Compactification de Thurston d`espaces de réseaux marqués et de l

Compactification de Thurston d’espaces de réseaux marqués et de l’espace de Torelli
Thomas Haettel
Université Paris-Sud, [email protected]
1. Compactifications d’espaces de réseaux marqués
Fixons K le corps R, C ou H. Notons O l’anneau des entiers de K : ainsi O = Z si
K = R, O = Z[i] si K = C et O = Z[i, j, k] si K = H. Soit m > 1 un entier, munissons
l’espace vectoriel à droite Km de sa structure hermitienne standard.
Un réseau marqué de Km est un morphisme de O-modules à droite de Om dans Km,
dont l’image est un réseau de Km de covolume 1. Notons Em l’espace des réseaux marqués
de Km à isométrie de Km près. Cet espace est naturellement homéomorphe à l’espace
symétrique SLm(K)/ SUm(K), et est muni de l’action à gauche de SLm(O).
De manière analogue à la compactification de Thurston de l’espace de Teichmüller,
nous allons plonger cet espace de réseaux marqués dans un espace de fonctions de
m
Om
longueur. Notons P(RO
)
l’ensemble
des
classes
d’homothétie
positive
de
R
+
+ , muni de la
topologie quotient de la topologie produit. Cet espace est muni d’une action à gauche de
SLm(O) par précomposition par l’adjoint.
Théorème 1.1 L’application
m
φ : Em → P(RO
+ )
[f : Om → Km] 7→ [u 7→ ||f (u)||]
T
est un plongement d’adhérence compacte. On note Em la compactification de Thurston
T
de Em ainsi définie. L’action à gauche de SLm(O) sur Em s’étend naturellement à SLm(K),
ce qui en fait une compactification SLm(K)-équivariante.
Considérons G = SLm(K) et K = SUm(K), et prenons pour ρ la représentation linéaire
S
standard de G sur Cm (ou sur C2m si K = H). Notons Em la compactification de Satake
ainsi obtenue.
T
S
Théorème 2.2 Les deux compactifications Em et Em sont SLm(K)-isomorphes.
D’après le théorème de Hodge, l’espace vectoriel des 1-formes différentielles harmoniques sur X est isomorphe à H 1(X, R), donc à R2g : nous considérerons ainsi les
représentants harmoniques des classes de cohomologie. Le produit scalaire L2 des formes
harmoniques définit une structure euclidienne sur H 1(X, R), et la forme d’intersection symplectique sur H 1(X, R) est donnée par :
∀ω, ω 0 ∈ H 1(X, R), Int(ω, ω 0) =
Z
ω ∧ ω0.
X
3. Compactifications d’espaces de réseaux autoduaux
Fixons τ = idR si K = R, τ = idC ou la conjugaison si K = C, et τ la conjugaison si
K = H. Fixons b une forme τ -sesquilinéaire sur Km, non dégénérée et indéfinie. Si Λ est
un O-réseau de Km, on définit son dual par rapport à b par :
Théorème 4.1 L’application
2g
Tor(S) → P(RZ+ )
[X, f ] 7→ u ∈ Z2g 7→ ||f −1(u)||
Λ∗b = {y ∈ Km : ∀x ∈ Λ, b(x, y) ∈ O}.
On dit que le réseau Λ est autodual (pour b) si Λ∗b = Λ.
b
Notons Em
le sous-espace de Em constitué des réseaux autoduaux marqués, il est naturellement homéomorphe à l’espace symétrique G/K = SU(b)/(SU(b) ∩ SUm(K)). Ce point
de vue permet de décrire tous les espaces symétriques de type non compact classiques.
T
T
b
b
b
L’adhérence de Em
dans Em définit la G-compactification de Thurston Em
de Em
. ConS
b
b
de Em
sidérons la G-compactification de Satake Em
associée à la représentation ρ de G
dans SLm(C).
Théorème 3.1 Les deux compactifications
b
Em
T
et
b
Em
S
T
est propre, et définit ainsi une Sp(2g, Z)-compactification Tor(S) de Tor(S).
b
Notons E2g
l’espace des réseaux de R2g marqués par H 1(S, Z) = Z2g , de covolume 1,
symplectiques (i.e. autoduaux pour la forme symplectique standard b sur R2g ), à isométrie
préservant la forme symplectique près : c’est l’espace symétrique Sp(2g, R)/ SU(g), aussi
appelé demi-espace de Siegel.
Théorème 4.2 (Torelli) L’application période
sont G-isomorphes.
b
Tor(S) → E2g
−1
2g
1
1
2g
[X, f ] 7→ f : Z = H (S, Z) → H (X, R) = R
2. Compactifications de Satake d’espaces symétriques
4. Compactification de l’espace de Torelli
Si G est un groupe de Lie réel connexe semi-simple de centre fini sans facteur compact
(par exemple G = SLm(R)) et si K est un sous-groupe compact maximal de G (par exemple
K = SO(m)), rappelons la compactification de Satake de l’espace symétrique X = G/K
associé à une représentation projective irréductible de noyau fini ρ de G dans un espace
vectoriel complexe de dimension finie V .
Par compacité de K, il existe un produit scalaire hermitien sur V tel que ρ(K) ⊂ PU(V ).
Si f ∈ End(V ), notons f ∗ l’adjoint de f relativement à ce produit scalaire. Notons P(Sym(V ))
l’espace projectif de l’espace vectoriel des applications linéaires hermitiennes de V , il est
muni d’une action à de G par g · [f ] = [ρ(g)f ρ(g)∗].
Fixons une surface topologique S compacte connexe orientée de genre g > 2.
L’espace de Torelli Tor(S) de S est l’ensemble des surfaces hyperboliques compactes X
de genre g, munies d’un isomorphisme f : H 1(X, Z) → H 1(S, Z) (provenant d’une isométrie
S → X), où l’on identifie (X, f ) et (X 0, f 0) s’il existe une isométrie σ : X → X 0 telle que
f 0 = f ◦ σ ∗ : H 1(X 0, Z) → H 1(S, Z). C’est aussi le quotient de l’espace de Teichmüller de S
par le groupe de Torelli, qui est le groupe des classes d’isotopie d’homéomorphismes de S
qui induisent l’identité sur H 1(S, Z) = Z2g .
est un revêtement d’ordre deux sur son image, ramifié sur le lieu hyperelliptique de
Tor(S).
S
b
Notons Tor(S) la compactification définie par la compactification de Satake de E2g
associée à la représentation linéaire tautologique ρ de Sp(2g, R) dans R2g .
T
S
Théorème 4.3 Les deux compactifications Tor(S) et Tor(S) de Tor(S) sont Sp(2g, Z)isomorphes.
Nous décrivons également l’adhérence de l’image de l’application
Théorème 2.1 (Satake) L’application
2g
ψ : Tor(S) → R+Z
2g
−1
[X, f ] 7→ u ∈ Z 7→ ||f (u))|| .
X = G/K → P(Sym(V ))
gK 7→ [ρ(g)ρ(g)∗]
est un plongement d’adhérence compacte, ce qui définit la compactification de Satake
S
X de X associée à la représentation ρ, c’est une compactification G-équivariante.
Figure 1: Une base de H1(S, Z)
Une des motivations de l’étude de bordifications de l’espace de Torelli est une grande question ouverte dans le sujet, de savoir si le groupe de Torelli est de présentation finie lorsque
g > 3.