Exercices Maple

MPSI A
2011/2012
Exercices Maple
Exercice 1
5x − 6.
1. Factoriser dans R puis dans C le polynôme suivant : P (x) = x4 + 2x3 − 4x2 −
2. Développer et ordonner l'expression (x − 2)(x4 + 2)(x − 1).
Exercice 2 On considère la fonction f : x 7→ x4 − 3x + 2 dénie sur l'intervalle I = [−4, 4].
Donner une méthode pour réaliser un tableau de valeurs de cette fonction.
Exercice 3 Ecrire en Maple une fonction somme qui a pour paramètre d'entrée un entier
n strictement positif et qui calcule la somme des entiers de 1 à n. On pourra éventuellement
utiliser la commande Maple sum.
Exercice 4 Ecrire en Maple une fonction sommeprem qui a pour paramètre d'entrée un
entier n strictement positif et qui calcule la somme des entiers premiers compris entre 1 et n.
On pourra utiliser la commande Maple ithprime (i).
Exercice 5 Ecrire en Maple une fonction parfait qui a pour paramètre d'entrée un entier n
strictement positif et qui retourne la liste des nombres parfaits compris entre 1 et n. Un nombre
parfait est un nombre qui est égal à la moitié de la somme de ses diviseurs.
On pourra utiliser la commande Maple divisors du package numtheory.
Exercice 6 Ecrire en Maple une fonction plouton qui a pour paramètre d'entrée un entier n
strictement positif et qui retourne la liste des n premiers nombres ploutons. Un nombre plouton
est un nombre qui a strictement plus de diviseurs que ses prédécesseurs.
On pourra utiliser la commande Maple tau du package numtheory.
Exercice 7 Ecrire en Maple une fonction amiable qui a pour paramètre d'entrée un entier n
strictement positif et qui retourne l'ensemble des couples de nombres amiables compris entre
1 et n. Un couple d'entiers (a, b) est dit amiable si a et b sont distincts et si la somme des
diviseurs de a moins a est égale à b et réciproquement.
On pourra utiliser la commande Maple divisors du package numtheory.
Exercice 8
1. Ecrire en Maple une fonction borec, dénie récursivement, avec comme
paramètre d'entrée un entier n positif et qui retourne le nième terme de la suite de
Fibonacci. On rappelle que cette suite est dénie par :
u0 = u1 = 1
pour n ∈ N un+2 = un+1 + un .
On essaiera ce programme avec et sans l'option remember.
2. Ecrire la même fonction (appelée boit) de façon itérative.
1
Exercice 9 Ecrire en Maple une fonction alea qui a pour paramètre d'entrée un entier n
strictement positif et qui génère une liste aléatoire de n valeurs entières comprises entre 1 et
400.
Exercice 10 Ecrire en Maple une fonction moyenne qui a pour paramètre d'entrée une liste
de réels et qui calcule la valeur moyenne de cette liste.
Exercice 11 Ecrire en Maple une fonction amplitude qui a pour paramètre d'entrée une liste
de réels et qui calcule l'amplitude maximale de cette liste c'est-à-dire max{ai − aj | (i, j) ∈
[[1, n]]}. Le résultat devra être obtenu en parcourant une seule fois la liste.
Exercice 12 Ecrire en Maple une fonction eratosthene qui a pour paramètre d'entrée un
entier n strictement positif et qui retourne une liste contenant les nombres premiers compris
entre 1 et n en utilisant le principe du crible d'Eratosthène.
Exercice 13 Ecrire en Maple une fonction sym qui a pour paramètre d'entrée une liste
[a0 , a1 , . . . , an−1 ] et qui retourne la liste symétrique [an−1 , . . . , a1 , a0 ].
Exercice 14 Ecrire en Maple une fonction ecarttype qui a pour paramètre d'entrée une liste
de
et qui calcule l'écart-type de cette liste. L'écart-type est donné par la formule suivante
q réels
Pn−1
1
2
i=0 (ai − m) où n est la longueur de la liste et m sa valeur moyenne.
n
2