Le problème de Torelli

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
A RNAUD B EAUVILLE
Le problème de Torelli
Séminaire N. Bourbaki, 1985-1986, exp. no 651, p. 7-20.
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Séminaire BOURBAKI
Novembre 1985
année, 1985-86, n°651
38ème
PROBLÈME
LE
DE TORELLI
par Arnaud BEAUVILLE
1. Le cadre
Soit
sont
X
Dans la
de
suite, je
Hodge
considérerai que le
ne
alternée suivant que
ble
Q ,
avec
est
n
qui signifie qu’on
ce
ainsi que des conditions de
à
~I
un
de dimension
question
trie
signe
Q
impair.
ou
n = dim(X) .
cas
(définie
par le
décomposition
Le S-module
cup-produit), symétrique
Hodge est compati-
La structure de
a
Q(x,x)
la forme
sur
pour
lesquelles je renvoie
[De] .
ou
Soit
pair
cohomologie
n , c’est-à-dire d’une
poids
de
alors muni d’une forme bilinéaire
est
ou
variété kählérienne compacte. Les groupes de
une
munis d’une
d’isomorphisme
ensemble de classes
n , de type
topologique
suivante : soient
(p :
X,
fixé. Le
de variétés kàhlériennes compactes
problème de Torelli (global)
X’ deux variétés de m, telles
respectant les
-
une
est la
isomé-
Hodge (je dirai,
X
X’
et
sont
Hodge).
isomorphes ? On peut être plus exigeant, c’est ce que j’appellerai le problème de
Torelli (Àn : existe-t-il un isomorphisme u : X’ - X tel que u* = 03C6 ?
Suivant les situations, on est amené à envisager diverses variantes. Si par
plus brièvement,
exemple
une
les variétés
respecte
(1)
X
considérées
Peut-on conclure que
sont
d’un fibre ample,
classe
possède
isométrie de
qu’il
structures de
pour Q
existe
un
élément
cet
distingué
h;
polarisées, c’est-à-dire
si
et
on
n
est
pair,
munies de la
le groupe
demandera que l’isométrie de
Hodge
~p
élément.
Cette convention n’est raisonnable que si H*(X,Q)
Hn et
est engendré par
par les puissances de h .Ce sera le cas pour tous les exemples considérés
dans la suite.
S. M. F.
Astérisque
145-146(1987)
7
A. BEAUVILLE
On peut reformuler le
de Torelli
problème
de
me
de
Hodge
r
(cf. [Gr 1]
Le
(X,o)
couples
,
isométrie. A
est une
.
compatibles
L
sur
avec
D , le domaine des périodes,
analytique
peaux de
Hodge
un
où
X
tel
couple
L , compatible
sur
le groupe
qui
[De]). Soit
ou
est une
avec
d’automorphismes
de
est
Q
,
L
(-1)n-symétrique QL .
QL est paramétré
type fini, muni d’une forme bilinéaire
structures
suit. Soit
comme
2Z-module de
un
L’ensemble des
une
par
d’une variété de dra-
est un ouvert
l’ensemble des classes
m
variété de
et
où
(L,Q )
.
On
0
a
NI
,
structure de
une
Ï!I
d’où
=
L
--j
application :
une
d’isomorphis-
0 :
associée à l’aide de
d’où
variété
~
D . Notons
diagramme
un
commutatif
(Dans
le cadre des variétés
élément 9.- de
L
et
rifiant
pour
on
;
ne
on
polarisées (cf.
(1)),
si
considère que les isométries
prend
Q E Hn/2,n/2 ~
lesquelles
note
,
l’espace
D
pour
et pour
r
n
est
pair,
0 :
Hodge
automorphismes
fixe
un
vé-
L
-->
des structures de
le groupe des
on
sur
L
de
fixant 9.- ).
(L,QL)
On dit
que p
(ou
p)
d~S
est
pour
~I Le théorème
.
l’injectivité de p , le théorème de Torelli fin à celle de
considérerons, Ht et fi ont des structures naturelles
que
~ .
d’espaces analytiques, ainsi que D et D/F , et les applications p et p
sont holomorphes. Le problème de Torelli infinitésimal
pour X est la question de
(2)
savoir
est une immersion en
(X,o)
pour un choix quelconque de 0
Cette question est souvent appelée problème de Torelli local dans la littérature.
