Fiche: Surplus du consommateur

Fiche: Surplus du consommateur
Julien Combe
2 avril 2017
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Rappel et point de cours.
On rappelle brièvement les surplus du consommateur (voir la méthode graphique discutée
en TD) :
SC(p) =
Z p̄
q d (u)du
p
SC(q) =
Z q
pd (u)du
0
La première formule est celle quand on utilise la fonction de demande (quantité en fonction du
prix). La variable p̄ représente le prix auquel la demande est nulle (c’est le prix maximal que
le consommateur est prêt à payer). Si la demande ne s’annule jamais (comme le graphique fait
en TD par exemple), on a p̄ = ∞. La deuxième formule est l’expression du surplus à partir de
la demande inverse (prix en fonction de la quantité).
La formule donnée en cours représente la variation de surplus quand le prix passe de p0 à
p1 , en utilisant les formules ci-dessus, cela donne :
SC(p1 ) − SC(p0 ) =
Z p̄
d
q (u)du −
p1
Z p̄
q d (u)du
p0
Si p1 > p0 , l’intégrale de droite devient : − pp01 q d (u)du la variation du surplus est donc négative
(logique on augmente le prix donc le consommateur Rperd quelquechose, cela doit correspondre
à la formule du cours). Si p1 < p0 l’intégrale devient pp10 q d (u)du qui est une quantité positive. 1
R
BONUS (hors programme) : Vous pouvez consulter la page wikipédia par exemple pour
l’histoire de ce concept. Il a été proposé bien avant l’approche néo-classique de la demande
via maximisation d’utilité. Ce qui est intéressant c’est que si on prend la vision néo-classique
qui réfléchit à partir d’utilité, la variation de surplus entre un prix p1 et un prix p0 devrait
représenter la variation d’utilité indirecte du consommateur car après tout c’est ce qui compte
à la fin, son utilité. Mais si on se rappelle l’identité de Roy, on a (on note B le budget et p le
prix du bien) :
x(p) =
∂V (p,B)
− ∂V ∂p
(p,B)
∂B
Maintenant supposons que l’utilité marginale du revenu est constante et ne varie ni avec p ni
(p,B)
avec B, on a donc ∂V∂B
= C (avec C une constante). La formule devient :
x(p) = −
∂V (p,B)
∂p
C
1. La formule du cours avec le moins devant est cohérente, car il met p0 en bas dans l’intégrale et p1 en haut.
Rb
Ra
On rappelle la formule pour les intégrales : a f (x)dx = − b f (x)dx.
1
Si on applique la formule de variation du surplus entre p1 et p0 pour la fonction de demande
(notée x(p) ici) :
SC(p1 ) − SC(p0 ) = −
Z p1
x(u)du = −
Z p1
p0
p0
∂V (u,B)
∂p



−
C
1 Z p1 ∂V (u, B)
du =
×
du
C
∂p
p0
1
× [V (u, B)]pp10
C
1
=
× (V (p1 , B) − V (p0 , B))
C
=
Donc si l’utilité marginale du revenu est constante alors la formule du surplus donnée plus
haut représente bien la variation d’utilité du consommateur suite à un changement de prix, le
concept de prendre l’air sous la courbe de demande fait donc sens. Cela a une portée pratique
importante : on observe jamais les utilités des consommateurs (leurs préférences), nous n’observons que leurs choix c.a.d les fonctions de demande (statistiquement on peut les estimer).
Du coup cela donne une méthode pratique pour lier les variations d’utilités (que l’on n’observe
pas) à un calcul d’air sous la courbe de demande (que l’on peut estimer). Bien entendu il faut
faire l’hypothèse que l’utilité marginale du revenu est constante. Cela veut dire quelquechose
d’important : si vous pensez qu’en pratique ou sur certains marchés cela n’est pas vrai alors
la formule de surplus perd son lien avec l’utilité et donc ne veut certainement plus dire grand
chose d’un point de vue néo-classique. La seule vraie notion théorique valable reste de comparer
les utilités indirectes.
