October 15, 2009 ANNEAUX Contents 1. Anneaux 1 2. Anneaux

October 15, 2009
ANNEAUX
Contents
1. Anneaux 1
2. Anneaux commutatifs 3
Id´eaux 3
Morphismes 5
Anneaux de nombres 7
Anneaux de polynˆomes 9
Compl´ements 11
3. Arithm´etique des anneaux 13
Anneaux de polynˆomes 13
Anneaux d’entiers des extensions quadratiques de Q16
Compl´ements 19
1. Anneaux
Exercice 1.1. Soit Vle R-espace vectoriel de dimension trois V=R⊕R⊕R. Montrer
que (V, +,∧) n’est pas un anneau.
Exercice 1.2. Soient Eun ensemble et P(E) l’ensemble des parties de E. Pour A, B ∈
P(E) on d´efinit la diff´erence sym´etrique de Aet de Bpar
A4B=
def (A∪B)\(A∩B).
Montrer que (P(E),4,∩) est un anneau commutatif.
Exercice 1.3. Soit (S,+) le groupe ab´elien des suites (un)n≥0avec un∈Z.
1. Montrer que (Endgrp(S),+,◦) est un anneau.
2. Soit f:S → S l’application donn´ee par f(u0, u1, u2, u3, . . .) = (0, u0, u1, u2, . . .).
(a) Montrer que f∈Endgrp(S).
(b) Montrer qu’il existe f0∈Endgrp(S) tel que f0◦f= IdS.
(c) Montrer que f◦g6= IdSpour tout g∈Endgrp(S).
Exercice 1.4 (Quaternions r´eels).Soit Hle sous-ensemble de M2(C)
H=
def nα β
−¯ β¯α, α, β ∈Co.
1. Montrer que Hest un sous-anneau non commutatif de M2(C).
2. Montrer que tout ´el´ement non nul de Hest inversible.
3. Soient
i=i0
0−i,j=0 1 −1 0,k=0i i0∈H.
1

2 ANNEAUX
(a) Montrer que i2=j2=k2=−1et ij =−ji =k,jk =−kj =i,ki =−ik =j.
(b) Montrer que Hest un R-espace vectoriel et que (1,i,j,k) en est une base.
Exercice 1.5. Soient S, T ∈M4(Q) les matrices
S=
0−3 0 0
1000
000−3
0010
et T=
0 0 −1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0−100
.
1. Montrer que S2+ 3 = 0, T2+ 1 = 0, et ST =T−1S.
2. Soit D=Q[S, T ] le plus petit sous-anneau de M4(Q) contenant Q1, S, et T.
Montrer que Dest un sous-espace vectoriel de dimension 4 de M4(Q) et que
(1, S, T, ST ) en est une base.
3. Montrer que det(a+bS +cT +dST )=(a2+ 3b2)2+ (c2+ 3d2)2+ 6(ad +bc)2+
2(ac −3bd)2pour tous a, b, c, d ∈Q.
4. Montrer que tout ´el´ement non nul de Dest inversible.
Exercice 1.6. Soient Run anneau non nul et x∈Run ´el´ement nilpotent, c’est-`a-dire tel
qu’il existe n∈Ntel que xn= 0.
1. Montrer que 1 + x∈R×.
2. Soit u∈R×. Montrer que 1 + uxu−1∈R×.
3. Soit u∈R×tel que ux =xu. Montrer que u+x∈R×.
4. Soient X=0 1
0 0,U=1 0 1 1∈M2(Q). Montrer que Xest nilpotent, U∈GL2(Q),
et U+X6∈ GL2(Q).
Exercice 1.7. Soient Run anneau et Z(R) son centre
Z(R) =
def {z∈R| ∀x∈R, xz =zx}.
1. Montrer que Z(R) est un sous-anneau commutatif de R.
Soit Kun corps.
2. Soit S=na b 0
c d 0
0 0 e∈M3(K), a, b, c, d, e ∈Ko. Montrer que Sest un sous-anneau
de M3(K) et que Z(S) = na0 0
0a0
0 0 e∈M3(K), a, e ∈Ko.
3. Soit n≥1 entier. Montrer que ZMn(K)=KIno`u Inest la matrice identit´e de
Mn(K). (Consid´erer les matrices ´el´ementaires.)
Exercice 1.8. Soit ι:C→M2(R) l’application donn´ee par x+iy 7→ x−y
y x ,x, y ∈R.
Montrer que ιest un morphisme d’anneaux R-lin´eaire injectif.
Exercice 1.9. Soient R, S des anneaux non nuls et ϕ:R→Sun morphisme d’anneaux.
Montrer que ϕinduit un morphisme de groupes ϕ×:R×→S×.
Exercice 1.10. Soient Kun corps et n≥2 un entier. Pour a1, . . . , an∈Kon note
Diag(a1, . . . , an)∈Mn(K) la matrice (ai,j )1≤i,j≤ndonn´ee par ai,i =aiet ai,j = 0 si i6=j.
1. Montrer que l’application K×→GLn(K), a7→ Diag(a, 1,...,1) est un morphisme
de groupes injectif. Peut-on l’´etendre en un morphisme d’anneaux K→Mn(K) ?
2. Montrer que l’application K→Mn(K), a7→ Diag(a, . . . , a) est un morphisme
d’anneaux injectif.