Oort et Steenbrink suggèrent de réserver ce nom à la question analogue pour ?
Avec cette terminologie, le théorème de Torelli infinitésimal entraîne le théorème
local, mais la réciproque est fausse [0-S].
Enfin, lorsque m est irréductible, on appelle problème de Torelli générique
la question de savoir si p est génériquement injective. Cette question s’est révélée plus facile à attaquer que le problème de Torelli global, cf. §6. Je ne connais pas d’exemple où p soit génériquement injective mais pas injective.
de Torelli
.
équivaut
Dans les
à
cas
nous
,
2. Le
cas
Pour
(2)
A
un
des courbes
une
courbe
grain
(lisse, compacte)
de sel
près ;
C
voir §4 pour
,
la donnée de la
un
énoncé
précis.
décomposition
de
Hodge
(651) LE PROBLÈME DE TORELLI
à celle de la
équivalente
est
pale (en
tore
tant que
complexe, J(C)
polarisation
la
;
J(C)
jacobienne
est
quotient
le
est
munie de
,
définie par le
sa
de
cup-produit
polarisation principar l’image de
H1(C,~l)) .
sur
jacobiennes
théorème de Torelli revient donc à énoncer que deux courbes dont les
(polarisées)
théorème
a
férentes
en
elles-mêmes
sont
été démontré par Torelli
on
toute
en
trouvera un
(voir aussi [D]
en
une
pour
forme, ce
isomorphes.
[To]. De nombreuses démonstrations dif-
1913
été données par la suite :
ont
Torelli (étendue
[Co] (dont
isomorphes,
sont
Le
Sous cette
la démonstration
outre
de
originale
[Ma]), citons celles de Comessatti
[Ci]), d’Andreotti [A], de Weil [W]
exposé
version très simple), de Martens [M], de Saint-Donat [S-D],
caractéristique
dans
moderne dans
[G 1] .
de Green
géométrique, basées sur les propriétés
jacobienne. Indiquons par exemple la
recette donnée par Green : pour tout point singulier de
e , on peut regarder par
translation le cône tangent à 0 comme une hypersurface dans l’espace projectif
tangent de la jacobienne à l’origine ; l’intersection de ces cônes tangents n’est
Toutes
très
ces
démonstrations
particulières
autre que
la courbe
si
n’est pas hyper-
C
on
traite facilement
démonstrations donnent
un
théorème de Torelli fin : si
de
plane
ces
un
isomorphisme
nies d’une base
-
(p :
u :
C’
modules des courbes de genre
groupe
correct que
degré 5;
ou
deux courbes et
sont
existe
d’une
ces
cas
particuliers
méthode ad hoc).
une
Certaines de
C’
de nature
e
(à vrai dire ceci n’est
C
elliptique, trigonale
par
sont
du diviseur
~
g ,
symplectique
Sp(2g,2Z) ; le diagramme
On déduit de
de
H (G’,S)
tel que
C
ÏR
une
u*=±03C6
.
l’espace
g
demi-espace
C ,
Hodge, il
ïtl l’espace
Notons
des courbes
le
H
isométrie de
de genre
C
de
Siegel ,
des
mu-
g
1
le
du §1 devient ici
est de degré
qui précède que p est injective, tandis que
image, ramifiée le long des courbes hyperelliptiques. De plus Oort et
Steenbrink ont prouvé que p est un plongement
[0-S].
Le problème de Torelli pour les courbes est donc bien compris. Un problème très
lié, mais plus difficile, est celui de déterminer l’image de p : c’est le
problème de Schottky, qui a connu récemment de très beaux développements.
2
sur
son
ce
A. BEAUVILLE
3. Le théorème de Torelli
a) Les variétés
global : quelques
cas
connus.
