Un algorithme de sous-gradient pour le traitement du contact

Un algorithme de sous-gradient pour le traitement du contact frottant
Michel Fortin * — Nicolas Tardieu ** — Éric Chamberland *
* GIREF, Université Laval, QUEBEC (Québec), CANADA G1K7P4
{mfortin, echamberland}@giref.ulaval.ca
** EDF-R&D, 1 av du Gal de Gaulle, 91128 Clamart Cedex, FRANCE
[email protected]
RÉSUMÉ. L’objet de cette communication est la présentation d’un algorithme de sous-gradient
pour le traitement du contact avec frottement obéissant aux lois de Tresca ou de Coulomb.
Il s’agit d’un algorithme itératif de gradient conjugué basé sur une formulation de type Lagrangien augmenté du problème de frottement. Une technique de relèvement de la direction de
descente permet en outre de lui conférer des propriétés intéressantes quand la taille des mailles
diminue.
The goal of this communication is to present a sub-gradient algorithm for the treatment of contact with friction obeying Tresca’s or Coulomb’s law. It is a conjugate gradient
based algorithm based on a augmented Lagrangian formulation of friction. A lifting technique
can be applied on the descent direction providing nice properties as the mesh size decreases.
ABSTRACT.
MOTS-CLÉS :
Frottement, Contact, Sous-Gradient
KEYWORDS:
Friction, Contact, Sub-Gradient
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soumission à 7ème Colloque National en Calcul des Structures, le 16 février 2005.
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soumission à 7ème Colloque National en Calcul des Structures.
1. Introduction
La prise en compte du frottement devient de plus en plus courante dans les études
numériques industrielles. Les techniques qui permettent cette prise en compte se sont
en effet beaucoup développées. La grande majorité de ces techniques sont basées sur
une formulation de type Lagrangien augmenté [ FOR 83] du problème de frottement.
Dans ce cadre, différents algorithmes ont été proposés pour la résolution du problème :
algorithmes d’ Uzawa [ LAU 93, SAX 98], de Newton généralisé [ ALA 91], de complémentarité linéaire [ KLA 88], ... L’objet de cette communication est de proposer,
dans le cadre d’une formulation par Lagrangien augmenté, un algorithme original de
traitement du frottement de Tresca, l’extension au frottement de Coulomb étant obtenue de manière classique par résolution d’une suite de problèmes avec frottement de
Tresca [ COC 84].
2. Formulation
On s’intéresse au cas d’un corps déformable
pouvant entrer en interaction de contact avec frottement de type Tresca avec une fondation rigide. On introduit
l’opérateur
qui renvoie le gap normal. La résolution d’un tel problème peut s’exprimer sous la forme d’un problème de minimisation :
!#"$&%(' )*,+.-/01
(1)
)* est la fonctionnelle d’énergie potentielle, -/01243(57698;: =<>: ?7@ où 8 est le seuil
où
"BAC'DAE+ représente formellement un crochet de dualité. (1) s’exprime de
de frottement et
manière équivalente :
(2)
GHI 0
F' J/ 0&&#"0$&%(' &,+&L-/J=
K2#J
OM NQP
RTUS )V'XW % 'YZ[']\2^0)_&`"]W % ' 0)*a+& Mbc \.dL)T< cfe L-\gdQ"hYZ[']\.dL)T<i+
Cette nouvelle contrainte peut être traitée par un multiplicateur de Lagrange, on définit
le Lagrangien augmenté suivant avec
:
(3)
kjFl / >ji mCn RTUS 0',$ % 'o Z a' JC
(4)
\
On peut remarquer que la minimisation par rapport à a une solution analytique :
YZV )T< c YZV M )u< c dv8 c YZw )u< cyx 8
\p2rs tq c Y Z MM ) < c
si
M )u< cy{ 8
(5)
M
Y
w
Z
c
z
si
M
On obtient alors le problème suivant :
Frottement
3
On peut montrer que les conditions de stationnarité de ce Lagrangien décrivent bien
le contact avec frottement de Tresca [ GUE 03]. En outre, si on injecte (5) dans (3), on
obtient l’expression du Lagrangien augmenté qui apparaît dans [ ALA 91, LAU 93].