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Application : TD sur la discrimination en prix (Exercice 1)
p
Les fonctions de demande sont : Q1 = − p8 + 4 et Q2 = − 10
+ 2. Calculons les surplus
des consommateurs pour un prix p. Avant toute chose il faut trouver la valeur de p̄ dans la
formule donnée. C’est le prix qui rend la demande nulle. Pour les consommateurs de type 1, on
a p̄ = 4 × 8 = 32 et pour les consommateurs de type 2, p̄ = 10 × 2 = 20.
SC1 (p) =
SC2 (p) =
Z 32
p
Z 20
p
"
u
u2
(− + 4)du = − + 4u
8
16
"
(−
2
u
u
+ 2)du = − + 2u
10
20
#32
=−
322
p2
p2
+ 4 × 32 +
− 4p = 64 +
− 4p
16
16
16
=−
202
p2
p2
+ 2 × 20 +
− 2p = 20 +
− 2p
20
20
20
p
#20
p
Si l’entreprise est en monopole et ne discrimine pas par les prix, donc elle applique le même
prix aux deux consommateurs, alors on a vu que la production qui maximise son profit était
de Q∗ = 2.55757 donc le prix est de (remplacer dans la fonction de demande inverse totale)
p∗ = 15.2997. On peut donc calculer les surplus des consommateurs :
(15.2997)2
− 4 × (15.2997) = 17.4313
16
(15.2997)2
SC2 (p∗ ) = 20 +
− 2 × (15.2997) = 1.10464
20
SC1 (p∗ ) = 64 +
Pour obtenir le bien-être total de la société, on somme les surplus des consommateurs et le profit
du producteur. Le profit du producteur est de π(Q∗ ) = 15.2997 × 2.55757 − (15 × 2.55757 −
6(2.55757)2 + (2.55757)3 ) = 23.284
W (p∗ ) = SC1 (p∗ ) + SC2 (p∗ ) + π(p∗ ) = 17.4313 + 1.10464 + 23.284 = 41.8199
2
Suite à la discrimination en prix, nous avons vu que les quantités et prix pour chaque groupe
de consommateurs étaient : Q1 = 1.75421, p1 = 17.9663 et Q2 = 0.803367, p2 = 11.9666. La
quantité globale produite est : Q = Q1 + Q2 = 1.75421 + 0.803367 = 2.55757 (à l’arrondi..).
On retrouve donc la même quantité globale qu’avant donc le même coût total. Mais vu que le
monopole discrimine en prix, on ne retrouve pas la même recette totale ! On a donc π(Q1 , Q2 ) =
17.9663 × 1.75421 + 11.9666 × 0.803367 − (15 × 2.55757 − 6(2.55757)2 + (2.55757)3 ) = 25.2842.
Pour obtenir le bien-être total, il nous faut calculer les nouveaux surplus :
(17.9663)2
− 4 × (17.9663) = 13.309
SC1 (p1 ) = 65 +
16
(11.9666)2
− 2 × (11.9666) = 3.22678
SC2 (p2 ) = 20 +
20
Le bien-être total est de :
W (p1 , p2 ) = 13.309 + 3.22678 + 25.2842 = 41.82
Le surplus est donc (presque) identique (je soupçonne juste de l’arrondi). Donc à l’échelle de
la société entière, la discrimination n’a pas créé de perte de bien-être total (contrairement au
passage de concurrence à monopole par exemple où il y a toujours une parte). En revanche
sa répartition change ! Bien entendu le profit de la firme est plus élevé, c’est toujours le cas
que sans discrimination (car au pire elle pourrait reproduire le prix sans discrimination mais
la discrimination lui offre plus de possibilités donc le profit est toujours au moins plus grand).
Même du point de vue des consommateurs, ce n’est pas clair, les types 1 ont moins de surplus
et paient plus cher que sans discrimination mais c’est l’inverse pour les types 2 !
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