qui ressemblent à des courbes
J’entends par là les variétés de dimension
les la
décomposition
de
Hodge
se
La donnée de la structure de
d’une variété abélienne
J(X) ;
/te
X . Un
le
ci
manière
+
1
pour
,
lesquel-
réduit à
Hodge
H2p+~(X,~)
sur
principalement polarisée,
exemple célèbre
donc à celle
équivaut
la
celui de
est
l’hypersurface cubique de dimension 3,
[Cl-G], et indépendamment par Tjurin [Tj 1]. Voi-
Griffiths
et
2p
de Torelli consiste à demander si celle-ci détermine
problème
traité par Clemens
impaire
simple d’énoncer
leurs résultats
[Bl] : si
hypersurface
cubique lisse dans IP4, le diviseur 0 de J(X) a un seul point singulier, de
multiplicité 3 ; la base du cône tangent à e en ce point s’identifie à X . On en
déduit sans peine un théorème de Torelli fin : étant données deux cubiques X , X’ et
une
isométrie de
une
phisme
u :
X’
Un autre
Hodge
---~
X
exemple,
H3(X,~L)
qJ:
u* =
tel que
---i
± c~
est une
il existe
,
un
isomor-
.
plus facile,
nettement
X
est
fourni par les intersections
quadriques dans ]p2p+3 ([R],[Tj 2] . Les équations d’une telle variété, supposée lisse, s’écrivent dans un système de coordonnées convenable
de deux
Le sous-ensemble
{ao,...,7~2 intermédiaire
P +3} de IP
PGL(2) près.
La
de la courbe
hyperelliptique
ramifié
en
~o,...,a2 P +3 .
.
détermine
J(X)
jacobienne
C
obtenue
bien déterminé à l’action de
est
de
X
comme
s’identifie à la
revêtement double de
Par le théorème de Torelli pour les
C , donc les points
jacobienne
À o ,...,ÀZ p+ 3
,
donc les
]p1
courbes,
équations
(~).
Le très beau travail de Clemens-Griffiths donne envie de le
par
exemple
fibre
aux
canonique
généraliser,
variétés de Fano (variétés de dimension 3 dont l’inverse du
est
ample),
telles que la
quartique
de
lP4 ,
,
l’intersection
quadriques, etc... Mais l’extension à ces variétés du programme de
[Cl-G] s’est révélée singulièrement difficile. De fait, à ce jour aucun autre exemple de ce type n’est connu. Le miracle de la cubique est qu’on arrive
de 3
à
paramétrer explicitement
droites, ou
le diviseur
0
par
une
famille de
cycles (les
sait pas le faire
cubiques gauches) ;
Signalons cependant que le théorème de Torelli
cela résulgénérique est connu dans quelques cas : pour la quartique de
de
trois
te du théorème de Donagi (§6); pour les intersections
quadriques
différences de
les
on
ne
pour d’autres variétés.
IP
,
(651) LE PROBLÈME DE TORELLI
TP
dans
cela résulte de la théorie des variétés de
,
Il faut aussi mentionner
bien que cela
ici,
théorème de Torelli global obtenu dans
Mérindol prouve
quadriques
minée par la
structure de
Hodge mixte
variété
de
U
H (U,Z) -
de
fixé
§1,
au
le
pour les intersections de deux
[Me]
qu’une
Prym [F-S].
sorte du cadre
ce
déter-
est
type
plus précisément,
par
le 1-motif associé.
b) Lu variétés pour
général
En
M . Dans quelques
que celle de
grande
deô
lesquelles l’application
la dimension du domaine des
est étale.
périodes
beaucoup plus
très particuliers, ces dimensions
D
est
cas
.
égales. Si l’on peut de plus prouver le théorème de Torelli infinitésimal (§4), l’application p est étale, ce qui tend à faciliter les démonstrations d’injectivité. De fait, le résultat est connu dans quelques
sont
exemples :
-
les
surfaces K3,
comprise;
-
les
elle
a
pour
été
exposée
surfaces d’Enriques,
sans
été démontré par Horikawa
[N]
-
détail dans
ramène à celle des surfaces K3
se
fixe. Le théorème de Torelli dans
point
[H]; des versions plus agréables
hypersurfaces eub-iquu
de
4,
Torelli vient d’être démontré par C. Voisin
telle
cubique
avec
h3’1 - h1,3 =1
ressemble
X
d’abord que p
ver
surface de M
et
est de
formée des
beaucoup à
se
h2’2 degré
pour
ce
cadre
trouvent dans
[V].
