Espaces préhilbertiens réels.

Chapitre 8
Espaces préhilbertiens réels.
I. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1/
2/
3/
4/
5/
6/
Espace préhilbertien-réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Exemples de références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
L’inégalité de Cauchy-Schwarz.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Identités de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Identité du parallélogramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II. Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1/
2/
3/
4/
5/
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Familles orthogonales, familles orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Le théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Somme directe orthogonale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Représentation des formes linéaires à l’aide du produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . 8
III. Projections et symétries orthogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1/ Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2/ Comment trouver l’image par une projection ou symétrie ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
3/ Théorème de projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV. Espaces vectoriels euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1/
2/
3/
4/
Composantes d’un vecteur dans une BON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Expression du produit scalaire scalaire dans une BON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
Chapitre 8
Espaces préhilbertiens réels.
I. Produit scalaire
I.1/ Espace préhilbertien-réel
Définition.
1. On appelle produit scalaire euclidien (pse) sur un espace R-espace vectoriel, toute application φ
de E × E dans R vérifiant :
1) φ est bilinéaire.
2) φ est symétrique : ∀x, y ∈ E, φ(x, y) = φ(y, x).
3) φ est positive : ∀x ∈ E, φ(x, x) ≥ 0.
4) φ est définie positive : φ(x, x) = 0 Ô⇒ x = 0.
2. On appelle espace préhilbertien réel, tout couple (E, <, >) où E est un R-espace vectoriel et <, >
un pse sur E
3. On appelle espace vectoriel euclidien (eve), un espace préhilbertien réel de dimension finie.
Remarques.
1) On note souvent les pse : < x, y >, (x/y) ou x.y.
2) φ positive ne signifie pas ∀x, y ∈ E, φ(x, y) ≥ 0
3) Un produit scalaire est bilinéaire, mais pas linéaire puisque pour tout λ de R et x, y dans E :
φ(λ.(x, y)) = φ(λ.x, λ.y) = λ2 .φ(x, y)
4) Le pse se comporte comme un produit, il faut donc savoir développer une somme. Par exemple :
<a+b, c+d> = <a, c>+<a, d>+<b, c>+<b, d>
I.2/ Exemples de références
1
Exemple. Rn muni du pse :
< x, y > = x1 .y1 + . . . + xn .yn
avec x = (x1 , . . . , xn ) et x = (y1 , . . . , yn ), est un eve.
2
Exemple. Mpq (R) muni du pse :
2
p
q
< A, B > = ∑ ∑ aij bij = tr( tAB)
i=1 j=1
est un eve.
Exemple. C([a, b], R) muni du pse :
3
< f, g > = ∫
b
a
f (x)g(x)dx
est un préhilbertien réel.
4
Exemple. R∣X] muni d’un pse du type :
< P, Q > = ∫
b
a
P (x)Q(x)dx
avec a et b dans R tels que a < b, est un préhilbertien réel.
I.3/ L’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Théorème. Soit (E, <, >) un espace préhilbertien réel, alors pour tous x et y dans E :
5
1. ⟨x, y⟩2 ≤ ⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩,
2. Il y a égalité ssi x et y sont liés.
Remarques.
1. L’inégalité de CS, sans le cas d’égalité, reste valable si <, > est seulement une fbsp.
2. Le cas d’égalité nécessite le caractère définie.
Exemples. Voici la traduction du théorème de Cauchy-Schwarz dans les préhilbertiens réels classiques :
¿
¿
n
n
Á
Án 2
À∑ x2 Á
˷ y
1 Dans Rn ,
∣∑ xi .yi ∣ ≤ Á
i
i=1
2 Dans Mn (R),
i=1
∣tr( tAB)∣ ≤
3 Dans C([a, b], R), ∣∫
a
b
i
i=1
√
√
tr( tAA) tr( tBB)
√
f (x)g(x)dx∣ ≤
3
b
∫
a
√
f 2 (x)dx
b
∫
a
g 2 (x)dx
I.4/ Norme euclidienne
Définition. Une norme sur un R-ev est une application N de E dans R+ vérifiant pour tous x et y de
E, et tout λ de R :
1) N (x) = 0 ⇐⇒ x = 0,
2) N (λ.x) = ∣λ∣.N (x),
3) N (x + y) ≤ N (x) + N (y)
(Inégalité triangulaire).
Théorème - définition. Soit (E, <, >) est un préhilbertien réel.
6
1. On peut associer à ce produit scalaire une norme ∥ ∥, dite norme euclidienne, par ∥x∥ =
pour tout x de E.
