sujet 2014

ACADEMIE DE LA GUYANE
ZONE AMERIQUE DU SUD
ZONE AMERIQUE CENTRALE, CARAIBES
OLYMPIADES de MATHEMATIQUES
Mercredi 19 mars 2014
Durée : 4 heures
Les quatre exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l’ordre voulu.
Les calculatrices sont autorisées.
L'évaluation portera sur la qualité de l'argumentation mais aussi sur la prise d'initiative et l'originalité
des idées développées.
Il est donc conseillé de bien décrire sa démarche, même si elle n'aboutit pas à la solution complète de
la question, un résultat partiel pouvant avoir son intérêt.
Année 2013/2014
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Exercice National 1 :
Les Triangles TOP
Un triangle est dit TOP si on peut le partager en deux triangles isocèles en traçant un segment joignant un de ses
sommets à un point du côté opposé.
1. Montrer que tout triangle rectangle est un triangle TOP.
2.
a. Montrer que le triangle ci-dessous est un triangle TOP.
b. En est-il de même pour un triangle ayant deux angles de mesures α et β tels que :
0 < α < 45 et β = 2α ?
3.
a. Montrer que le triangle ci-dessous est un triangle TOP.
b. En est-il de même pour tout triangle ayant deux angles de mesure α et β tels que :
0 < α < 45 et β = 3α ?
4. On s’intéresse aux angles des triangles TOP dont un des angles mesure 24°.
On note (24, a, b) avec a ≤ b, les triplets de 3 angles associés.
a. Donner, en utilisant les questions précédentes, une liste de 7 possibilités pour les trois angles de tels
triangles.
b. Tous les triplets d’angles obtenus à la question précédente définissent-ils des triangles TOP ?
c. Y a-t-il d’autres possibilités de triangles TOP avec un des angles égal à 24°?
Année 2013/2014
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Exercice National 2 :
Produit maximal
Soit S un nombre réel strictement positif.
Une partition de S est une liste (sans ordre) de nombres strictement positifs dont la somme vaut S. Les partitions
seront notées entre deux crochets : par exemple,
E = 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 , F = 4 ; 4 , G = 8 , H = 2 ; 2,5 ; 3,5
sont des partitions de 8 car 1 + 1 + 1 + 2 + 3 = 8 ; 4 + 4 = 8 et 2 + 2,5 + 3,5 = 8.
L'ordre des nombres n'a pas d'importance : la partition 1 ; 3 ; 2 ; 1 ; 1 est la même que la partition E.
Pour une partition E, on note p(E) le produit des nombres de la liste. On l'appelle le produit de la partition E.
Avec les exemples précédents, on a :
p(E) = 1 × 1 × 1 × 2 × 3 = 6 ; p(F) = 4 × 4 = 16 ; p(G) = 8 ; p(H) = 2 × 2 ,5 × 3,5 = 17,5.
Le but de l'exercice est de déterminer des partitions pour lesquelles le produit est maximal.
Partie 1 - Partitions entières
Soit S un nombre entier naturel. On dit qu'une partition de S est entière si elle ne contient que des nombres entiers.
(Dans l'introduction, les partitions E, F et G sont entières, la partition H ne l'est pas).
Soit E une partition entière de S. On dit que E est maximale si pour toute autre partition entière F de S, on a p(F) ≤
p(E).
1. Dans cette question, S = 5. Donner les sept partitions entières de 5.
Pour chacune d'elle, calculer son produit.
Quelle est l'unique partition entière maximale de 5 ?
2. Dans la suite, S est un entier supérieur ou égal à 2 et E une partition entière de S.
a. Dans chacun des cas suivants, justifier que E n'est pas une partition entière maximale.
 E est une partition contenant au moins une fois le nombre 6 : E = 6 ; ….
 E est une partition contenant au moins deux fois le nombre 4 : E = 4 ; 4 ; ….
 E est une partition contenant au moins trois fois le nombre 2 : E = 2 ; 2 ; 2 ; ….
 E une partition contenant au moins une fois le nombre 4 et le nombre 2 : E = 4 ; 2 ; ….
 E une partition contenant au moins une fois le nombre 1 : E = 1 ; ….
b. Montrer que si E est une partition contenant un entier a supérieur ou égal à 5 alors E n'est pas une
partition entière maximale.
3. En utilisant la question précédente,
 donner l'unique partition entière maximale de 20 et son produit,
 donner les deux partitions entières maximales de 40 et leur produit.
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Partie 2 - Partitions réelles
Dans cette partie, S est un nombre réel supérieur à 1, et les partitions ne contiennent plus forcément que des
nombres entiers.
Soit E une partition de S. On dit que E est une partition record si pour toute autre partition F on a p(F) ≤ p(E).
1. Proposer une partition de 5 dont le produit est strictement supérieur à 6.
2. Montrer que si a et b sont deux nombres réels tels que
alors ( )
.
En déduire que si une partition E contient deux réels distincts a et b alors E n'est pas une partition record.
3. Une partition record de S est donc formée de la répétition de n fois un même nombre a.
Dans la suite, on note En la partition de S :
En = a ; a ; … ; a ; a avec n répétitions du nombre a.
Exprimer p(En) en fonction de S et de n.
