X - UFR SMP - Université de Franche

27/09/2013
UE 4
Evaluation des méthodes d’analyse appliquées
aux sciences de la vie et de la santé
Statistique
Variables aléatoires
Frédéric Mauny - 27 septembre et 3 octobre 2013
© F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté
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Plan du cours
1. Variable aléatoire
1. Définition
2. Loi de probabilité et représentation
3. Fonction de répartition
4. Caractéristiques de position/dispersion
5. Opérations sur les variables aléatoires
2. Lois de probabilité usuelles
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VA : définition intuitive
Un couple prévoit d’avoir 3 enfants X=nombre de filles
« Avoir exactement une fille » (X=1)
e
Pr(e)
(GGG)
0,14
(GGF)
0,13
(GFG)
0,13
(GFF)
0,12
(FGG)
0,13
(FGF)
0,12
(FFG)
0,12
(FFF)
0,11
X
Basé sur p(G)=0,52
x
P(x)
0
0,14
1
0,39
2
0,36
3
0,11
Pr(X = 1) ou p(1)
0,13 + 0,13 + 0,13 = 0,39
Une variable aléatoire discrète prend
différentes valeurs xi avec des probabilités
définies par sa loi de probabilité p(x)
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VA : définition formelle
• Soit E un ensemble d’évènements pour lesquels on a défini
une distribution de probabilité (E est un ensemble
probabilisé)
• Une variable aléatoire X est une fonction numérique définie
sur cet espace E
• A chaque evt. élémentaire de E, on fait correspondre un
nombre x selon une règle bien définie (une application de
l’ensemble E dans l’ensemble )
• A chaque sous-ensemble de nombre, on peut attribuer la
probabilité du sous-ensemble de E qui lui correspond
on définit ainsi la distribution de probabilité de la VA
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Caratéristiques d’une VA
• Convention d’écriture : la variable aléatoire X (majuscule),
et la valeur observée x (minuscule)
• Typologie :
– variable aléatoire discontinue (ou discrète)
– variable aléatoire continue : la variable X peut prendre
toutes les valeurs sur un certain intervalle fini ou infini
• Si X et Y sont des VA, alors
– Z=X+Y, Z= X-Y sont des VA
– Z=aX est une VA, a étant une constante réelle
– Z=XY, Z=X/Y sont des VA
– Z=Xn est une VA
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Loi de probabilité, VA discrète
• A chaque valeur xi, on associe une probabilité pi
telle que : pi = Pr(X = xi).
• Ensemble des couples (xi,pi) constitue la loi de
probabilité de la variable discontinue X
• Ex : X : VA « Avoir exactement une fille »
définissant une application de E dans {0,1,2,3}
x
P(x)
0
0,14
1
0,39
2
0,36
3
0,11
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Tableau des probabilités
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Représentation graphique
VA discrète
Diagramme des probabilités
– en abscisse : les différentes valeurs de la VA,
classées par ordre de grandeur croissante
– en ordonnée, la probabilité de chaque valeur
Ex X : VA « Avoir exactement une fille »
Probabilité
x
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Représentation graphique
VA continue
• X peut prendre une infinité
de valeurs à l'intérieur de
l'intervalle de variation
• Diagramme remplacé par
une courbe représentant la
fonction de densité de
probabilité f(x), telle que
f(x)dx= Pr(x<X<x+dx)
• Probabilité définie non plus
pour un x mais pour un
intervalle et proportionnelle à
la surface sous la courbe
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Loi de probabilité, VA continue
• La loi de probabilité est déterminée si on connaît
pour tout intervalle [xa, xb], la probabilité que xi soit
comprise entre xa et xb, soit Pr(xa< X <xb).
• Pr(X = xi) non définissable, xi un point parmi une
infinité de points
• Loi de probabilité est continue, on définit la fonction
+∞
f(x), telle que : f(x) ≥ 0 et
∫ f(x)dx=1
−∞
b
• Pr(a< X <b)=∫a f(x)dx
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Fonction de répartition
VA discrète
• Soit X VA discrète, {x1,x2,…, xi, …xn}
• Fonction de répartition de X :
u→F(u)=∑ f(x1)
F(x1)= f(x1)
x1<u
F(x2)= f(x1)+ f(x2)
F(xi)= f(x1)+ f(x2)+...+ f(xi)
F(xn)=1
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Fonction de répartition
VA continue
• Soit X VA continue
• Fonction de répartition de X :
u
u→F(u)= ∫ f(x)dx=Pr(X ≤u)
−∞
D’où,
b
F(b)−F(a)=∫ f(x)dx=Pr(a≤ X ≤b)
a
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Plan du cours
1. Variable aléatoire
1. Définition
2. Loi de probabilité et représentation
3. Fonction de répartition
4. Caractéristiques de position/dispersion
5. Opérations sur les variables aléatoires
2. Lois de probabilité usuelles
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On peut résumer une VA de façon plus
synthétique x par :
• Une caractéristique de position
Espérance mathématique
• Une caractéristique de dispersion
Variance et écart-type
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Espérance mathématique d’une VA
Espérance mathématique notée E(X)
• Soit X une VA discrète
n
E(X)=x1 f(x1)+ x2 f(x2)+...+ f(xn)=∑xi f(xi)
i=1
• Soit X une VA continue
+∞
E(X)= ∫ xf(x)dx
−∞
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Variance et écart-type d’une VA
Dispersion autour de l’espérance mathématique,
notée var(X) ou σ²
Var ( X ) = E [( X − µ )²]
• Si X une VA discrète
n
Var ( X ) = ∑ [xi − E ( X )]² f ( xi )
i =1
Var ( X ) = E ( X ²) − [E ( X )]²
n
Soit
Var ( X ) = ∑ xi2 f ( xi ) − µ ²
i =1
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Variance et écart-type d’une VA
• Si X une VA continue
Var ( X ) =
+∞
2
[
]
x
−
E
(
X
)
f ( x)dx
∫
−∞
Var ( X ) =
+∞
+∞
∫ x² f ( x)dx − ∫ (xf ( x)dx )
2
−∞
=E ( X ²) − [E ( X )]
2
−∞
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27/09/2013
Plan du cours
1. Variable aléatoire
1. Définition
2. Loi de probabilité et représentation
3. Fonction de répartition
4. Caractéristiques de position/dispersion
5. Opérations sur les variables aléatoires
2. Lois de probabilité usuelles
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x=
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∑x
i
n
Transformation de variable
Soit X une VA, a et b deux constantes
• Y=aX +b est une VA
• E(Y) = a.E(X) + b
• Var(Y)=a² Var(X)
Soit X VA, E(X)= µ et Var(X)=σ²
• Soit Z une VA centrée réduite
Z=
X −µ
σ
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E (Z ) = 0
Var ( Z ) = 1
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x=
∑x
i
Plusieurs VA
n
Soit X et Y deux VA
• E(X+Y)=E(X)+E(Y)
• Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y)
• cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)
• Si X et Y sont indépendantes, alors
E(XY)=E(X)E(Y)
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Plan du cours
1. Variable aléatoire
2. Lois (distribution) de probabilité usuelles
1. Lois discrètes
1.
Binomiale
2.
Poisson
2. Lois continues
1.
Normale ou Laplace-Gauss
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