21 . La
stratégie
1 au-dessus de
cubiques
lesquelles
le théorème de
contenant un
K3);
un
Hodge d’une
La structure de
celle d’une surface K3 :
le théorème de Torelli pour les surfaces
étude
parfaitement
précédent [B2].
séminaire
un
[B-P-V].
et
les
en
la situation est maintenant
dont l’étude
munies d’une involution
a
lesquelles
on
a
[V] consiste à
de
p(P) ,
où
P est
plan (on utilise
argument
prou-
l’hyper-
pour cela
d’amplitude
et une
bord permettent ensuite de conclure.
au
4. Le théorème de Torelli infinitésimal
Soit
X
l’espace
une
variété kählérienne compacte, de dimension
de Kuranishi de
duquel existe
une
déformation
à réduire
B ,
dédui t
application
(3)
une
on
peut fixer
un
non
trivial
des
B-D
opérant trivialement
s’identifie localement à
dent.
B ; les
.
germe
Pour toutes les variétés considérées dans cet
phisme
Soit
(B,o)
d’espace analytique pointé au-dessus
verselle f : x -~ B,,avec f 1(0) - X . Quitte
un marquage du système local
on en
°
"~
X : c’est
n
.
exposé,
sur
applications p
X n’admet pas
et
d’automordu §1
au §11 coinci-
l’espace S
définies ici
et
A. BEAUVILLE
Le
problème
immersion
en
de Torelli infinitésimal est la
o
injective.
est
T (B)
gent
autrement
,
Cette
est
application
H1(X,TX) .
canoniquement isomorphe à
à D au point correspondant
Hp’q
@
désigne l’espace
Q((p(x),y) =
matiquement
Hp ’q )
l’application
de
Hodge
homomorphismes (p :
x,y
satis-
(cette relation
dans
(r,s) ~ (q,p)) . De plus, le théorème de
que l’image de
T(p) est contenue
;J l’application
.
déduite du
tenu des isomorphismes canoniques
problème de Torelli infinitésimal est donc de
pas toujours facile pour autant. Je vais passer
note
le fibre
KX
est auto-
transversalité
dans
Hq+1(X,~X 1)
cup-produit
Le
été étudié. Je
tan-
montre que
décomposition
compte
est
est une
[Gr 1] . L’espace
Griffiths
(loc. cit) entraîne
Z
est
des
pour
satisfaite si
de Griffiths
à la
si
s’identifie à
Hom (H ,H ’ )
faisant à
savoir
été étudiée par Griffiths
a
tangent (4)
l’espace
où
question de
l’application tangente
dit si
canonique 03A9nX
,
.
cohomologique;
revue quelques cas
nature
en
de la variété lisse
il n’en
où il
a
X
a) Courbes
Lorsque
Serre à la
Le
non
cf.
X
courbe, l’injectivité
est une
surjectivité
l’application
théorème de
de
entraîne que
hyperelliptique ou
[Gr 1]J ou [G-H].
de
genre ~ 2
Variétés dont le fibré canonique
b)
Dans
ce
cas,
T(p)
est
(4)
Dans le cadre "variétés
de
de
hP)
en
l’espace
surjective
si
et
seulement si
. La démonstration est loin d’être
s’identifie,
polarisées"
Hp’P
;on observera que cela
T(p).
par dualité de
X
est
triviale,
injective; mieux, l’application
fait elle
déjà injective :
n = 2p
est
équivaut
jj :
est trivial
est
lorsque
T(p)
de
naturelle
l’isomorphisme 03A9n-1X~ TX KX ,
via
considéré
au
§1, il faudrait remplacer
par le sous-espace
ne
change rien
en
ce
primitif
(orthogonal
qui concerne l’injectivité
(651) LE PROBLÈME DE TORELLI
à
l’application identique
dans
de
Cela
signifie
position
que la
Hn’0
de
(c’est-à-dire les périodes des n-formes holomorphes) suffit à
fournir des modules locaux pour
c)
X .
généJtaux
Les résultats les
la
plus généraux
dont
cohomologie
complexes
[L-P-W] et amplifiée dans [G 2] .
sont assez techniques, mais mentionner
dans [L-P-W] et [K] :
de certains
dans
Supposons qu’il existe
PROPOSITION.-
(i)
-x =L Bk
(ii)
le
pour
,
un
I LI
1
(iii)
3
L) =
Voici quelques
Koszul;
ne
un
critère
fibré
k >__ 1
;
sur
problème
ce
méthode
mettent en
jeu
été introduite
a
vais pas citer les énoncés
Je
un
sur
cette
en
précis qui
important qui apparaît déjà
droites
L
tel que
X
n’ a,i,t pas de composante
X
0 .
