1. ̂ AOB et ̂ AOC sont deux angles supplémentaires et [Ox), [Oy

A B
CD
E
F
G
1.
[
AOB et
[
AOC sont deux angles supplémentaires et [Ox), [Oy) leurs bissectrices.
On trace par Bla parallèle à (AC) qui coupe (Ox) en Met (Oy) en N.
Montrer que les triangles BOM et BON sont isocèles. En déduire que Best le milieu de [MN].
En déduire que le triangle MON et rectangle.
A C
O
B
M N
2. ABCD est un quadrilatère. M,N,Pet Qsont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [AD].
a) Quelle est la nature du quadrilatère MNP Q ?
b) Comment choisir ABCD pour que MNP Q soit un losange, un rectangle, un carré ?
Pierre Delouya Collège Janson 1 29 décembre 2014

A
B
C
D
E
F
G
H
ABC est un triangle, (AM), (BN) et (CP ) sont les trois médianes de ce triangle. La parallèle menée par
Mà (BN) coupe (NP ) en Q.
Comparer les côtés du triangle AMQ aux médianes du triangle ABC.
Comparer les médianes du triangle AMQ aux côtés du triangle ABC.
Montrer que la somme des médianes d’un triangle est inférieure au périmètre et supérieure aux trois quarts
de ce périmètre.
R.
Pest le milieu de [AB] et Ncelui de [AC], donc (P N)//(BC) et P N =BC/2 = BM =MC
P NMB est un parallélogramme et P B =NM
(P Q)//(BM) et (BN)//(MQ), donc BNQM est un parallélogramme, d’où BN =MQ et BM =NQ.
De même, NQ =MC, puisque MC =BM ; donc (NQ)//(MC) et NQ =MC, on en déduit que NQCM
est un parallélogramme de centre V.
Nest le milieu de [P Q] et de [AC], donc AQCP est un parallélogramme et AQ =P C.
Conclusion : les côtés du triangle AMQ ont la même longueur que les médianes du triangle ABC.
Dans le triangle AMQ,Nest le centre de gravité, car Vest le milieu de [MQ] et W, le milieu de [AM].
On en déduit que (MU) est la troisième médiane du triangle AMQ.
AN =AV =AC, donc AV =AC ; de même, QN =QW =QP , donc QW =QP ;
MN =MU =AB, donc MU =AB
La longueur de chaque médiane du triangle AMQ est égale aux trois quarts de la longueur de chaque côté
du triangle ABC.
III. On donne la figure ci-dessous. Les droites (BE) et (CF ) sont parallèles, de même que les droites (EC)
et (F D).
a) Dans le triangle ACF , écrire les égalités de rapport de longueurs.
b) Dans le triangle ADF , écrire les égalités de rapport de longueurs.
Pierre Delouya Collège Janson 2 29 décembre 2014

c) En déduire =
d) On donne AB = 4 et AD = 36 ; en déduire la valeur de AC.
e) On donne CF = 15 ; en déduire la valeur de BE.
f) On donne CE = 6 ; en déduire la valeur de F D.
g) En déduire la longueur du chemin AB +BE +EC +CF +F D.
III. a) Dans le triangle ACF ,B[AC], E[AF ] et les droites (BE) et (CF ) sont parallèles, on peut donc
utiliser le théorème de Thalès et on a : = = .
b) Dans le triangle ADF ,C[AD], E[AF ] et les droites (CE) et (DF ) sont parallèles, on peut donc utiliser
le théorème de Thalès et on a : = = .
c) Des questions a) et b), on déduit : = et = , donc =
d) On donne AB = 4 et AD = 36 ; en déduire la valeur de AC.
D’après la relation précédente, en utilisant le produit en croix, on trouve que AC.AC =AC=AB.AD
Donc AC = 4 ×36 = 144 = 122, d’où AC = 12.
e) On donne CF = 15 ; en déduire la valeur de BE.
Dans le triangle ACF , = ; = = ; donc = .
On peut utiliser la proportionnalité : 15 = 5 ×3, donc BE = 5 ×1 = 5. BE = 5 ;
f) On donne CE = 6 ; en déduire la valeur de F D.
Dans le triangle ADF , = ; = = ; donc = .
On peut utiliser la proportionnalité : 6 = 6 ×1, donc DF = 6 ×3 = 18. DF = 18.
g) La longueur du chemin AB +BE +EC +CF +F D est donc égale à : 4 + 5 + 6 + 15 + 18 = 48
ABCD est un parallélogramme, Eet Fsont les milieux respectifs de [AB] et [CD].
Les droites (AF ) et (CE) coupent la diagonale (BD) respectivement en Pet Q.
Comparer les segments [DP ], [P Q] et [QB].
R. Dans le triangle ABP ,Eest le milieu de [AB] et (AP )//(EQ), donc Qest le milieu de [BP ], P Q =
QB.
Dans le triangle CDQ,Fest le milieu de [CD] et (F P )//(CQ), donc Pest le milieu de [DQ], DP =P Q.
Conclusion : DP =P Q =QB =DB/3.
5. On considère deux points Aet Bet une droite (xy) telle que les distances AH et BK à (xy) soient
égales.
Montrer que (xy) passe par le milieu de [AB] ou est parallèle à [AB].
Quel est le lieu géométrique des points Het K?
R5. D’après l’énoncé, [AH] (xy), [BK] (xy) et AH =BK.
On en déduit que les segments [AH] et [BK] sont parallèles, car si deux droites (AH) et (BK) sont perpen-
diculaires à une même droite (xy), alors elles sont parallèles entre elles.
On appelle Mle point d’intersection de [AB] et de (HK). Les angles
\
AMH et
\
BMK ont même mesure car
opposés par le sommet ; les angles
\
HAM et
\
(MBK ont même mesure car alternes-internes et (AH)//(BK).
On utilise le théorème de Thalès : MA/MB =MH/MK =AH/BK.
AH =BK (énoncé), donc AH/BK = 1, de même MA/MB = 1, soit MA =MB et Mest le milieu de
[AB].
On a aussi MH/MK = 1, soit MH =MK et Mest le milieu de [HK].
On en déduit que le quadrilatère AHBK est un parallélogramme car ses diagonales [AB] et [HK] se coupent
en leur milieu M.
Si Het Ksont du même côté de Aet B, les segments [AH] et [BK] sont parallèles car si deux droites (AH)
et (BK) sont perpendiculaires à une même droite (xy), alors elles sont parallèles entre elles.
AHBK est un quadrilatère qui a deux côtés de même mesure et deux angles droits consécutifs, c’est donc
un rectangle et les droites (AB) et (HK) sont parallèles.
Les triangles AMH et BMK sont rectangles respectivement en Het en K, ils sont donc inscrits dans un
cercle dont un diamètre est l’hypoténuse de chaque triangle : [AM] et [BM].
Lorsque Het Kvarient, ils se déplacent sur un cercle de diamètre respectivement [AM] et [BM].
Cas particulier : si Het Ksont confondus, la droite (xy) est tangente aux deux cercles et (xy) est la médiatrice
de [AB].
Pierre Delouya Collège Janson 3 29 décembre 2014