Espaces préhilbertiens réels.

Chapitre 8
Espaces préhilbertiens réels.
I. Produit scalaire ..........................................................................2
1/ Espace préhilbertien-réel...........................................................2
2/ Exemples de références.............................................................2
3/ L’inégalité de Cauchy-Schwarz.....................................................3
4/ Norme euclidienne ..................................................................4
5/ Identités de polarisation ...........................................................5
6/ Identité du parallélogramme. ......................................................5
II. Orthogonalité............................................................................6
1/ Définition ............................................................................6
2/ Familles orthogonales, familles orthonormales ...................................6
3/ Le théorème de Pythagore .........................................................7
4/ Somme directe orthogonale. .......................................................8
5/ Représentation des formes linéaires à l’aide du produit scalaire. ..............8
III. Projections et symétries orthogonales. ............................................9
1/ Définitions. ..........................................................................9
2/ Comment trouver l’image par une projection ou symétrie ?...................10
3/ Théorème de projection. ..........................................................11
IV. Espaces vectoriels euclidiens........................................................12
1/ Composantes d’un vecteur dans une BON ......................................12
2/ Expression du produit scalaire scalaire dans une BON ........................12
3/ Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt ...............................13
4/ Conséquences ..................................................................... 14
1

Chapitre 8
Espaces préhilbertiens réels.
I. Produit scalaire
I.1/ Espace préhilbertien-réel
Définition.
1. On appelle produit scalaire euclidien (pse) sur un espace R-espace vectoriel, toute application φ
de E×Edans Rvérifiant :
1) φest bilinéaire.
2) φest symétrique : ∀x, y ∈E, φ(x, y)=φ(y, x).
3) φest positive : ∀x∈E, φ(x, x)≥0.
4) φest définie positive : φ(x, x)=0Ô⇒x=0.
2.
On appelle espace préhilbertien réel, tout couple (E, <,>) où E est un R -espace vectoriel et <,>
un pse sur E
3. On appelle espace vectoriel euclidien (eve), un espace préhilbertien réel de dimension finie.
Remarques.
1) On note souvent les pse : <x, y >,(xy)ou x.y.
2) φpositive ne signifie pas ∀x, y ∈E, φ(x, y)≥0
3) Un produit scalaire est bilinéaire, mais pas linéaire puisque pour tout λ de R et x , y dans E :
φ(λ.(x, y)) =φ(λ.x, λ.y)=λ2.φ(x, y)
4) Le pse se comporte comme un produit, il faut donc savoir développer une somme. Par exemple :
<a+b , c +d>=<a , c >+<a , d >+<b , c >+<b , d >
I.2/ Exemples de références
Exemple.1Rnmuni du pse : <x, y >= x1.y1+... +xn.yn
avec x=(x1,...,xn)et x=(y1,...,yn), est un eve.
2

Exemple.2Mpq(R)muni du pse :
<A, B >= p
∑
i=1
q
∑
j=1
aij bij =tr(t AB)
est un eve.
Exemple.3C([a, b],R)muni du pse :
<f, g >= ∫b
a
f(x)g(x)dx
est un préhilbertien réel.
Exemple.4RX]muni d’un pse du type :
<P, Q >= ∫b
a
P(x)Q(x)dx
avec aet bdans Rtels que a<b, est un préhilbertien réel.
I.3/ L’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Théorème.5Soit (E, <,>)un espace préhilbertien réel, alors pour tous xet ydans E:
1. x, y2≤x, xy, y,
2. Il y a égalité ssi xet ysont liés.
Remarques.
1. L’inégalité de CS, sans le cas d’égalité, reste valable si <,>est seulement une fbsp.
2. Le cas d’égalité nécessite le caractère définie.
Exemples. Voici la traduction du théorème de Cauchy-Schwarz dans les préhilbertiens réels classiques :
1Dans Rn,n
∑
i=1
xi.yi≤
n
∑
i=1
x2
i
n
∑
i=1
y2
i
2Dans Mn(R),tr(t AB)≤tr(t AA)tr(t BB)
3Dans C([a, b],R),∫b
a
f(x)g(x)dx≤∫b
a
f2(x)dx∫b
a
g2(x)dx
3

I.4/ Norme euclidienne
Définition. Une norme sur un R -ev est une application N de E dans R+ vérifiant pour tous x et y de
E, et tout λde R:
1) N(x)=0⇐⇒x=0,
2) N(λ.x)=λ.N(x),
3) N(x+y)≤N(x)+N(y)(Inégalité triangulaire).
Théorème - définition.6Soit (E, <,>)est un préhilbertien réel.
1. On peut associer à ce produit scalaire une norme , dite norme euclidienne, par x=√<x, x >
pour tout xde E.
2. De plus on contrôle également le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire :
∀x, y ∈E, x+y=x+y⇐⇒ ∃λ∈R+, y =λx ou x=λy
Remarques.
1. Avec les notations de la norme euclidienne, l’inégalité de Cauchy-Schwarz devient :
∀x, y ∈E, x, y≤x.y
2. Comme dans tout evn, on a donc une distance associée à la norme euclidienne, c’est la distance
euclidienne : ∀x∈E, d(x, y)=x−y
puis une topologie associée à la distance, c’est la topologie euclidienne :
Oest un ouvert de E⇐⇒ ∀x∈O,∃r∈R∗
+, B(x, r)⊂O
3. On rappelle que :
{Esp. préhilbertiens} ⊂{Esp. normée} ⊂{Esp. métriques} ⊂{Esp. topologiques}
4

I.5/ Identités de polarisation
Propriété.7 Il existe certaines relations entre le produit scalaire et la norme euclidienne. Pour tous x
et yde E, on a :
1. x+y2=y2+x2+2<x, y >
2. <x, y >= 1
2x+y2−y2−x2
3. <x, y >= 1
4x+y2−x−y2
Intérêt. Ceci permet, à partir d’une norme euclidienne de retrouver le produit scalaire.
Exercice.8
1. Montrer que la valeur absolue sur Rest une norme euclidienne, déterminer le ps associé.
2. Montrer que le module sur le R-ev Cest une norme euclidienne, déterminer le ps associé.
I.6/ Identité du parallélogramme.
Théorème.9Si est une norme euclidienne alors :
∀x, y ∈E, x+y2+x−y2=2x2+2y2
Exercice.10 Soit p dans R∗
+∪{+∞}
. Montrer que dans Rn la norme p est euclidienne si et seulement
si p=2.
5