Tn() :
Alors l’application
dispose
on
de
conséquences
H
de
1 (X, TX)
1,1)
~ Hom(Hn,0,Hn-
est injective.
résultat.
ce
d) Intersections complètes
La
proposition entraîne
le théorème de Torelli infinitésimal pour toutes les
PN
intersections complètes dans
fait
dont le fibré
canonique
ample (L
est
= OX(1)
l’affaire).
Plus
généralement, on peut
projectif tordu P(eo,...,en)
considérer des intersections
(quotient
t.(X
o ,...,X ) - n (te° X ,...,ten X
(cf.
§5),
mais
on
e° = e1 =
et
,
sion 2. Ce
cas
.
On
cas
proposition
par
X
définie par
dans
un
espace
définie par
(E*
connaît pas de critère
général
le théorème de Torelli in-
suivant (essentiellement dû à Usui
la sous-variété de
couvre
par l’action de
ne
déduit par exemple de la
finitésimal dans le
1
»
de
complètes
X
=
[U 1] ) :
X1 -
0
on
est
a
de codimen-
IPn .
exemple les revêtements cycliques de
e) Surfaces elliptiques
La
f : X
proposition s’applique
~
1
IP1
sans
fibres multiples
aux
surfaces
,
X
munies d’une fibration
pourvu que
pg>
2
Par contre le théorème de Torelli infinitésimal est faux
deux fibres
sion ?1
multiples : on peut même
dans ce cas [ Ch1 ].
f) Variétés
(on prend
lorsque
prouver que les fibres
de p
L
elliptique
f* Q
(1))
=
P1
f
admet
sont
une
générales
Soient
Y
une
variété
(lisse, projective),
et
L
un
fibré
en
ou
de dimen-
droites ample
.
A. BEAUVILLE
Y . Le théorème de Torelli
sur
j
ce
lisse
un
fibré vectoriel de rang
XC
dès que
Torelli infinitésimal
qui
k
r
infinitésimal
Y ; dès que
sur
satisfait par
est
k
toute
5. Surfaces :
exemples
toute
hypersurfa-
est
le théorème de
grand,
assez
E
sous-variété lisse de codimension
l’ensemble d’annulation d’une section de
est
satisfait par
est
grand [G 3] . Plus généralement, soit
est assez
L
E 8
[F]
r
.
contre-exemples
et
1980, l’étude systématique des surfaces avec petits invariants numériques
quelques résultats - souvent de nature négative - sur les problèmes
de Torelli global et infinitésimal pour ces surfaces.
Autour de
fourni
a
Ecartons d’abord les
sur
ne
surface
une
fixe,
contre-exemples stupides. Si l’on éclate
on
obtient
une
varie pas : il faut donc supposer
p ~1
supposer
(c’est-à-dire
H (X,(E) = H
.
mier temps, de
ce
M
g = K2 =
Kynev [Ky] , puis
avee
Torelli, d’abord
Enfin,
1
p
par
ont
ici facile à décrire :
est
il
été
IP
(1,2,2,3,3) .
pour la surface
une
certaine
des p : M
et
Dlr
X
est
D/r
[C-D] ,
=
1,
mais
K2 = 2
on
point de vue du problème de
[C1], [Ch1] , [T1] , [U2] . L’espa,
ces surfaces peuvent être réalisées
X
dans
6 dans
comme
l’espace projectif
point
appartient à
l’application des périodegré >__ 2 (les espaces &
X
de
m
cela lui permet de conclure que
.
ouvert
brillante pour les
guère plus
Ces surfaces admettent
de p
une
leur espace de modules
sont de
finie : Catanese
un
degré
génériquement finie, mais de
ce cas). De plus, certaines fibres
de p
ignore si
certaines fibres
riquement
pre-
sont de
[U 2] .
2
ou
un
du
faux si et seulement si le
est
La situation n’est
p
triviale
moins dans
même dimension dans
ont
dimension 1
avee
au
Catanese prouve que le théorème de Torelli infinitésimal
hypersurface;
-->
Hodge
connexes.
