La division - Mathsources

Collège Elie COUTAREL
Année 2008-2009.
G.MANDALLAZ.
Ecrit avec LATEX
Division euclidienne et Division décimale
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La division euclidienne
Définition 1
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier b différent de 0, c’est trouver le quotient
entier q et le reste r.
Remarque 1
Ce qu’il est important de retenir de la définition, c’est que la division euclidienne n’utilise que des nombres entiers.
Rappel de la technique opératoire avec a = 423 et b = 18.
423
63
9
18
23
l Dans 42, combien de fois 18 ?
2 × 18 = 36
3 × 18 = 54
Donc 2 fois et il reste 42 − 36 = 6.
l On abaisse le chiffre suivant 3 et on recommence jusqu’à épuisement des chiffres.
Vocabulaire : 423 est le dividende, 18 est le diviseur, 23 est le quotient et 9 est le reste.
dividende = diviseur × quotient + reste (avec reste < diviseur)
Dans le cas précédent, on a bien : 423 = 18 × 23 + 9 et 9 < 18.
Définition 2
On dit que a est un multiple de b ou a est divisible par b lorsque le reste de la division de a par b est égal à 0.
Exemple 1
36 est un multiple de 18. En effet, 36 = 18 × 2.
La division de 36 par 18 donne un quotient q = 2 et un reste r = 0.
1
2
La division décimale
Définition 3
Effectuer une division décimale d’un nombre a par un nombre b différent de 0, c’est calculer le quotient exact, ou
une valeur approchée, de a par b.
Exemple 2
F Effectuons le calcul : 42, 1 : 5
421
210
100
0
50
8,4 2
donc 42, 1 : 5 = 8, 42 ( quotient exact ).
Dans ce calcul, on a déplacé la virgule du dividende et du diviseur afin de ne plus avoir de décimales, mais
cela n’est pas obligatoire.
F Effectuons le calcul : 100 : 3
100
10
10
1
3
3 3,3
donc 100 : 3 ≈ 33, 3 ( valeur approchée ).
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Les critères de divisibilité
Il existe quelques astuces pour savoir si un nombre en divise un autre, ce sont les critères de divisibilité.
3.1
Critère de divisibilité par 2
Propriété 1
Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est pair.
Exemple 3
1 684 et 19 8746 358 sont divisibles par 2.
3.2
Critère de divisibilité par 5
Propriété 2
Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
Exemple 4
9 865 et 17 040 sont divisibles par 5.
2
3.3
Critère de divisibilité par 10
Propriété 3
Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
Exemple 5
17 040 est divisible par 10.
3.4
Critère de divisibilité par 3
Propriété 4
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exemple 6
384 et 98 742 sont divisibles par 3 car 3+8+4=15 et 9+8+7+4+2=30 qui sont divisibles par 3.
3.5
Critère de divisibilité par 9
Propriété 5
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple 7
1 674 et 111 457 117 sont divisibles par 9 car 1+6+7+4=18 et 1+1+1+4+5+7+1+1+6=27 qui sont divisibles par
9.
3.6
Critère de divisibilité par 11
Propriété 6
Un nombre entier est divisible par 1 lorsque la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.
Exemple 8
6 091 789 est divisible par 11 car 9-8+7-1+9-0+6=22 qui est divisible par 11.
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