Mais si l’on garde le Lagrangien
sous la forme (3) et que l’on écrit sa condition de
stationnarité par rapport à , on obtient l’inclusion différentielle :
R US
z}| M \pdL)<i&~E-/F\gdvYZ
(6)
) W % et YZ a déjà été résolu,
Si de plus on suppose que le problème de min-max en ,
p
\
€
2
\
`
2
)
<
< et (6) se résume à :
on a
z| ~E-\1d‚Y Z
(7)
~k-/\d9Y*Z le sous-gradient de norme
On peut maintenant déterminer dans l’ensemble
/
~
R
F
\
S
U . Plusieurs cas de\ figure se présentent :
minimale noté
\`2 ƒ z ,
~CR US F\T2`8 c \ c dvY Z
– Si
\‚2 z ,
– Si
YZ { 8 , ~CR US F\2 z 8
- Si
Y Z N 8 , ~CR US F\2„Y Z c YZ c d†…‡
- Si
\
Une fois obtenue les expressions précédentes, on peut mettre sur pied une algorithmie
générale basée sur une méthode de descente (que l’on précisera dans la suite) qui
s’exprime formellement comme présenté à la Figure 1.
@ˆ
L’algorithme proposé consiste donc à résoudre une suite de problèmes avec des
conditions de Dirichlet tangentielles imposées et des conditions de contact sur
.
Ces conditions sont respectivement imposées à l’aide des multiplicateurs de Lagrange
et . Détaillons maintenant la mise en œuvre précise de l’algorithme.
W % YZ
\ et définir c ~CR US F\ c 2 b‹Š Critère
‰ 2 P , choisir
c ~CR US \ c N Critère
– Tant que
ji m=n RTUS 0'a$ % 'o Z ']\ - Résoudre /
>
~CR US F\ - Calculer
\ Œ à l’aide de ~/R US \ - Mettre à jour
2
Ž…
-‰
‰
–
– Fin Tant que
Figure 1. Logique générale
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3. Algorithme de résolution
3.1. Mise en œuvre de l’algorithme
Pour décrire précisement l’algorithme proposé, nous nous disposons dans le cadre
d’une résolution incrémentale par la méthode de Newton et nous définissons l’opérateur qui renvoie la valeur du gap tangentiel. L’algorithme de la Figure 2 appelle les
remarques suivantes :
<
– La logique générale présentée dans l’algorithme de la Figure 1 est appliquée sur
le problème linéarisé
– La résolution du système (8) implique la prise en compte du contact unilatéral.
La méthode de résolution retenue est sans importance.
‰ 2 P c> ) c
N CritèreCorrection
- Tant que
2
P c ~CR S F\ c
–‘
U N CritèreSousGradient
– Tant que
- Résoudre
“  ) 2#”–•D— < dv”
˜ < 0) E™= d‚šK›% Wœ% dvšK›Z Y Z
s q’’  < ]žW/%œ ) xk™!  ) 2\gœ
t’ s tq hž) P k™=  ) { ’ W/%œ ]9) k™=  ) 1 d u2 P pour chaque liaison
~CR US F\ œ 1dp~CR US F\ œ ™! a › ~/R US F\ œ 2
-Ÿ
~CR US \ œ ™= › ~CR US \ œ ™= œ 2#~/R US F\œ¡& Ÿ= œ ™!
- Mise à jour 2 argmin£(¤ R US )Tœk'W % 'YZ[']\œ¥ ¢; œ - Trouver ¢–NQP tel que ¢
\œ Œ1 2¦\œ‹ ¢; œ
- Mise à jour
2 ‘ Ž…
-‘
-
– Fin Tant que
) Œ 2`)  ) ¡Œ
2 ‰ `…
- ‰
- Fin Tant que
-
Figure 2. Algorithme
(8)
Frottement
5
– La modélisation d’une autre loi d’interface nécessite des modifications mineures : seule l’expression du sous-gradient est à changer.
– La direction de descente est conjuguée par la formule de Polak-Ribiere.
– La phase de recherche du
sécante.
