Devoir 6. Exercice 1. Lentille et miroir sphériques.

Devoir 6.
Exercice 1. Lentille et miroir sphériques.
Une lentille (L) mince divergente, de centre O et de foyers F et F’, se trouve placée devant un miroir (M)
sphérique concave de centre C à une distance a du sommet S de celui-ci. Le rayon du miroir est en
3
valeur absolue SC  R  a . La distance focale de la lentille est f’ = -a. La lentille et le miroir ont
2
même axe optique. On note FM le foyer du miroir.
1.
2.
En prenant a = 8,0 cm, compléter le document joint en positionnant le miroir et en indiquant
tous les points remarquables.
Tracer la marche du rayon lumineux incident représenté parallèle à l’axe optique.
Soit un point objet quelconque A placé sur l’axe optique. On note A’ son image par ce système
( L)
(M )
(L)
optique tel que : A 
 A1 
 A2 
 A' .
On recherche la relation de conjugaison pour ce système avec origine en S, sommet du miroir.
Pour cela on pose x  SA, x '  SA ' et on utilisera pour la lentille et le miroir les relations de
conjugaison avec origine aux foyers. On prendra garde au fait que pour la lentille la position
du foyer image est en F et non en F’ pour la lumière réfléchie par le miroir.

1 1
a2 
  K 1 
Montrer que la relation de conjugaison s’écrit sous la forme :
.
x' x
 xx ' 
Donner l’expression K en fonction de a.
Remarque : Si vous n’arrivez pas à déterminer la relation de conjugaison, poursuivez
l’exercice en admettant son expression et en exprimant les différents résultats qui vont suivre
en fonction de la constante K.
Déterminer la distance focale SFe' image de ce dispositif . On note Fe' le foyer principal
image de l’association lentille-miroir.
Tout système catadioptrique (système dioptrique terminé par un miroir (M) de centre C et de
sommet S) est équivalent à un miroir sphérique unique (M’) de centre C’ et de sommet S’
conjugués respectivement du centre C et du sommet S de (M) par rapport au système
dioptrique placé devant (M), dans le sens de la lumière réfléchie.
Déterminer OC ' et OS ' .
Déterminer la distance focale SFe du miroir équivalent.
w
w
3.
4.
m
o
c
.
b
e
w
Les mesures algébriques sont comptées positivement dans le sens de la lumière incidente.
k
.
w
a
l
o
h
Exercice 2. Réseau en régime transitoire.
Le circuit ci-dessus est alimenté par un générateur idéal de tension continue de force électromotrice E.
A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K.
m
o
1.
2.
3.
4.
5.
6.
8.
9.
a
l
o
h
Déterminer l’expression de l’intensité i du courant dans la résistance R à t = 0- et à t = 0+.
Déterminer l’expression de la tension s(t) à t = 0- et à t = 0+.
Commenter physiquement les réponses.
Déterminer également le comportement asymptotique de s(t) lorsque t tend vers l'infini.
Etablir l'équation différentielle vérifiée par s(t).
En déduire s(t).
Tracer l'allure de s(t).
s (t  0  )
Exprimer en fonction de L et R le temps to au bout duquel s (to ) 
.
10
En déduire une méthode expérimentale pour déterminer to à l'oscilloscope. On précisera le
montage électrique à réaliser et la mesure à effectuer concrètement.
On mesure expérimentalement : to = 3,0 µs. On donne : R = 1,0 kΩ. En déduire L.
On remplace le générateur continu par un générateur délivrant un signal périodique en
créneaux. Quel doit être l'ordre de grandeur de la fréquence du générateur pour qu'on puisse
effectivement mesurer to, en utilisant la méthode indiquée à la question 7, à l'oscilloscope ?
w
w
7.
c
.
b
e
w
k
.
w
Exercice 3. Structure de filtre dit à « variable d’état ».
Dans tout le problème les amplificateurs opérationnels sont idéaux.
1.
Pour chaque montage proposé ci-dessous donner la relation entre la tension d’entrée et la
tension de sortie
a. en régime variable (s(t), e(t)) ou (s(t), e1(t), e2(t), e3(t))
s
1
b. en régime sinusoïdal forcé H ( j )  ou s  f (e1 , e2 , e3 ) . On posera o 
.
e
RC
Remarque : on supposera que les amplificateurs opérationnels fonctionnent en régime linéaire.
2.
On considère maintenant le montage suivant:
m
o
c
.
b
e
w
a.
Donner l’équation différentielle reliant s(t) et e(t).
b.
s
Donner l’expression de la fonction de transfert H 4 ( j )  .
e
c.
Tracer le diagramme de Bode du gain GdB en fonction de log
k
.
w
a
l
o
h
Quelle est la nature de ce filtre ?

pour a = 2.
o
Pour changer aisément la fréquence propre fo = o/2, on peut utiliser une méthode qui consiste à
simuler une résistance variable en fonction d’une fréquence de commande fh : c’est la commutation
1
capacitive. On pose fh =
.On considère le dispositif de la figure suivante :
Th
w
w
Un commutateur électronique K, commandé au moyen d’une horloge de fréquence fh, permet de
connecter le condensateur de capacité Co alternativement aux tensions V1 et V2.
On suppose que la résistance r du commutateur est suffisamment faible pour que l’on puisse poser
Th >> r Co : c’est à dire que la charge ou décharge de Co est quasi instantanée.
2. Calculer la charge q1 du condensateur en position A1 et q2 en position A2.
Calculer la charge transférée de A1 vers A2 à chaque période Th de commutation.
En déduire le courant moyen qui passe de A1 vers A2.
3. En déduire que le dispositif simule une résistance Re dont on donnera l’expression.
On considère le dispositif de la figure suivante :
m
o
c
.
b
e
w
On suppose e(t) = Eo, constante.
A l’instant initial t = 0, le condensateur C étant supposé non chargé, l’interrupteur électronique
commence les séquences suivantes (avec p un entier) :
1
p Th < t < (p + ) Th
: K en position A1.
2
1
(p+ )Th < t < (p+1)Th
: K en position A2.
2
4. Calculer la tension s(t) pour t = Th, et pour t = pTh. Donner la valeur extrémale de s(t).
a
l
o
h
Exercice 4. Décrément logarithmique d'un oscillateur amorti.
k
.
w
Un ressort de longueur à vide lo, de constante de raideur k, est accroché en un point fixe A. A son
extrémité est accroché un mobile ponctuel de masse m. Le ressort oscille verticalement, la masse est


plongée dans une éprouvette remplie d'eau, et subit une force de frottement fluide linéaire f   v .
A la date t = 0, on abandonne le mobile sans vitesse initiale depuis la position verticale à laquelle le
ressort a sa longueur à vide. Cette position est prise comme origine O d’un axe Ox orienté verticalement
vers le bas.
w
w
1.
2.
3.
4.
Etablir l’équation différentielle vérifiée par la variable X  x  xe où x est la cote de la masse
m à la date t et xe celle à l’équilibre.
Donner la condition d'observation du régime pseudo-périodique.
Calculer la pseudo-période T et le décrément logarithmique défini comme le logarithme
népérien du rapport de l'amplitude des oscillations entre la date t et la date
t +T.
Montrer qu’il y a perte d’énergie mécanique et la déterminer de t = 0 à +.
Que devient cette énergie ?
Donner une allure du portrait de phase dans le plan de phase ( x, x ) .