√
< x, x >
2. De plus on contrôle également le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire :
∀x, y ∈ E,
∥x + y∥ = ∥x∥ + ∥y∥
⇐⇒
∃λ ∈ R+ , y = λx ou x = λy
Remarques.
1. Avec les notations de la norme euclidienne, l’inégalité de Cauchy-Schwarz devient :
∀x, y ∈ E, ∣⟨x, y⟩∣ ≤ ∥x∥.∥y∥
2. Comme dans tout evn, on a donc une distance associée à la norme euclidienne, c’est la distance
euclidienne :
∀x ∈ E, d(x, y) = ∥x − y∥
puis une topologie associée à la distance, c’est la topologie euclidienne :
O est un ouvert de E
⇐⇒
∀x ∈ O, ∃r ∈ R∗+ , B(x, r) ⊂ O
3. On rappelle que :
{Esp. préhilbertiens} ⊂ {Esp. normée} ⊂ {Esp. métriques} ⊂ {Esp. topologiques}
4
I.5/ Identités de polarisation
7
Propriété. Il existe certaines relations entre le produit scalaire et la norme euclidienne. Pour tous x
et y de E, on a :
1. ∥x + y∥2 = ∥y∥2 + ∥x∥2 + 2 < x, y >
1
(∥x + y∥2 − ∥y∥2 − ∥x∥2 )
2. < x, y > =
2
1
(∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 )
3. < x, y > =
4
Intérêt. Ceci permet, à partir d’une norme euclidienne de retrouver le produit scalaire.
8
Exercice.
1. Montrer que la valeur absolue sur R est une norme euclidienne, déterminer le ps associé.
2. Montrer que le module sur le R-ev C est une norme euclidienne, déterminer le ps associé.
I.6/ Identité du parallélogramme.
Théorème. Si ∥ ∥ est une norme euclidienne alors :
9
∀x, y ∈ E, ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2∥x∥2 + 2∥y∥2
10
Exercice.
si p = 2.
Soit p dans R∗+ ∪ {+∞}. Montrer que dans Rn la norme ∥ ∥p est euclidienne si et seulement
5
II. Orthogonalité
II.1/ Définition
Définition. Soit (E, <, >) un préhilbertien. Soient x, y dans E et A, B des sous ensembles de E.
1. x et y sont othogonaux (x ⊥ y) ssi : < x, y >= 0
2. x et A sont othogonaux (x ⊥ A ou A ⊥ x) ssi : ∀a ∈ A, < x, a >= 0
3. A et B sont othogonaux (A ⊥ B) ssi : ∀ a ∈ A, b ∈ B, < a, b >= 0
4. Soit A une partie de E, on appelle orthogonale de A (A⊥ ), l’ensemble des vecteurs orthogonaux à
tous les vecteurs de A :
A⊥ = { x ∈ E / ∀a ∈ A, ⟨a, x⟩ = 0 }
11
Propriétés.
Soit A et B des parties quelconques de E
⊥
1. A est un sous-espace vectoriel de E.
2. A ⊥ A⊥ et donc A ⊂ (A⊥ )⊥ .
3. A ⊂ B Ô⇒ B ⊥ ⊂ A⊥ .
4. A⊥ = (V ect(A))⊥
5. ∅⊥ = {0}⊥ = E, E ⊥ = {0}
Exercice. On identifie polynôme et fonction polynôme, on peut donc supposer R[X] sev de C 0 ([a, b], R).
12
1. En utilisant que toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de polynômes, montrer
que R[X]⊥ = {0}.
2. En déduire que l’on peut trouver F sev d’un R-ev E tels que E ≠ F ⊕ F ⊥ .
3. En déduire que l’on peut trouver F sev d’un R-ev E tels que (F ⊥ )⊥ ≠ F .
II.2/ Familles orthogonales, familles orthonormales
Définition.
1. La famille (x1 , . . . , xn ) est dite orthogonale si et seulement si xi ⊥ xj pour tous i et j différents
dans {1, . . . , n}. On note x1 ⊥ x2 ⊥ . . . ⊥ xn .
2. La famille (x1 , . . . , xn ) est dite orthonormale si et seulement si la famille est orthogonale et si
tous les vecteurs ont une norme de 1. En d’autres termes, pour tous i et j de {1, . . . , n} :
< xi , xj > = δij = {
6
0 si i ≠ j
1 si i = j
13
Propriétés.
1. Toute famille orthonormale est libre.
2. Toute famille orthogonale ne présentant pas le vecteur nul, est libre.
14
La base canonique de (Rn , <, >) est une base othonormale.
15
La base (Ei,j )ij est une base orthonormale de Mpq (R).
