Relations métriques synthèse - TeleLearning-PDS

Les relations métriques
Tome 1, Réflexion 3
Théorèmes sur les triangles
Théorème
Énoncé
Figure
Conclusion
Théorème de la
bissectrice
Dans tout triangle, la
bissectrice d’un angle
divise le côté opposé en
deux segments de
longueurs proportion-
nelles à celles des cô-
tés adjacents.
B
C
A
D
c
a
b
d
€
b
c=d a
Théorème de la
hauteur relative à
l’hypoténuse
Dans un triangle rec-
tangle, la hauteur issue
de l’angle droit est
moyenne proportinnelle
entre les mesures des
deux segments qu’elle
détermine sur l’hypoté-
nuse.
A
B
C
D
y
x
h
€
x
h=h y
h2=xy
Théorème du
produit des
cathètes
Dans un triangle rec-
tangle, le produit des
cathètes est égal au
produit de l’hypoténuse
et de la hauteur issue
de l’angle droit.
A
B
C
D
y
x
h
a
€
ha =xy
Théorème des
projections sur
l’hypoténuse
Dans un triangle rec-
tangle, chaque cathète
est moyenne propor-
tionnelle entre la
longueur de sa projec-
tion sur l’hypoténuse et
l’hypoténuse entière.
A
B
C
D
y
x
h
a
d2
d1
€
d1
x=x a
x2=a⋅d1
d2
y=y a
y2=a⋅d2

Théorèmes sur les cercles (distances)
Théorème
Énoncé
Figure
Conclusion
Théorème des pro-
duits constants
Si deux cordes se
coupent dans un
cercle, le produit des
mesures des deux
segments de l’une
égale le produit des
deux segments de
l’autre.
P
A
B
C
D
€
mPA ⋅mPB =mPC ⋅mPD
Si d’un point P exté-
rieur au cercle, on
mène deux seg-
ments sécants, le
produit des mesures
du segment sécant
et de la partie exté-
rieure est égale au
produit des mesures
du second segment
sécant et de sa par-
tie extérieure.
P
A
B
C
D
€
mPA ⋅mPC =mPB ⋅mPD
Si d’un point P exté-
rieur au cercle, on
mène deux seg-
ments tangent et un
sécant, la mesure du
segment tangent est
moyenne proportion-
nelle entre la mesure
du segment sécant
et de la partie exté-
rieure.
P
A
B
C
€
mPA2=mPC ⋅mPB

Théorèmes sur les cercles (angles)
Théorème
Énoncé
Figure
Conclusion
Angle au centre
La mesure d’un an-
gle au centre du cer-
cle égale celle de
l’arc qu’il sous-tend.
O
A
B
€
∠AOB =mAB
Angle dans le cercle
La mesure d’un an-
gle dont le sommet
est à l’intérieur du
cercle égale la demi-
somme des mesures
des arcs compris en-
tre ses côtés.
P
A
B
C
D
€
∠APB =mAB +mCD
2
Angle inscrit
La mesure d’un an-
gle inscrit sur le cer-
cle égale la moitié de
celle de l’arc qu’il
sous-tend.
P
A
B
€
∠APB =1
2
mAB
Angle à l’extérieur
La mesure d’un an-
gle dont le sommet
est à l’extérieur du
cercle égale la demi-
différence des me-
sures des arcs com-
pris entre ses côtés.
P
A
B
C
D
€
∠APB =mAB −mCD
2

Théorèmes sur les cercles (cordes)
Théorème
Énoncé
Figure
Conclusion
Théorème de l’angle
droit
Tout angle inscrit sur
un cercle qui
soutend un diamètre
forme un angle droit.
A
B
O
C
D
Si AB est un
diamètre, alors:
ACB = ADB = 90°
Théorème du
diamètre perpendicu-
laire à une corde
Dans un cercle, tout
diamètre perpendicu-
laire à une corde
partage cette corde
en deux segments
congrus.
A
B
O
C
D
E
Si le diamètre
AB CD, alors:
mCE = mED
Théorème de la tan-
gente au rayon
Tout rayon d’un cer-
cle aboutissant au
point de tangence
est perpendiculaire à
cette tangente.
B
O
P
A
Si AB est tangent au
cercle au point P, al-
ors:
AB OP
(OP est un rayon)
Théorème des
cordes congrues
Dans un cercle, deux
cordes sont con-
grues si elles sont à
égale distance du
centre.
B
O
C
A
D
E
F
Si mOB = mOE, al-
ors:
mAC = mDF
Théorème des arcs
congrus
Dans un cercle, deux
arcs sont congrus si
ils sont sous-tendus
par des cordes con-
grues.
B
O
C
A
D
Si mAB = mCD, al-
ors:
arcAB = arcCD
Deux parallèles sé-
cantes ou tangentes
à un cercle intercep-
tent des arcs con-
grus.
B
O
C
A
D
d1
d2
Si d1 // d2, alors:
arcAD = arcBC
Théorème des arcs
entre segments par-
allèles