4. À l'aide de la calculatrice,
 déterminer la partition record de 20 et son produit (arrondi au dixième) ;
 déterminer la partition record de 40 et son produit (arrondi au dixième).
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Exercice Académique 1
Carrure d’un entier
Dans tout le problème, est un entier supérieur ou égal à 1. On appelle carrure de , notée
, le plus grand
entier tel qu’on puisse faire entrer les carrés de côté 1, 2,..., dans un carré de côté , sans qu’ils ne se
chevauchent.
Par exemple la carrure de 5 est 3, car les carrés de côté 1, 2, 3 entrent
dans le carré de côté 5 sans se chevaucher, et qu’on ne peut pas faire
entrer en plus le carré de côté 4. Voici un dessin représentant les carrés
de côté 1, 2, 3 dans un carré de côté 5 :
3
2
1
1. Carrure de quelques entiers
(a) Déterminer la carrure de tous les entiers compris entre 1 et 10. (On pourra appuyer son raisonnement sur
des dessins similaires à celui donné en exemple pour la carrure de 5)
(b) Justifier que la carrure est une fonction croissante de , c’est-à-dire que si et sont deux entiers tels que
, alors
.
2. Quelques majorations de
(a) Montrer que si
est un nombre pair, on ne peut pas faire entrer un carré de côté
dans un carré de côté
et un carré de côté
sans qu’ils ne se chevauchent. En déduire que
(1)
(b) De manière analogue, montrer que si
est impair,
(2)
(c) En raisonnant sur l’aire totale des carrés, montrer que
En déduire que
(3)
On pourra utiliser sans la démontrer l’inégalité suivante, vraie pour tout entier naturel
(d) En déduire que pour
assez grand, on ne peut plus avoir égalité dans les inégalités ( 1 ) et ( 2 ).
3. Cas limites
On cherche les plus petites valeurs de
(a) Calculer
égaux à 15.
,
et
pour lesquelles les inégalités ( 1 ) et ( 2 ) ne sont pas des égalités.
. En déduire que
(b) Quelle est la plus petite valeur de l’entier impair
pour tous les entiers impairs
tel que
(c) A l’aide des questions précédentes, montrer que
à 16.
(d) Quelle est la plus petite valeur de l’entier pair tel que
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:
inférieurs ou
?
pour tous les entiers pairs
inférieurs ou égaux
?
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Exercice Académique 2
Itération modulo 10
Partant d’un entier entre 0 et 9, on s’intéresse aux transformations successives qu’il subit en appliquant une
fonction, et en ne gardant à chaque fois que le chiffre des unités. Par exemple, si on considère la fonction
, et que l’on part de l’entier 6, on obtient successivement :
on ne garde que le chiffre des unités : 3 ;
on garde bien sûr le chiffre tel quel : 7 ;
on ne garde que le 5 ;
on ne garde que le 1 ;
etc.
…
On pourrait continuer indéfiniment, mais on constate que le processus a bouclé puisqu’on est retombé sur 3 puis 7,
qu’on avait déjà obtenu auparavant.
On appellera orbite d’un entier compris entre 0 et 9, sous l’action de la fonction f, la suite des entiers successifs
obtenus en appliquant f et en gardant que le chiffre des unités. Dans l’exemple précédent, l’orbite de 6 est (6, 3, 7, 5,
1, 3, 7, 5, 1, …). Elle se décompose en deux phases :
- une première séquence transitoire : (6, 3).
- une séquence qui se répète indéfiniment : (3, 7, 5, 1). Une telle séquence sera appelée un cycle. Le nombre
d’entiers qu’il contient, ici 4, sera appelé la longueur du cycle.
1. Question préliminaire : Expliquer brièvement pourquoi l’orbite d’un entier finit toujours par boucler sur un
cycle, quelle que soit la fonction appliquée.
L’orbite de 6 sous l’action de
sera représentée par le diagramme suivant :
1
3
6
5
7
2. Cartographie de
Dans cette première partie, on poursuit l’étude des orbites pour la fonction
.
(a) Déterminer l’orbite de 2. La représenter par un diagramme comme celui représentant l’orbite de 6.
(b) Proposer un diagramme représentant l’orbite de tous les entiers de 0 à 9, excepté 2, 4, 6 et 9.
(c) Déterminer l’orbite de 4 puis de 9 et proposer un diagramme pour représenter ces deux orbites.
On s’aperçoit que 2 cycles différents suffisent à caractériser l’action de
cartographie de
.
Pour que le concept soit bien compris, voici la cartographie de
différents :
2
5
4
. On dit qu’on a dressé la
, qui comporte également 2 cycles
3
1
0
7
6
8
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3. Cartographie des fonctions
(d) Dresser la cartographie de
vous l’expliquer ?
(e) Dresser la cartographie de
(f) Dresser la cartographie de
calcul.
(g) Dresser la cartographie de
,
. Que constate-t-on quand on compare à celle de
.
et expliquer comment elle se déduit de celle de
Année 2013/2014
sans aucun
.
4. Cartographie des fonctions
(h) Dresser la cartographie de
(i) Dresser la cartographie de
(j) Déterminer le plus petit entier
de longueur 1.
(k) Dresser la cartographie de
? Sauriez-
,
.
sans effectuer aucun calcul.
tel que l’action
n’admet que des points fixes, c’est-à-dire des cycles
.
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