Mathématiques pour la Mécanique - La Mécanique à l`Université de

Mathématiques pour la Mécanique
Daniel Choï 1
LMNO
Groupe Mécanique Modélisation Mathématique et Numérique
Université de Caen, Bld Maréchal Juin, 14032 Caen Cedex, France
Version Novembre 2008
1[email protected]

Mathématiques pour la Mécanique
Avertissement
Ce document est inspiré d’un cours enseigné par l’auteur à l’Université
de Caen en Licence de Mécanique et de divers manuels de Mathématiques
tels que [Rud95], [Car85], [Sch67], [Que64], [Dix76]. Il était anciennement
intitulé Mathématiques pour la Licence de Mécanique. Initialement destiné
aux étudiants en Mécanique, nous espérons cependant qu’il puisse être utile
aux élèves ingénieurs par la généralité des thèmes abordés.
Il s’agit principalement de définir les bases mathématiques nécessaires
à la modélisation, l’analyse avant même l’éventuelle résolution (essentielle-
ment numérique) d’un problème en mécanique.
Ainsi, nous avons identifiés les notions d’algèbre linéaire, de calcul dif-
férentiel, de calcul intégral, de la résolution de systèmes différentiels ordi-
naires, comme bases indispensables à maîtriser pour tout étudiant en méca-
nique ou en sciences de l’ingénieur.
Viennent ensuite diverses notions comme la théorie des fonctions d’une
variable complexe qui vont essentiellement servir à la recherche de solutions
analytiques au niveau L3 ou qui pourront avoir un rôle plus large et théorique
au niveau Master. La théorie de l’intégrale de Lebesgue, base de l’analyse
fonctionnelle, est fondamentale pour justifier sur un plan mathématique toute
la modélisation en Mécanique des milieux continus et notamment la justi-
fication d’un problème bien posé. Elle permet également de bien définir la
transformation de Fourier qu’on retrouve à peu près partout en Mécanique.
Mais il n’est pas nécessaire pour un étudiant en Mécanique ou à un élève
ingénieur de la maîtriser : on se contentera de présenter les résultats les plus
important en ce qui nous concerne. Vient ensuite la théorie des distributions,
permettant de représenter notamment les cas de des charges ponctuelles don-
nant un sens généralisé à la notion de dérivée. Nous terminons par une très
courte introduction à l’analyse fonctionnelle en présentant les espaces de Hil-
bert et en particulier les espaces de Sobolev donnant le cadre théorique des
problèmes bien posé et au delà de la théorie, les bases de la méthode des
éléments-finis, omniprésent dans la résolution numériques des problèmes is-
sus de la mécanique.
Ce Document est encore et toujours incomplet, il manque un certain
nombre de résultats, ne contient pratiquement pas démonstrations et surtout
ce document manque cruellement d’exemples : il ne se substitue en aucune
façon à un vrai cours de Mathématiques.
Il est possible (probable) qu’il contienne des erreurs, même grave. Toutes
contributions suggestions ou commentaires sont les bienvenus : envoyez moi
un email à [email protected]
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Daniel Choï 2003- 1Université de Caen

Mathématiques pour la Mécanique
Table des matières
Conventions et notations 7
Notations ..................................... 7
Convention de sommation suivant les indices répétés .............. 7
Notation des dérivées partielles .......................... 8
Indices et exposant Grecs ou Latins ........................ 9
1 Algèbre linéaire : Espaces vectoriels et applications linéaires 10
1.1 Espaces vectoriels .............................. 10
1.1.1 Espace vectoriel : une présentation intuitive ............ 10
1.1.2 Exemples d’espace vectoriel .................... 11
1.1.3 Espace vectoriel : la définition ................... 11
1.1.4 Sous-espace vectoriel ........................ 12
1.1.5 Indépendance linéaire : vecteurs libres, vecteurs liés ....... 13
1.1.6 Produit d’espaces vectoriels .................... 13
1.1.7 Cas des espaces nt des espaces vectoriels réels de dimension finie 14
1.2 Application linéaire ............................. 15
1.2.1 Opérateurs linéaires ........................ 15
1.2.2 Quelques exemples d’espaces vectoriels et d’applications liné-
aires ................................ 17
1.3 Matrice d’une application linéaire ..................... 17
1.3.1 Bijection entre L(X, )et X.................. 19
1.3.2 Norme d’une application linéaire .................. 19
1.3.3 Produit de deux matrices et composition de deux applications li-
néaires ............................... 20
1.3.4 Changement de bases et Matrices de passage ........... 21
1.4 Cas des opérateurs linéaires – Matrices carrés ............... 22
1.4.1 Adjoint d’un opérateur linéaire ................... 22
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Daniel Choï 2003- 2Université de Caen