étudiées,
dans
toutes
point variable
structure de
est
raisonnable,
intersections complètes de deux hypersurfaces ’de
tordu
de
Hodge
est
un
Il faut aussi
X
considérer que des surfaces simplement
ne
surfaces
Les
surface
notre
la structure de
quoi
sans
,
famille de surfaces dont la
dimension ~11
[C 2]
a
prouvé
surfaces (simplement connexes)
description relativement simple
i
est
irréductible. Là
encore
([Ch 1] , [T 2] ), mais p est géné-
le théorème de Torelli infinitésimal pour
dense de M .
fabriquer d’autres exemples de surfaces de type général pour lesquelles
certaines fibres de l’application des périodes sont de dimension ~1 . Tous ces
exemples ont en commun un certain "manque d’amplitude" du fibré canonique ; on ne
On peut
.
connaît pas de contre-exemple
dont le fibré
canonique
est
D’autre part, Chakiris
rant,
au
lieu de la
a
au
théorème de Torelli infinitésimal pour
une
surface
très ample.
proposé
structure de
de remédier à
Hodge
de
ces
contre-exemples
la structure de
en
considé-
Hodge mixte
(651) LE PROBLÈME DE TORELLI
H 2 (X - F,TL) ,
de
muler dans
ce
où
cadre
la
désigne
F
for-
partie fixe du système canonique. On peut
infinitésimal; Usui a prouvé qu’il
1
[U3] .
théorème de Torelli
un
g = K2 =
vérifié pour les surfaces
avec
6. Le théorème de Torelli
générique
p
est
La difficulté essentielle pour obtenir le théorème de Torelli
global
le
est
man-
d’interprétation géométrique des structures de Hodge de poids ~2 . Vers 1978,
proposait de contourner cette difficulté de la manière suivante : au lieu
de chercher à récupérer la variété à partir de la seule structure de Hodge, on va
se donner en plus la variation infinitésimale de cette structure. Nous allons voir
que celle-ci contient beaucoup plus d’informations géométriques que la structure de
Hodge elle-même, suffisamment dans certains cas pour retrouver la variété de départ.
Le prix à payer est un résultat plus faible : on obtiendra seulement que l’application des périodes est génériquement injective, c’est-à-dire de degré 1 sur son
image. Il faut observer toutefois qu’en l’absence d’hypothèse de propreté, une immersion injective n’est guère plus belle qu’une immersion génériquement injective...
Le principe de base est fort simple. Soit
pM ~ N une application rationnelle (resp. méromorphe) de variétés algébriques (resp. d’espaces analytiques)
irréductibles. Soit r le rang de p au point générique de M . Notons
Gr(r,T(N)) l’espace fibré au-dessus de N dont la fibre en nCN est la grassmanConsidérons le diagramme
nienne des r-plans de T (N)
que
Griffiths
.
où
l’application
rationnelle
de
p* Tm(M)
de même de p:
sous-espace
il
en
p(m) =p(m’) =n ,
p*
.
on
elle
image
comprend
de
Tp(m)
(N)
effet si
.
en
est
n
point général m de M
v(p) est génériquement injective
un point lisse de
p(M)
un
p*
est
Tm, (M) - Tn(p(M)) ,
,
p l’application
des
d’où
v(p)(m)
périodes p : m
=
,
et
si
v(p)(m’) .
.
>
D/ F .Si
la variation infinitésimale de la structure de
la structure de
Hodge
de
,
Hodge
de
X ;
ainsi que le sous-espace
T(p) (§4).
s’agit donc de prouver que cette donnée permet de récupérer
Donagi appelle le problème de Torelli variationnel. Les recherches
Il
le
si
Alors
,
T m (M) =
v(p)(X)
associe à
a
Prenons alors pour
la donnée
v(p)
X : c’est
ce
de Griffiths
que
A. BEAUVILLE
et
de
école
sur ce thème, commencées
Donagi [Do 1 ] :
son
de
quable
THÉORÈME.-
Soit
écante
c.~6
(i.)
X
(iii) d = 4 ,
Alors
(mod.4) ou d = 6 ,
déterminée par la variation infin tésimale
En
n
et de
Le
cas
et
degnë
(i)
est
effectivement
Donagi)
les
contenter
a
mis
voit
sans
exception;
le
on
degré
d
remar-
.
On
de
sa structure
hypersurfaces
ne
cas
sait pas
de dlmen-
qu’il en est
(ii) (donc échappent à la
de dimension 4
canonique est trivial.
exposée très clairement dans
ce
(cf. §3b)
0
en
~
C[Xo,...,Xn+1]
et
l’application
de
J l’idéal
de
les
;
je vais
X . Notons
de
(engen-
X
de voir
de la
--i 0) D’autre part Griffiths
TX ~ TP|X ~ OX(d)
que le
[Do 2]
ou
F ); posons R =S/J . Il est facile
canoniquement isomorphe à R d (cela résulte
est
.