ANNEAUX 3
2. Anneaux commutatifs
Id´eaux.
Exercice 2.1. Soient Aun anneau commutatif non nul.
1. Soit Iun id´eal de A. Montrer que I=Asi et seulement si 1 ∈I.
2. Soit a∈A. Montrer que (a) = Asi et seulement si a∈A×.
Exercice 2.2. Soit Aun anneau commutatif non nul. Montrer que Aest un corps si et
seulement si les seuls id´eaux de Asont (0) et A.
Exercice 2.3. Soient K, L des corps et A=K×L.
1. D´eterminer les id´eaux de l’anneau A.
2. Montrer que An’est pas un corps.
Exercice 2.4. Soient Kun corps et A=x y
0x∈M2(K), x, y ∈K.
1. Montrer que Aest un sous-anneau commutatif de M2(K).
2. D´eterminer A×.
3. Soient a, b ∈A\A×. Montrer que ab = 0.
4. D´eterminer les id´eaux de A.
Exercice 2.5. Soient Aun anneau commutatif non nul et a, b ∈A.
1. On suppose que (a) = (b). Montrer que a= 0 si et seulement si b= 0.
2. On suppose Aint`egre. Montrer que : (a)=(b)⇔ ∃ u∈A×tel que a=ub.
Exercice 2.6. Soit A=C([0,1],R) l’anneau des fonctions continues de [0,1] dans R.
1. Montrer que A×={f∈A| ∀x∈[0,1], f(x)6= 0}.
2. D´eterminer les ´el´ements nilpotents et les ´el´ements idempotents de A.
3. Montrer que An’est pas int`egre.
4. Soient Sun sous-ensemble non vide de [0,1] et I(S) = {f∈A| ∀x∈S, f (x) = 0}.
Montrer que I(S) est un id´eal de A.
5. Soient I=I([0,1
3]) et J=I([2 3,1]). D´eterminer IJ,I∩J, et I+J.
Exercice 2.7. Soient Aun anneau commutatif et I, J deux id´eaux de A. Montrer que :
I+J=A⇒IJ =I∩J.
Exercice 2.8. Soient Aun anneau commutatif et I, J deux id´eaux de A. Montrer que :
I+J=A⇒In+Jn=Apour tout entier n≥1. (Consid´erer (x+y)2navec x∈Iet
y∈Jtels que x+y= 1.)
Exercice 2.9 (Nilpotents).Soient Aun anneau commutatif et Nil(A) l’ensemble des
´el´ements nilpotents de A
Nil(A) =
def {a∈A| ∃n∈Ntel que an= 0}.
Montrer que Nil(A) est un id´eal de A.
Exercice 2.10. Soient Aun anneau commutatif et I, J, K des id´eaux de A.
1. Montrer que IJ +IK =I(J+K).
2. Montrer que (I∩J)+(I∩K)⊆I∩(J+K).
3. Montrer que : J⊆I⇒(I∩J)+(I∩K) = I∩(J+K).