Mathématiques pour la Mécanique
1.4.2 Partie symétrique et antisymétrique d’un opérateur linéaire de n23
1.5 Déterminant ................................. 23
1.5.1 Déterminant de nvecteurs de n................. 23
1.5.2 Déterminant d’une matrice carré – Déterminant d’un opérateur
linéaire ............................... 24
1.5.3 Règles de calcul d’un déterminant – Développement suivant une
ligne ou une colonne ........................ 25
1.6 Éléments de théorie spectrale ........................ 26
1.6.1 Spectre d’un opérateur linéaire ................... 26
1.6.2 Réduction d’un opérateur linéaire ................. 27
1.6.3 Cas des matrices symétriques définies positives .......... 28
1.7 Annexe : quelques preuves ......................... 29
1.7.1 Preuve du théorème 1.2.4 ...................... 29
1.7.2 Preuve du théorème 1.2.8 ...................... 30
1.7.3 Preuve de la proposition 1.3.4 ................... 30
2 Calcul différentiel 31
2.1 Éléments de topologie métrique ...................... 31
2.2 Fonctions continues de plusieurs variables ................. 33
2.3 Fonction différentiable – Application dérivée ............... 33
2.3.1 Cas des fonctions réelles définie sur un intervalle réel ....... 33
2.3.2 Cas général ............................. 34
2.3.3 Matrice Jacobienne et dérivées partielles .............. 37
2.4 Gradient, divergence, rotationnel ...................... 38
2.4.1 Gradient ............................... 38
2.4.2 Divergence ............................. 38
2.4.3 Rotationnel ............................. 39
2.4.4 Quelques remarques et propriétés des opérateurs différentiels . . . 39
2.5 Dérivation le long d’une courbe – Dérivation partielle dans une direction . 40
2.6 Fonction dérivée .............................. 41
2.7 Dérivée seconde ............................... 41
2.8 Principaux théorèmes sur les fonctions de plusieurs variables ....... 42
2.9 Formule de Taylor .............................. 42
2.10 Extrema d’une fonction réelle ....................... 43
2.11 Coordonnées cylindriques et sphériques .................. 43
2.11.1 Expressions en coordonnées Cylindriques ............. 43
2.11.2 Expressions en coordonnées sphériques .............. 46
3 Intégrale de Riemann 47
3.1 Définition de l’intégrale de Riemann .................... 47
3.2 Principales propriétés ............................ 48
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Daniel Choï 2003- 3Université de Caen

Mathématiques pour la Mécanique
3.3 Intégration et dérivation ........................... 49
3.4 Formule intégrale de Taylor ......................... 49
3.5 Intégrale sur un contour ........................... 49
3.6 Intégrale sur un pavé de n......................... 50
3.7 Intégrale multiple – Formule de Jacobi ................... 50
4 Théorème de Stokes et Formule de la divergence 52
4.1 Formes différentielles ............................ 52
4.2 Différentielle d’une forme différentielle .................. 54
4.3 Théorème de Stokes – Formule de la divergence .............. 54
4.4 Formule de la divergence : définition .................... 55
4.4.1 Cas où Ωest un domaine de ................... 55
4.4.2 Cas où Ωest un domaine de 2.................. 55
4.4.3 Cas où Ωest un domaine de 3.................. 56
4.4.4 Formules de Stokes ......................... 57
4.4.5 Formules de Green ......................... 57
5 Calcul différentiel sur un tenseur d’ordre 2 59
5.1 Tenseur d’ordre 2 .............................. 59
5.2 Gradient d’un tenseur d’ordre 2 ....................... 60
5.3 Divergence d’un tenseur d’ordre 2 ..................... 60
5.4 Tenseur en coordonnées cylindriques .................... 61
5.5 Tenseur en coordonnées sphériques ..................... 63
6 Systèmes différentiels ordinaires 64
7 Fonction d’une variable complexe 65
7.1 Nombres Complexes ............................ 65
7.2 Fonctions holomorphes ........................... 67
7.2.1 Fonctions holomorphes ....................... 67
7.2.2 Conditions de Cauchy-Riemann .................. 68
7.3 Suite et Séries de nombres complexes ................... 68
7.4 Divers .................................... 69
7.4.1 Fonctions exponentielle et trigonométrique ............ 69
7.5 Intégrales complexes ............................ 70
7.5.1 Formule intégrale de Cauchy .................... 70
7.5.2 Série de Laurent .......................... 72
7.5.3 Théorèmes des résidus ....................... 73
7.5.4 Classification des Pôles singuliers ................. 73
7.5.5 Représentation conforme ...................... 74
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