Examen du cours LMAI

Examen du cours LMAI
Master Informatique et T´el´ecommunications
Universit´e Paul Sabatier
(dur´ee : 2h)
Janvier 2009
1 Langage et repr´esentation des connaissances
Utiliser les op´erators modaux 21and 22, avec la lecture intuitive de 2iA
comme “agent icroit que A”, pour i∈ {1,2}.
1. Donner une lecture en langage naturel de la formule 21(p∧ ¬21p).
2. Pouvez-vous imaginer une situation o`u 21(p∧ ¬21p) est vrai ? (donner
des arguments)
3. Ecrire un schema d’axiome exprimant qu’agent 2 croit tout ce que croit
agent 1.
4. Expliquer la diff´erence entre une formule et un schema de formule `a l’aide
de la formule pr´ec´edente.
2 Semantique de K: satisfiabilit´e
1. Montrer que la formule A=¬21p∧¬21¬p∧21(22p∨22¬p) est satisfiable.
2. Trouver le plus petit mod`ele pour A(ayant le plus petit nombre de mondes
possibles).
3. Est-ce que M, u |=2221(22p∨22¬p) ? Si c’est le cas, modifier Mtel que
M, u 6|=2221(22p∨22¬p).
4. Donner une interpretation intuitive Aen termes de connaissance.
3 Semantique de K: cadres
1. Trouver des K-cadres hW, Ritels que
(a) hW, Ri |=p→3p
(b) hW, Ri |=21p→2121p
(c) hW, Ri |=21p→2223p
(d) hW, Ri |=2122p→2221p
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(e) Question suppl´ementaire : hW, Ri |=21(p→3p)
Essayer de trouver la plus grande classe de cadres o`u ces formules sont
valides.
2. Trouver une formule Atelle que pour tout K-cadre hW, Ri:hW, Ri |=A
ssi R1◦R1=∅
3. Question suppl´ementaire : Trouver une formule Atelle que pour tout K-
cadre hW, Ri:hW, Ri |=Assi card(R1(w)) ≤2 pour tout w∈W.
4 Logiques modales KT ,KT 4
1. Trouver un K-mod`ele pour 2(p∧ ¬2p).
2. Montrer que s’il existe un mod`ele avec une relation d’accessibilit´e transi-
tive (c.-`a-d. un K4-mod`ele) pour 2(p∧¬2p) alors la relation d’accessibilit´e
est vide : R(w) = ∅pour tout monde w.
3. Montrer que 2(p∧ ¬2p) est KD4-insatisfiable.
4. Montrer que 2(p∧ ¬2p) est KT -insatisfiable.
5 Logique de la connaissance S5n
Il y a deux agents Anne (a) et Ben (b). On tire deux nombres cons´ecutifs au
hasard, et on donne un nombre a Anne et l’autre a Ben. Anne a donc un papier
avec un nombre ai, et Ben a un papier avec un nombre bj, et chacun connait son
nombre, mais pas celui de l’autre. Utilisons un langage avec des atomes aiet bj,
o`u iet jsont des entiers naturels. aisignifie “Anne a le nombre i” et bjsignifie
“Anne a le nombre j”, et identifions un monde possible avec le couple hai, bji,
que nous abbr´evions i.j ; par exemple le monde ha14, b15 isera ´ecrit 14.13. Soit
3.2 le monde actuel.
1. Quelles sont les mondes possibles pour Anne ? pour Ben ?
2. Dans le monde 3.4, quelles sont les mondes possibles pour a? pour b?
3. Dessiner le mod`ele Mpour cette situation.
4. Montrer que
–M, (3.2) |=Kaa3
–M, (3.2) |=¬Kab2∧ ¬Ka¬b2
–M, (3.2) |=Ka¬Kba3
–M, (3.2) |=¬KaKba3∧ ¬KaKb¬a3
5. Est-ce que M, (3.2) |=CKa,b (¬a10 ∧ ¬b10) ? (argumenter)
6. Est-ce qu’il existe un itel qu’il est connaissance commune entre Anne et
Ben que leurs nombres sont inf´erieurs `a i? (argumenter)
7. Quel est le mod`ele M¬b4!r´esultant de l’annonce publique de ¬b4en M?
8. Montrer en utilisant les axiomes de la logique des annonces publiques que
–`P AL Ka(b2∨b4)→[¬b4!]Kab2
–`P AL (Kb¬b4∧ ¬Kba3)→[¬b4!]¬Kba3
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