Info 1 - en classe

INITIATION AU LOGICIEL Xcas INFO 1 SECONDE
EXERCICE 1 - Calculer une somme d’entiers consécutifs
On note N un entier supérieur à 1 .
Il s’agit de calculer la somme 1 + 2 + …. + N des entiers compris entre 1 à N .
•
On construit un algorithme dans un langage naturel :
ENTREE On choisit un entier naturel
N supérieur à 1 .
On initialise S sur la valeur 0
TRAITEMENT On répète pour k de 1 jusqu' à N
DES DONNEES l ' instruction suiva nte :
S est remplacé par S + k .
SORTIE On affiche la valeur de S
•
On écrit cet algorithme dans le langage de Xcas :
Question 1 : Exécuter l’algorithme pour calculer les sommes
A = 1 + 2 + 3 + … + 99 et B = 1 + 2 + 3 + … + 2009 .
EXERCICE 2 - Placement dans une banque
On place 1000 € dans une banque au taux annuel de 2 % .
Chaque année , le capital placé C augmente de 2% .
Il devient donc C + 0,02 C c’est-à-dire 1,02 C .
On voudrait connaître le nombre N d’années au bout desquelles
le capital disponible est strictement supérieur à 5000 € .
Un algorithme permet de traiter ce problème .

On l’écrit dans un langage naturel :
ENTREE On saisit le capital initial C
On initialise le nombre d'années N
sur la valeur 0
TRAITEMENT Tant que C est strictement inférieur à 5000
DES DONNEES on remplace C par 1,02 C
on remplace N par N 1
SORTIE On affiche les valeurs de N et de C
×
+
On l’écrit dans le langage de Xcas
Question 2 : Faire fonctionner l’algorithme et donner les valeurs de N et de C .
EXERCICE 3 - Résoudre une équation par une méthode de balayage -
On considère la fonction f définie sur
ℝ
par 3
f(x) = x + x 20
−
Sur la représentation graphique , on
peut admettre que cette fonction f
est croissante et que l’équation
f ( x ) = 0 admet une unique solution
α
comprise entre 2 et 3 .
On propose un algorithme où l’on
calcule f ( x ) pour des réels x qui avancent
à partir de 2 selon un pas régulier h et où l’on s’arrête dès que f ( x ) change
de signe ( en passant du négatif au positif ) .

Question 3 : Exécuter cet algorithme et donner un encadrement de la solution
α
.
EXERCICE 4 : Résoudre une équation par une méthode de dichotomie
L’algorithme précédent n’est pas très rapide .
On reprend l’étude de la fonction f définie sur
ℝ
par 3
f(x) = x + x 20
−
et de l’équation f( x ) = 0 par une méthode de dichotomie ( « division par 2 » ) .
On prend au départ un intervalle [ a ; b ] sur lequel on est sûr de trouver
la solution
α
de f ( x ) = 0 .
Le centre c de cet intervalle est donné par
a + b
c =
2
.
[
]
Si f ( c ) < 0 alors la solutio
n se trouve dans l'intervalle c ; b
.
Dans ce cas , on remplace a par c .
Sinon , la solution se trouve dans l'intervalle a ;
•
•
[ ]
c .
Dans ce cas , on remplace b par c .
En poursuivant ce procédé , on obtient un intervalle [ a ; b ] qui contient
la solution
α
et dont l’amplitude h est aussi faible qu’on veut .
Question 4 : Faire fonctionner l’algorithme et donner un encadrement
de la solution
α
.

EXERCICE 5 - A quoi sert l’algorithme suivant ?
Question 5 : Que calcule-t-on à partir du nombre a ?
RÉPONSES
Question 1 A = B =
Question 2 N =
4950 2 019 045
82 ans 5072.4 C
Question 3
0 €
2.591
≈
Question 4
( configuration de Xcas sans approx )
2.592
2653 1327
1024 512
2.590 8203125 2.5917968 7 5
≤ α ≤
≤ α ≤
≤ α ≤
2
Le compteur k prend les valeurs
( configuration de Xcas a
a , a+1 , a+2 .
L'algorithm
vec appro
e calcule
x )
Question 5
la somme S = a + ( a + 1
2 2
2 2 2
) + ( a + 2 ) .
Par exemple , en choisissant a =
5 , on obtient S = 5 + 6 + 7
c'est-à-dire S = 110 .