¢
optimal est réalisée à l’aide d’une méthode de la
– La matrice tangente du système (8) est indépendante de l’état de contact ou de
frottement ; au cours des sous-itérations de frottement, elle reste constante ce qui est
particulièrement intéressant quand on utilise un solveur direct. C’est là une des particularités de l’algorithme qui a été conçu pour minimiser au maximum le nombre
d’assemblage et de factorisation de matrice : une résolution nécessite un très grand
nombre d’itérations mais chacune est très peu coûteuse.
3.2. Relèvement de la direction de recherche
\
\ |¨§ a© @ˆu
Œ\œ  2\œ‹ ¢Eª =™  œ e ª
On peut remarquer que la mise à jour de la variable fait intervenir des champs
qui ne sont pas dans les mêmes espaces fonctionnels :
tandis que
et il faudrait plutôt écrire
où est l’opérateur de Steklov-Poincaré. Cette incohérence a pour effet néfaste de faire dépendre la
convergence de l’algorithme de la taille des éléments. A géométrie fixée, le nombre
d’itérations nécessaires à l’obtention de la convergence augmentera quand on raffine
le maillage. Nous avons cherché à contourner ce problème en relevant la direction de
recherche grâce à la résolution du problème annexe suivant :
}| § ™=a© e @ˆu
s tq “ « 2 « 2z z @¬
­ >« 1®>¯Žsur2
sur @ ˆ
(9)
\
4. Illustration numérique
Le calcul réalisé modélise un pain de caoutchouc obéissant à la loi de MooneyRivlin que l’on vient presser et faire glisser en déplacement imposé sur une fondation
rigide. La loi de frottement est ici la loi de Coulomb. Le calcul comporte 44 pas de
chargement et l’on présente sur la Figure 3 le nombre de mises à jour de la variable
nécessaires pour atteindre la convergence sur deux maillage dont l’un comprend 8
fois plus d’éléments que l’autre. On constate que :
– le nombre d’itérations est élevé mais chacune des sous-itérations est peu chère en
terme de temps CPU ce qui rend l’algorithme intéressant quand la taille des modèles
augmente
– quand on utilise le relèvement de la direction de descente, on observe bien que
le nombre d’itérations est quasiment constant quand on raffine le maillage
– l’utilisation du relèvement doit encore être améliorée lorsque la zone de contact
devient grande
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250
SansRelevementX1
SansRelevementX8
AvecRelevementX1
AvecRelevementX8
Nb de MAJ de P
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
No du pas
Figure 3. Comparaison du nombre de mises à jour de
45
\
5. Conlusions
Un algorithme de sous-gradient conjugué pour le traitement du frottement est proposé dans cette communication. Le nombre élevé d’iterations nécessaire pour atteindre
la convergence est largement compensé par le faible nombre de réassemblage et de
factorisation de la matrice tangente. Enfin, le relèvement de la direction de descente
rend la convergence quasiment indépendante de la taille des éléments.
6. Bibliographie
[ALA 91] P.A LART, A.C URNIER - A mixed formulation for frictional contact problems prone
to Newton like solution methods Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 92, 1991
[COC 84] M.C OCU - Existence of solutions of Signorini problems with friction Int. J. Eng.
Sci.,22, 1984
[FOR 83] M.F ORTIN , R.G LOWINSKI - Augmented Lagrangian Methods. Applications to the
numerical solution of boundary value problems North Holland, 1983
[GUE 03] R.G UÉNETTE - Rapport sur la résolution de problèmes de contact Rapport technique du GIREF, 2003
[KLA 88] A.K LARBRING , G.B JORKMAN - A mathematical programming approach to
contact problem with friction and varying contact surface Computers and Structures, 30,
1988
[LAU 93] T.A.L AURSEN , J.C.S IMO - A continuum-based finite element formulation for the
implicit solution of multibody, large deformation frictional contact problems Int. J. Numer
Meth Engrg,36, 1993
[SAX 98] G.D E S AXCÉ ,Z.Q.F ENG - The bipotential method : a constructive approach to
design the complete contact law with friction and improved numerical algorithms Int. J.
Math. and Comp. Modelling, 28, 1998