16
Notons E = C2π (R, R) l’ensemble des fonctions continues 2π périodiques de R dans R.
Exercice.
Exercice.
Exercice.
Posons
< f, g >=
2π
1
∫ f (t)g(t)dt
2π 0
1. Montrer que <, > est un pse sur E.
2. Pour tout n de N, notons cn et sn les applications définies par cn (x) = cos(nx) et sn (x) = sin(nx).
Montrer pour tout n de N que la famille suivante est orthogonale :
(c0 , c1 , . . . , cn , s0 , s1 , . . . , sn )
3. Expliquer pourquoi cette famille n’est pas libre. Quelle sous famille faut-il prendre pour qu’elle
soit libre ?
17
Exercice.
Pour des polynômes P et Q à coefficients dans R, on note :
⟨P, Q⟩ = ∫
1
−1
P (t)Q(t)
√
dx
1 − x2
1. Montrer que l’intégrale précédente converge pour tous polynômes P et Q.
2. Montrer que ⟨, ⟩ est un pse sur R[X]
3. Pour tout n de N, notons Tn le nième polynôme de Tchebitchev, c’est-à-dire l’unique polynôme
vérifiant Tn (cos(x)) = cos(nx) pour tout x de R. Montrer que la famille (T0 , T1 , . . . , Tn ) est une
famille orthogonale de R[X].
II.3/ Le théorème de Pythagore
18
Théorème - Pythagore.
Soit (E, <, >) un préhilbertien.
1. Si x1 ⊥ x2 alors ∥x1 + x2 ∥2 = ∥x1 ∥2 + ∥x2 ∥2 .
2. Si x1 ⊥ x2 ⊥ . . . ⊥ xn alors ∥x1 + x2 + . . . + xn ∥2 = ∥x1 ∥2 + ∥x2 ∥2 + . . . + ∥xn ∥2 .
Remarque. La réciproque du point 1 est vraie. La réciproque du point 2 est fausse pour n ≥ 3. On
peut le vérifier en prenant par exemple les vecteurs (1, 1), (0, −1) et (1, 0).
7
II.4/ Somme directe orthogonale.
19
Propriété.
Soient F et G des sev de E, alors :
F ⊥ G Ô⇒ F ⊕ G
⊥
Définition. Lorsque deux sev F et G sont orthogonaux, on note F ⊕ G pour penser que cela signifie
F ⊥ G mais aussi F ⊕ G.
⊥
Méthode - Comment montrer que E = F ⊕ G ?.
1. On montre que F ⊥ G
2. Connait-on les dimensions de E, F et G ?
● Si oui, on vérifie que dim(F ⊕ G) = dim(E) et on conclut,
● Si non, on montre que E = F + G
20
Exercice.
21
Exercice.
⊥
Montrer que : Mn (R) = Sn (R) ⊕ An (R).
Soit a dans R∗+ . Montrer que :
⊥
C 0 ([−a, a], R) = P([−a; a], R) ⊕ I([−a; a], R)
avec P([−a; a], R) et I([−a; a], R) les R-ev des fonctions continues paires et impaires de [−a; a] dans R.
II.5/ Représentation des formes linéaires à l’aide du produit scalaire.
22
Théorème de représentation de Reisz.
Soit E un eve (donc de DF)
1. Pour toute FL φ sur E, il existe a dans E tel que :
∀x ∈ E, φ(x) = ⟨a, x⟩
Ainsi les FL sont exactement les applications x ↦ ⟨a, x⟩ pour a dans E.
2. Pour tout hyperplan H de E, il existe a dans E tel que :
x ∈ H ⇐⇒ < x, a >= 0
En particulier, a est un vecteur normal de H.
3. Dans une BON, l’équation d’un hyperplan est de la forme :
a1 x1 + . . . + an xn = 0
avec (a1 , . . . , an ) un vecteur normal de H.
8
Exemple. Les formes linéaires sur Mpq (R) sont exactement les M ↦ T r(AM ) avec A ∈ Mqp (R).
23
Méthode. Techniques pour obtenir un vecteur normal à un hyperplan, c’est-à-dire trouver un vecteur
directeur de H ⊥ .
1. H est un hyperplan, c’est donc le noyau d’une forme linéaire l.
2. D’après Reisz, cette forme linéaire peut s’écrire sous la forme < a, . >.
3. Le vecteur a est un vecteur normal à H, car ∀y ∈ H, y ∈ Ker(l) et donc < a, y >= 0.
24
Exercice.
Trouver un vecteur normal au plan :
⎧
⎪
⎪
H = ⎨M = (aij ) ∈ Mn (K) /
⎪
⎪
⎩
⎫
⎪
⎪
a
=
0
⎬
∑ ij
⎪
⎪
1≤i,j≤n
⎭
III. Projections et symétries orthogonales.
III.1/ Définitions.
