [HG]
Parcourir les arêtes [HG] et [CD]
…
…
…
Jusqu’à la hauteur 7.
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Remplissage de polygones
Algorithme 2 : La tables des arêtes actives TAACONV
On fait varier une variable y de l’ordonnée du point le
plus bas du polygone Π à l’ordonnée du point le plus
haut.
On maintient une table des arêtes actives TAACONV qui:
Pour une valeur donnée de y, code les deux arêtes du polygone
qui intersectent :
L’horizontale de hauteur y
Les abscisses arrondies des intersections de ces arêtes avec
l’horizontale de hauteur y
Exemple :
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Remplissage de polygones
Algorithme 2 : La tables des arêtes actives TAACONV
On représente la table des arêtes actives pour Π et pour
y = {4,5,6}
Exemple pour y = 4 :
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TAACONV
y= 4:
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yhaut
x
numerat
denomin
yhaut
x
numerat
denomin
6
4
-1
3
5
9
1
3
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Remplissage de polygones
Algorithme 2 : La tables des arêtes actives TAACONV
Lorsque la variable y est incrémentée, il faut mettre à jour
la table des arêtes actives TAACONV, en remplaçant les
arêtes pour laquelles y=yhaut par les arêtes pour lesquelles
y=ybas.
Mettre à jour la donnée x des autres arêtes suivant
l’algorithme de parcours des arêtes.
En déterminant la variable increment.
En mémorise cette donnée dans increment[0] pour l’arête à
gauche et increment[1] pour l’arête à droite.
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TAACONV
y= 5:
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yhaut
x
numerat
denomin
yhaut
x
numerat
denomin
6
4
-1
3
7
9
-4
2
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TAACONV
y= 6:
yhaut
x
numerat
denomin
yhaut
x
numerat
denomin
7
3
2
1
7
7
-4
2
Remplissage de polygones
La table des arêtes globale TACONV
Pour introduire rapidement une nouvelle arête telle que
y=ybas, on construit une table des arêtes globale
(TACONV) contenant toutes les arêtes non-horizontales
du polygone, classées suivant leurs ybas.
Exemple :
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Remplissage de polygones
La table des arêtes globale TACONV
7
3
2
1
7
10
-4
2
4
6
4
-1
3
3
5
9
1
3
2
3
6
-2
2
2
7
2
1
yhaut
xbas
numerat
denomin
yhaut
xbas
numerat
denomin
Coordonnées de Y
7
6
5
TACONV
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Remplissage de polygones
La table des arêtes globale TACONV
Chaque deux arêtes doivent apparaître dans la table
TACONV ordonnées de gauche à droite. Une arête a1
est à gauche d’une arête a2 si et seulement si :
Soit a1.xmin < a2.xmin
Soit a1.xmin = a2.xmin et
(comparaison des pentes)
Ce qui exprime en nombre entiers :
a1.numerat x a2.numerat < a2.numerat x a1.denomin
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.
Remplissage de polygones
Algorithme
E0 (init) : construite TACONV
E1 : initialiser y à la plus petite valeur min(ybas) de ybas.
E2 : copier les deux arêtes de la table TACONV à la hauteur 0
(la plus basse, correspondant à y) dans la table TAACONV.
Initialiser les deux variables increment.
E3 : Répéter tant que y est strictement inférieur à la plus
grande valeur possible de yhaut :
E3.1 : Afficher les pixels entre les deux pixels (x,y) correspondant aux
deux éléments de TAACONV.
E3.2 : Remplacer les arêtes de TAACONV qui ont leur yhaut égal à y
par les arêtes de la table TACONV pour lesquelles ybas=y.
E3.3 : Mettre à jour les valeurs de x dans TAACONV pour
incrémenter y.
E3.4 : incrémenter y.
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Exercice d’application
Soient A(1,5) et B(7,1) deux points.
En considérant le segment [AB] comme une arête gauche de
polygone, appliquer l’algorithme de parcours des arêtes utilisé
dans l’algorithme de remplissage de polygones pour parcourir
l’arête [AB].
En considérant le segment [AB] comme une arête droite de
polygone, appliquer l’algorithme de parcours des arêtes utilisé
dans l’algorithme de remplissage de polygones pour parcourir
l’arête [AB].
Refaire le même exercice pour A(1,2) et B(6,4).
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Exercice d’application
Appliquer l’algorithme de remplissage de polygones au
polygone convexe représenté ci-dessus.
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Fenêtrage de polygones 2D
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Références
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