4 distance d`un point à une droite, tangente cours II

DISTANCE D’UN POINT A UNE DROITE , TANGENTE A UN CERCLE
1. Distance d’un point à une droite : pour démarrer : activité 1p184 , activité 2p184
Définition La distance d’un point A à une droite (d) est la distancez AH, où H est le point
d’intersection de la droite (d) avec sa perpendiculaire passant par le point A.
AH est la plus petite distance du point A à un point quelconque, M, de la droite (d). c’est
à dire
AH < AM , quelque soit M distinct de H
Démonstration : Nous allons démontrer ce résultat
Hypothèses : (d) est une droite et A un point qui n’est pas sur (d).
M est un point de (d) distinct de H
A’ est le symétrique de A par rapport à (d).H est donc le milieu de [AA’]
Démonstration :
1. AA’<AM+A’M , D’après l’inégalité triangulaire dans le triangle AA’M
2. AA’ = AH+HA’ , car H est le milieu de [AA’].
3. AH = HA’ et AM= MA’ car [AH] est le symétrique de [HA’] et [AM] est le symétrique
de [MA’] .
4. AH+HA’ < AM + MA’, car AA’<AM+A’M et AA’=AH+HA’.
5. 2AH<2AM car AH=A’H et AM=A’M
6. AH<AM

Conclusion : AH < AM , quelque soit M distinct de H
Exemple : La droite (AH) est perpendiculaire à la droite (d). La distance du point A à la droite
(d) est 3 cm.
Remarque :
Si le point A appartient à la droite (d), la distance de A à (d) est nulle.
pour s’entraîner : exercice 1, exercice 2, exercice 3 exercice 4, exercice 6
II Tangente à un cercle. pour démarrer : activité 3p184 , activité42p185
II a Position relative d’une droite et d’un cercle
Soit c un cercle et d une droite , parmi tous les dessins possibles , il existe 3 cas de figure.
1er cas : d ne coupe pas le cercle c, exemple d1.
2eme cas d coupe le cercle c en deux points , exemple d2.

3éme cas d est tangente au cercle c , c’est à dire que c et d n’ont qu’un point en commun.
II b définition
A est un point du cercle (C) de centre O.
La tangente en A au cercle (C) est la droite perpendiculaire au rayon [OA] passant par A.
Exemple :
La droite d est la tangente en A au cercle (C).
La droite d’ n’est pas tangente en B au cercle (C) , car elle n’est pas perpendiculaire au
rayon [OB].
La droite d ‘’ n’est pas tangente au cercle (C). car elle n’est pas perpendiculaire en un point
du cercle.
Remarques :
1. Le point A est le seul point commun à la droite (d) et au cercle (C).
2. La distance du point O à la droite (d) est égale au rayon du cercle.
pour s’entraîner : exercice 8, exercice 7
III Bissectrice d'un angle
pour s’entraîner : exercice 1, exercice 2
Propriétés de la bissectrice d'un angle
• Si un point est situé à la même distance des côtés d'un angle alors il appartient à la bissectrice
de cet angle.
• Réciproquement, si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors il est situé à la même
distance des côtés de cet angle.

Exemple 1 : Soit un triangle ABC. Place à l'intérieur du triangle un point M afin qu'il soit à égale
distance des côtés [AB] et [BC].
Le point M se situe à égale
distance des côtés [AB] et
[BC].
Or, s
i un point est situé à la
même distance des côtés
d'un angle, alors il appartient
à la bissectrice de cet angle.
Donc le point M se
situe
sur la bissectrice
de l'angle
•
ABC
formé
par les segments [AB]
et [BC].
Centre du cercle inscrit dans un triangle
Les trois bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Remarque : Les trois côtés d'un triangle sont tangents au cercle inscrit dans ce triangle.
Exemple 2 : Construis un triangle MER et son cercle inscrit de centre O.
On trace les bissectrices de deux
des trois angles du triangle MER.
Elles se coupent en O, le centre
du cercle inscrit.
On trace la perpendiculaire à (ME)
passant par le point O. Elle coupe
[ME] en K. On obtient ainsi un
rayon [OK] du cercle inscrit dans
le triangle MER.
On trace le cercle de centre O
passant par K.
pour s’entraîner : exercice 1, exercice 2, exercice 3 exercice 4, exercice 6
M
R
O
E
M
R
O
K
E
M
R
O
K
E
A
B
C
M