⊥
Définition. Soit F un sev d’un R-ev tel que E = F ⊕ F ⊥
1. La projection orthogonale sur F est la projection sur F de direction F ⊥ .
2. La symétrie orthogonale sur F est la symétrie par rapport à F de direction F ⊥ .
Remarques.
1. Si p est la projection orthogonale sur F alors Id − p est la projection orthogonale sur F ⊥ . La
projection Id − p est la projection orthogonale associée à p.
2. La projection orthogonale sur F et la symétrie orthogonale par rapport à F existent si et seulement
⊥
si E = F ⊕ F ⊥ .
3. On verra en fin de chapitre que c’est le cas par exemple si F est de DF, mais pas uniquement.
Théorème- Bessel.
sur F , alors :
25
⊥
Soient F un sev d’un R-ev tel que E = F ⊕ F ⊥ et p la projection orthogonale
∀x ∈ E, ∥p(x)∥ ≤ ∥x∥
9
III.2/ Comment trouver l’image par une projection ou symétrie ?
26
Méthodes - comment trouver p(x) ?
Soit p la projection orthogonale de E sur F et x un vecteur de E. Comment peut-on trouver p(x) ?
● Idée 1. On peut facilement décomposer x en x = x1 + x2 avec x1 dans F et x2 dans F ⊥ . Dans ce
cas p(x) = x1
● Idée 2. Il existe une BON (e1 , . . . , en ) sur F . Dans ce cas :
p(x) = < x, e1 > e1 + < x, e1 > e1 + . . . + < x, en > en
● Idée 3. Sinon p(x) est la seule solution du système :
{
p(x) ∈ F
p(x) − x ⊥ F
27
Méthodes - comment trouver s(x) ?
Soient s la symétrie orthogonale de E par rapport à F , p la projection orthogonale de E sur F et x un
vecteur de E. Comment peut-on trouver s(x) ?
1. On cherche p(x).
2. On utilise la relation 2p = s + id
28
Exercice.
de E.
Soient E = C 0 ([−1, 1], R) et p la projection orthogonale sur F le sev des fonctions paires
1. Justifier l’existence de p.
2. Déterminer l’image par p de la fonction exponentielle.
29
Exercice.
Notons
A = {(
a b
) / a, b ∈ R}
b a
1. Montrer que A est un sev M2 (R) de dimension 2.
2. Déterminer une base orthogonale de A
3. En déduire la matrice de la projection orthogonale sur A dans β = (E11 , E12 , E21 , E22 ).
30
Exercice.
Soit F ∶ x + 2y + z = 0 un plan de R3 .
1. Déterminer l’image de (x, y, z) par p la projection orthogonale sur F
2. En déduire la matrice
10
III.3/ Théorème de projection.
Définition. Soit E un préhilbertien réel, F un sev de E et x un vecteur de E, alors la distance de x à
F est obtenu par :
d(x, F ) = Inf {d(x, y) / y ∈ F } = Inf {∥x − y∥ / y ∈ F }
31
Théorème.
⊥
Soit E un préhilbertien réel, F un sev de E et x un vecteur de E. On suppose de plus
⊥
que E = F ⊕ F pour avoir l’existence de p la projection orthogonale sur F , alors :
d(x, F ) = d(x, p(x)) = ∥x − p(x)∥
Remarques.
1. L’inf de la définition de d(x, F ) est en fait un min puisqu’elle est atteinte pour p(x).
2. La meilleure approximation de x par un élément de F est p(x).
Conséquences. Soient E un eve, β une BON de E et y, a des vecteurs de coordonnées (y1 , . . . , yn )
et (a1 , . . . , an ) dans β.
32
1. Notons H un hyperplan d’équation a1 x1 + . . . + an xn = 0 dans β, alors :
d(y, H) =
∣ a1 y1 + . . . + an yn ∣
∥a∥
2. Notons D = V ect(a) alors :
√
d(y, D) =
∥y∥2 ∥a∥2 − < a, y >2
∥a∥
Remarque. Il ne faut pas apprendre les formules mais savoir les retrouver. Tout se voit sur le dessin
suivant :
D=H ⊥
d(y,H)
y
a
d(y,D)
33
Exercice.
H
→
Déterminer la distance entre un vecteur Ð
u (3, 4, 5) de R3 et le plan F ∶ x + 2y + z = 0.
Exercice. Soit A dans Mn (R). Déterminer la meilleure approximation de A par une matrice
symétrique.
34
35
Exercice.