4 ANNEAUX
4. Soient Fun corps, A=F[X, Y ], I= (X), J= (Y), et K= (X+Y). Montrer
que (I∩J)+(I∩K)=(X2, XY ) et I∩(J+K)=(X).
Exercice 2.11. Soient Aun anneau commutatif non nul, Sune partie multiplicativement
stable, et Iun id´eal de A. Montrer que S−1I=S−1Asi et seulement si I∩S6=∅.
Exercice 2.12. Soient Aun anneau commutatif non nul, Sune partie multiplicativement
stable, et I, J des id´eaux de A.
1. Montrer que S−1(I+J) = S−1I+S−1J.
2. Montrer que S−1(IJ)=(S−1I)(S−1J).
3. Montrer que S−1(I∩J) = S−1I∩S−1J.
Exercice 2.13. Soient Aun anneau commutatif et a∈A. Montrer que a∈A×si et
seulement si an’appartient `a aucun id´eal maximal de A.
Exercice 2.14. Soient Aun anneau commutatif et mun id´eal de A.
1. Montrer que A×⊆A\msi et seulement si m6=A.
2. On suppose que A\m=A×.
(a) Montrer que mest maximal.
(b) Montrer que mest l’unique id´eal maximal de A.
3. On suppose que mest l’unique id´eal maximal de A. Montrer que A\m=A×.
Exercice 2.15. Soient Aun anneau commutatif et pun id´eal premier de A. Soient n≥1
entier et I1, . . . , Indes id´eaux de Atels que I1. . . In⊆p. Montrer qu’il existe 1 ≤k≤n
tel que Ik⊆p.
Exercice 2.16. Soient Aun anneau commutatif int`egre et a, b ∈Aavec a6= 0. On
suppose que (a) est premier et que (a)⊆(b). Montrer que (a) = (b) ou (b) = A.
Exercice 2.17 (Aoˆut 2009).Soient Aun anneau commutatif, Iun id´eal de A,a∈A, et
(I:a) =
def {b∈A|ab ∈I}.
1. (a) Montrer que (I:a) est un id´eal de A.
(b) Montrer que I⊆(I:a).
(c) Montrer que si a∈A×alors (I:a) = I.
(d) Montrer que (I:a) = Asi et seulement si a∈I.
2. Soit pun id´eal premier de A. Montrer que {a∈A|(p:a)=p}=A\p.
Soient Sun sous-ensemble non vide de Aet
(I:S) =
def {b∈A| ∀a∈S, ab ∈I}.
3. (a) Montrer que (I:S) est un id´eal de A.
(b) Montrer que (I:S) = I: (S).
(c) Montrer que (I:A) = Iet (I:I) = A.
4. Soit Jun id´eal de A.
(a) Montrer que (I:J) = Asi et seulement si J⊆I.
(b) Soit pun id´eal premier de A. Montrer que (p:J) = psi et seulement si J6⊆ p.
(c) Soit mun id´eal maximal de A. Montrer que (p:m) = psi et seulement si
p6=m.

ANNEAUX 5
Morphismes.
Exercice 2.18. Soit f:A→Bun morphisme d’anneaux commutatifs non nuls. Montrer
que si Aest un corps alors fest injectif.
Exercice 2.19. Soit f:A→Bun morphisme d’anneaux commutatifs non nuls.
1. Montrer que Ker fn’est pas un sous-anneau de A.
2. Montrer que Im fest un id´eal de Bsi et seulement si fest surjective.
Exercice 2.20. Soient A, B des anneaux commutatifs, C, D des sous-anneaux de A, B
respectivement, et f:A→Bun morphisme d’anneaux.
1. Montrer que f(C) = {f(c), c ∈C}est un sous-anneau de B.
2. Montrer que f−1(D) = {a∈A|f(a)∈D}est un sous-anneau de A.
Exercice 2.21. Soient A, B, C des anneaux commutatifs et f:A→B,g:B→Cdes
morphismes d’anneaux.
1. Montrer que g◦fest un morphisme d’anneaux, que f−1(Ker g) est un id´eal de A,
et que Ker(g◦f) = f−1(Ker g), Im(g◦f) = g(Im f).
2. On suppose que Aest un sous-anneau de B. Soient ι:A →Bl’inclusion, Iun
id´eal de B, et π:B→B/I la projection. Montrer que A∩Iest un id´eal de Aet
que Ker(π◦ι) = A∩I, Im(π◦ι) = A/(A∩I).
Exercice 2.22. Soit Aun anneau commutatif non nul.
1. Montrer qu’il existe un unique morphisme d’anneaux νA:Z→A.
2. On suppose Aint`egre. Montrer que Ker νA= (0) ou pZavec ppremier.
Exercice 2.23. Soient n∈Z,√n∈Ctel que √n2=n, et Z[√n] le sous-anneau de C
engendr´e par √n. D´eterminer les morphismes d’anneaux Z[√n]→C.
Exercice 2.24. Soit f:R→Run morphisme d’anneau.
1. Montrer que la restriction de f`a Qest l’identit´e.
2. Soit x∈Rtel que x≥0. Montrer que f(x)≥0.
3. Montrer que fest croissante.
4. Montrer que f= IdR.
5. Soit ϕ:C→Cun morphisme d’anneau tel que ϕ(R)⊂R. Montrer que ϕ= IdC
ou ϕest la conjugaison complexe z7→ ¯z.
Exercice 2.25. Soient Aun anneau commutatif, Iun id´eal de A, et π:A→A/I le
morphisme de projection a7→ amod I,a∈A.
1. Montrer que πinduit une bijection croissante
{Id´eaux de Acontenant I}∼ −→ {Id´eaux de A/I}
J7−→ J/I.
2. Montrer que πinduit une bijection entre les id´eaux premiers de A/I et les id´eaux
premiers de Acontenant I.
3. Montrer que πinduit une bijection entre les id´eaux maximaux de A/I et les id´eaux
maximaux de Acontenant I.
Exercice 2.26. Soient f:A→Bun morphisme d’anneaux commutatifs et Jun id´eal
de B.