X - UFR SMP - Université de Franche

27/09/2013
1
Statistique
Evaluation des méthodes d’analyse appliquées
aux sciences de la vie et de la santé
Frédéric Mauny - 27 septembre et 3 octobre 2013
Variables aléatoires
1
© F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté
UE 4
Plan du cours
1. Variable aléatoire
1. Définition
2. Loi de probabilité et représentation
3. Fonction de répartition
4. Caractéristiques de position/dispersion
5. Opérations sur les variables aléatoires
2. Lois de probabilité usuelles
2
© F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté

27/09/2013
2
VA : définition intuitive
Un couple prévoit d’avoir 3 enfants X=nombre de filles
« Avoir exactement une fille » (X=1)
© F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté 3
e Pr(e)
(GGG) 0,14
(GGF) 0,13
(GFG) 0,13
(GFF) 0,12
(FGG) 0,13
(FGF) 0,12
(FFG) 0,12
(FFF) 0,11
xP(x)
0 0,14
1 0,39
2 0,36
3 0,11
X
Basé sur p(G)=0,52
Pr(X = 1) ou p(1)
0,13 + 0,13 + 0,13 = 0,39
Une variable aléatoire discrète prend
différentes valeurs xiavec des probabilités
définies par sa loi de probabilité p(x)
VA : définition formelle
• Soit Eun ensemble d’évènements pour lesquels on a défini
une distribution de probabilité (Eest un ensemble
probabilisé)
• Une variable aléatoire Xest une fonction numérique définie
sur cet espace E
• A chaque evt. élémentaire de E, on fait correspondre un
nombre xselon une règle bien définie (une application de
l’ensemble Edans l’ensemble )
• A chaque sous-ensemble de nombre, on peut attribuer la
probabilité du sous-ensemble de Equi lui correspond
on définit ainsi la distribution de probabilité de la VA
© F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté 4

27/09/2013
3
Caratéristiques d’une VA
• Convention d’écriture : la variable aléatoire X(majuscule),
et la valeur observée x(minuscule)
• Typologie :
– variable aléatoire discontinue (ou discrète)
– variable aléatoire continue : la variable X peut prendre
toutes les valeurs sur un certain intervalle fini ou infini
• Si Xet Ysont des VA, alors
–Z=X+Y, Z= X-Ysont des VA
–Z=aXest une VA, aétant une constante réelle
–Z=XY, Z=X/Ysont des VA
–Z=Xnest une VA
© F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté 5
Loi de probabilité, VA discrète
• A chaque valeur xi, on associe une probabilité pi
telle que : pi= Pr(X=xi).
• Ensemble des couples (xi,pi) constitue la loi de
probabilité de la variable discontinue X
• Ex : X:VA « Avoir exactement une fille »
définissant une application de Edans {0,1,2,3}
© F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté 6
xP(x)
0 0,14
1 0,39
2 0,36
3 0,11 Tableau des probabilités

27/09/2013
4
Représentation graphique
VA discrète
Diagramme des probabilités
– en abscisse : les différentes valeurs de la VA,
classées par ordre de grandeur croissante
– en ordonnée, la probabilité de chaque valeur
Ex X: VA « Avoir exactement une fille »
© F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté 7
x
Probabilité
Représentation graphique
VA continue
© F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté 8
•Xpeut prendre une infinité
de valeurs à l'intérieur de
l'intervalle de variation
• Diagramme remplacé par
une courbe représentant la
fonction de densité de
probabilité f(x), telle que
f(x)dx= Pr(x<X<x+dx)
• Probabilité définie non plus
pour un xmais pour un
intervalle et proportionnelle à
la surface sous la courbe

27/09/2013
5
Loi de probabilité, VA continue
• La loi de probabilité est déterminée si on connaît
pour tout intervalle [xa,xb], la probabilité que xisoit
comprise entre xaet xb, soit Pr(xa<X<xb).
• Pr(X=xi) non définissable, xiun point parmi une
infinité de points
• Loi de probabilité est continue, on définit la fonction
f(x), telle que : f(x)≥0 et
•
∫
+∞
∞−
=1)( dxxf
∫
=<<
b
a
dxxfbXa )()Pr(
© F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté 9
• Soit XVA discrète, {x1,x2,…, xi, …xn}
• Fonction de répartition de X:
© F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté 10
)()(
1
1
∑
<
=→ ux xfuFu
)()( 11 xfxF
=
)()()( 212 xfxfxF
+
=
)(...)()()( 21 ii xfxfxfxF
+
+
+
=
1)(
=
n xF
Fonction de répartition
VA discrète