1
Déterminer : Inf ∫
a,b∈R
0
(sin(x) − ax − b)2 dx
11
IV. Espaces vectoriels euclidiens
IV.1/ Composantes d’un vecteur dans une BON
Théorème. Soient (E, <, >) est un eve et β = (e1 , . . . , en ) une base orthonormale de E. Les coordonnées
d’un vecteur x de E peuvent être exprimées à l’aide du pse :
36
⎛ < x, e1 >
⎜ < x, e2 >
x⎜
⎜
⋮
⎝ < x, en >
n
x = ∑ < x, ei > ei
k=1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Remarque. Si on considère IdE comme une projection orthogonale sur E, on retrouve ce théorème à
l’aide de l’expression du projeté dans une BON.
IV.2/ Expression du produit scalaire scalaire dans une BON
Théorème. Soient E un eve et β = (e1 , . . . , en ) une base orthonormale de E. De plus notons
(x1 , . . . , xn ) et (y1 , . . . , yn ) les coordonnées de x et y dans β, alors :
37
n
n
< x, y > = ∑ xi .yi
et
i=1
∥x∥2 = ∑ x2i
i=1
Remarques.
1. Ainsi dans une BON, tous les pse d’un eve de dimension n ressemble à celui de Rn
2. Si la base n’est pas orthonormale, l’expression du produit scalaire peut être beaucoup plus lourde.
12
IV.3/ Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
38
Méthode. Soit E un préhilbertien réel. On va décrire un procédé qui permet de construire une famille
orthogonale (o1 , o2 , . . . , on ) à partir d’une famille libre (l1 , l2 , . . . , ln ) de E. Construisons le vecteur ok
par récurrence forte :
1. Si k = 1 on pose o1 = l1
2. Supposons que o1 , . . . , ok construits, construisons ok+1 .
k
ok+1 = lk+1 − p(lk+1 ) = lk+1 − ∑ ⟨lk+1 , ∥ooii ∥ ⟩ ∥ooii ∥
i=1
avec p la projection orthogonale de E sur Fk = V ect(o1 , . . . , ok ).
Vision géométrique de ce qu’on fait.
Fk⊥
lk+1
ok+1
p(lk+1 )
Fk
Remarques.
k
1. La famille β = ( ∥oo11 ∥ , . . . , ∥ookk ∥ ) est une BON de Fk et l’expression ∑ ⟨lk+1 , ∥ooii ∥ ⟩ ∥ooii ∥ est l’expression
i=1
du projeté orthogonale de lk+1 dans la BON β.
2. Si les premiers vecteurs de la famille sont déjà orthogonaux, l’algorithme ne modifie pas ces
vecteurs puisque dans l’expression de ok+1 les produits scalaires sont nuls.
3. Une fois l’algorithme effectué, on peut très bien rendre la famille (o1 , . . . , on ) orthonormale en
divisant chaque vecteur par sa norme. On peut aussi donner une autre condition de normalisation.
Par exemple s’il s’agit de polynômes, on peut préférer avoir des polynômes unitaires (coefficient
dominant valant 1) plutôt que normés.
Propriétés. Soit (o1 , . . . , on ) la famille orthogonale construite à partir de (l1 , . . . , ln ) à l’aide du
procédé de Gram-Scmidt.
39
1) ∀k ∈ {1, . . . , n}, V ect(o1 , . . . , ok ) = V ect(l1 , . . . , lk )
2) ∀k ∈ {1, . . . , n}, ⟨ok , lk ⟩ > 0
⎧
u = (1, 1, 1)
⎪
⎪
⎪ 1
Exercice. Soit ⎨ u2 = (1, 0, 1) . En effectuant le procédé d’orthonormalisation de Gram-Scmidt,
⎪
⎪
⎪
⎩ u3 = (1, 1, 0)
trouver la base orthonormale qui est associée à la base (u1 , u2 , u3 ).
40
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Sur R[X], choisissons le pse ⟨P, Q⟩ = ∫
41
Exercice.
orthogonaliser la famille (1, X, X 2 )
1
−1
P Q. Utiliser l’algorithme de Gram-Schmidt pour
IV.4/ Conséquences
42
Théorème.
1. Dans tout R−eve, il existe au moins une BON.
2. Toute famille orthonormale peut être compléter en une BON
3. E = F ⊕ F ⊥
4. dimF ⊥ = dimE − dimF .
5. (F ⊥ )⊥ = F
Remarques.
1. Si F est de DF alors F ⊥ est un supplémentaire privilégié de F .
2. Si F est de DF alors la projection orthogonale sur F et la symétrie orthogonale par rapport à F
existent.
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