évidence des
peine
[Do 1]
l’équation
jacobien
F = 0
,
-
on
une
que rentrent dans
partielles
H1(X,Tx)
exacte
[Gr 2]
résultat
(mod.6).
pour les
hypersurfaces cubiques
l’anneau gradué
S
l’espace
suite
et de
n
de
ici d’un résumé très bref. Soit
dré par les dérivées
que
au
dont le fibré
La démonstration est
Q9
abouti
ut
d
(iii). Observons
hypersurfaces
S =
n=11
l’application des périodes
méthode de
me
de dimension
n ~ 0
x
(ii)
pour
ont
n=2, d=3 ;
d d~.v.~ e n + 2 ;
(ii)
Hodge.
hypersurface lisse
une
[C-G],
dans
isomorphismes canoniques,
’
p~q:
pour
"r’
~’q+~
cup-produit
s’identifie à
bilinéaire
définie par la
multiplication
de l’anneau
R .
Pour reconstituer
X , Donagi utilise seulement la variation du premier morceau
non nul de la décomposition de
Hodge (cela revient à fixer p = [n+1 - (n+2)/d],
soit encore
d). La variation infinitésimale de
est la donnée du
image
sous-espace
donnée de
se
l’application
néaire
ui : Ri -W. ,
(5)
bilinéaire
donne trois espaces vectoriels
on
de
H1(X,TX) ;
Rd x Rt (p)
Wt(p) , Wd+t(p) ,
sait
rendant commutatif le
qu’il existe
diagramme
des
cela revient donc à la
Plus
précisément, on
application biliisomorphismes (inconnus)
.
et une
Pour obtenir le théorème sous la forme ci-dessus il faut un ingrédient
mentaire (le "lemme du symétriseur" pour toute X) qui se trouve dans
supplé[Do-G].
(651) LE PROBLÈME DE TORELLI
point clé de la démonstration consiste à récupérer à partir de ces données,
manipulation purement algébrique et très astucieuse, l’homomorphisme
Le
une
par
S d -~ R d ~ W d (à
montre alors
J ;
composé
celui-ci
F à
est
partir
Green
a
de
qu’on peut
Le noyau de
près).
de
à
J
retrouver
partir
de
J ,
puis
J .
adapté
la méthode de
Donagi
variété arbitraire [G 3] . Soit
une
automorphisme
un
on
Y
degré assez grand dans
projective lisse dont le fibré
aux
hypersurfaces
une
variété
de
k
Y . Pour
en droites ample sur
canonique est très ample, et soit
assez grand, les hypersurfaces lisses forment un ouvert dans le système linéaire
j ; notons uk le quotient de cet ouvert par le groupe des automorphismes de
L
un
fibré
L
Y
qui fixent
plication
du
la classe
d’isomorphisme
périodes
p :
Mk
-
de
L
.
Alors
pour
gJtan
k
1
génériquement injective.
D/r
Donagi aux intersections compremière de ces généralisations
plètes
hypersurfaces quasi-homogènes.
semble conduire à des calculs inextricables. Un cas très particulier de la seconde
(hypersurfaces de degré km dans ]P(1,...,1,m)) a été traité par Saito [S] . Dans
la direction opposée, Cox et Donagi [Co-D] ont observé que le théorème de Torelli
Il est tentant
ou
(que
La
aux
variationnel
est
écrire,
]P(1,1,2k,3k)) .
gue et
[Ch 2] ,
délicate;
pour les surfaces
par
forme de
sous
Cependant le théorème
Chakiris
elliptiques sur
Weierstrass, comme
faux pour les surfaces
l’on peut
dans
d’étendre la méthode de
d’essayer
une
de Torelli
a
admettant
des surfaces de
été démontré pour
une
avec
en
sur
les idées de
outre une
6k
surfaces par
ces
Piateckii-Shapiro
compactification partielle
section
degré
méthode tout-à-fait différente. La démonstration
elle est basée
K3 ,
générique
1P1
est
lon-
Chafarevich
et
de
l’espace
des modules.
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