Examen du cours LMAI Master Informatique et Télécommunications Université Paul Sabatier (durée : 2h) Janvier 2009 1 Langage et représentation des connaissances Utiliser les opérators modaux 21 and 22 , avec la lecture intuitive de 2i A comme “agent i croit que A”, pour i ∈ {1, 2}. 1. Donner une lecture en langage naturel de la formule 21 (p ∧ ¬21 p). 2. Pouvez-vous imaginer une situation où 21 (p ∧ ¬21 p) est vrai ? (donner des arguments) 3. Ecrire un schema d’axiome exprimant qu’agent 2 croit tout ce que croit agent 1. 4. Expliquer la différence entre une formule et un schema de formule à l’aide de la formule précédente. 2 Semantique de K : satisfiabilité 1. Montrer que la formule A = ¬21 p∧¬21 ¬p∧21 (22 p∨22 ¬p) est satisfiable. 2. Trouver le plus petit modèle pour A (ayant le plus petit nombre de mondes possibles). 3. Est-ce que M, u |= 22 21 (22 p ∨ 22 ¬p) ? Si c’est le cas, modifier M tel que M, u 6|= 22 21 (22 p ∨ 22 ¬p). 4. Donner une interpretation intuitive A en termes de connaissance. 3 Semantique de K : cadres 1. Trouver des K-cadres hW, Ri tels que (a) hW, Ri |= p → 3p (b) hW, Ri |= 21 p → 21 21 p (c) hW, Ri |= 21 p → 22 23 p (d) hW, Ri |= 21 22 p → 22 21 p 1 (e) Question supplémentaire : hW, Ri |= 21 (p → 3p) Essayer de trouver la plus grande classe de cadres où ces formules sont valides. 2. Trouver une formule A telle que pour tout K-cadre hW, Ri : hW, Ri |= A ssi R1 ◦ R1 = ∅ 3. Question supplémentaire : Trouver une formule A telle que pour tout Kcadre hW, Ri : hW, Ri |= A ssi card(R1 (w)) ≤ 2 pour tout w ∈ W . 4 Logiques modales KT , KT 4 1. Trouver un K-modèle pour 2(p ∧ ¬2p). 2. Montrer que s’il existe un modèle avec une relation d’accessibilité transitive (c.-à-d. un K4-modèle) pour 2(p∧¬2p) alors la relation d’accessibilité est vide : R(w) = ∅ pour tout monde w. 3. Montrer que 2(p ∧ ¬2p) est KD4-insatisfiable. 4. Montrer que 2(p ∧ ¬2p) est KT -insatisfiable. 5 Logique de la connaissance S5n Il y a deux agents Anne (a) et Ben (b). On tire deux nombres consécutifs au hasard, et on donne un nombre a Anne et l’autre a Ben. Anne a donc un papier avec un nombre ai , et Ben a un papier avec un nombre bj , et chacun connait son nombre, mais pas celui de l’autre. Utilisons un langage avec des atomes ai et bj , où i et j sont des entiers naturels. ai signifie “Anne a le nombre i” et bj signifie “Anne a le nombre j”, et identifions un monde possible avec le couple hai , bj i, que nous abbrévions i.j ; par exemple le monde ha14 , b15 i sera écrit 14.13. Soit 3.2 le monde actuel. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Quelles sont les mondes possibles pour Anne ? pour Ben ? Dans le monde 3.4, quelles sont les mondes possibles pour a ? pour b ? Dessiner le modèle M pour cette situation. Montrer que – M, (3.2) |= Ka a3 – M, (3.2) |= ¬Ka b2 ∧ ¬Ka ¬b2 – M, (3.2) |= Ka ¬Kb a3 – M, (3.2) |= ¬Ka Kb a3 ∧ ¬Ka Kb ¬a3 Est-ce que M, (3.2) |= CKa,b (¬a10 ∧ ¬b10 ) ? (argumenter) Est-ce qu’il existe un i tel qu’il est connaissance commune entre Anne et Ben que leurs nombres sont inférieurs à i ? (argumenter) Quel est le modèle M ¬b4 ! résultant de l’annonce publique de ¬b4 en M ? Montrer en utilisant les axiomes de la logique des annonces publiques que – `P AL Ka (b2 ∨ b4 ) → [¬b4 !]Ka b2 – `P AL (Kb ¬b4 ∧ ¬Kb a3 ) → [¬b4 !]¬Kb a3 2