Chapitre 8 Champ magnétique 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Introduction Champ Magnétique Force magnétique Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique Force de Lorentz et applications Cyclotron et Synchroton Force magnétique sur un conducteur Moment de force sur une boucle de courant L’effet Hall 2 2. Champ Magnétique • Symbole : 𝑩 • Le tesla : T ▫ En l’honneur de Tesla • N N B T C m/ s A m • Autre unité : Gauss 1G 10 T ▫ Pour des mesures plus faibles 4 3 3. Étude du mouvement d’une particule chargée • B est uniforme • Force magnétique : 𝑭𝑩 ou 𝑭𝒎 FB qv B ▫ 𝐹𝐵𝑥 = 𝑞 𝑣𝑦 𝐵𝑧 − 𝑣𝑧 𝐵𝑦 ▫ 𝐹𝐵𝑦 = 𝑞 𝑣𝑧 𝐵𝑥 − 𝑣𝑥 𝐵𝑧 ▫ 𝐹𝐵𝑧 = 𝑞 𝑣𝑥 𝐵𝑦 − 𝑣𝑦 𝐵𝑥 [N] FB q vB sin 𝐹𝐵 sera perpendiculaire au plan formé par 𝑣 et 𝐵 Unité de B : 𝐵 = 𝐹 𝑞𝑣 = 𝑁 𝐶𝑚. 𝑠 −1 𝑒𝑡 𝐶. 𝑠 −1 = 𝐴 4 3. Rappels Mathématiques • Produit vectoriel : 𝐴 = 𝐵 ⊗ 𝐶 ou 𝐴=𝐵×𝐶 𝐴=𝐵∧𝐶 ou • Développement : 𝐴𝑥 = 𝐵𝑦 ⋅ 𝐶𝑧 − 𝐵𝑧 ⋅ 𝐶𝑦 𝐴𝑦 = 𝐵𝑧 ⋅ 𝐶𝑥 − 𝐵𝑥 ⋅ 𝐶𝑧 𝐴𝑧 = 𝐵𝑥 ⋅ 𝐶𝑦 − 𝐵𝑦 ⋅ 𝐶𝑥 • 𝑖 ⊗ 𝑗 = 𝑘 mais 𝑗 ⊗ 𝑖 = −𝑘 𝑖⊗𝑖=0 • Convention : ▫ ⊙ signifie que le vecteur est sortant de la feuille ▫ ⊗ signifie que le vecteur est entrant dans la feuille 5 3. Règle de la main droite La règle de la main droite fonctionne pour les charge positive. 6 3. Exercices • E2 : un électron se déplace dans le sens négatif de l’axe des y à 106 𝑚/𝑠, perpendiculairement à un champ magnétique uniforme. LA force magnétique agissant sur l’électron est de 3,2 × 10−15 𝑖 𝑁. ▫ Quels sont le module et le sens du champ magnétique ? • E7 : une particule de charge −4𝜇𝐶 a une vitesse instantanée : 𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 + 1𝑘 × 106 𝑚/𝑠 dans un champ magnétique uniforme : 𝐵 = 2𝑖 + 5𝑗 − 3𝑘 × 10−2 𝑇. ▫ Quelle est la force magnétique agissant sur la charge ? 7 4. Mouvement d’une particule chargée dans B • On a : 𝐹 = 𝑚𝑎 • Pour mouvement circulaire : ▫ Accélération centripète : 𝑎= 𝑣² 𝑟 v est le module de la vitesse sur la trajectoire circulaire, qui est perpendiculaire à a r est le rayon de la trajectoire 𝑚 ▫ Rayon de la trajectoire : 𝑟= 𝑚𝑣 𝑞𝐵 Quantité de mouvement 8 4. Mouvement d’une particule chargée dans B • Vitesse angulaire ▫ Ou appelée la fréquence angulaire 𝑣 𝑞𝐵 𝜔= = 𝑟 𝑚 [𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠 −1 ] • T est la période du mouvement 2𝜋 2𝜋𝑚 𝑇= = 𝜔 𝑞𝐵 [𝑠] • F est la fréquence du mouvement 𝜔 𝑞𝐵 𝑓= = 𝑠 −1 = [𝐻𝑧] 2𝜋 2𝜋𝑚 • Énergie : 1𝑒𝑉 = 1,602 ∙ 10−19 𝐽 9 4. Exemple • E28 : un proton se déplace à la vitesse de module 107 𝑚 , 𝑠 3× perpendiculairement à un champ magnétique uniforme de module 0,05 𝑇. ▫ Quel est le rayon de la trajectoire ? ▫ Quelle est la période du mouvement ? 10 4. Mouvement hélicoïdale Composante parallèle à B Composante perpendiculaire à B • Nommée : 𝑣∥ • Nommée : 𝑣⊥ • 𝐹∥ = 0 • 𝐹⊥ = 𝑞 𝑣⊥ 𝐵 ▫ Trajectoire rectiligne ▫ Mouvement circulaire Mouvement Hélicoïdale = Mouvement circulaire + Trajectoire rectiligne Pas de l’hélice : d [m] 2𝜋𝑚 𝑑 = 𝑣∥ 𝑇 = 𝑣∥ 𝑞𝐵 11 5. Combinaison de E et B • Force résultante : Force de Lorentz • Combinaison d’un champ électrique et d’un champ magnétique 𝐹 = 𝐹𝐸 + 𝐹𝐵 𝐹 = 𝑞𝐸 + 𝑞𝑣 ⊗ 𝐵 𝐹 =𝑞 𝐸+𝑣⊗𝐵 12 5. Application Sélecteur de vitesse • Trie un faisceau de particules chargées selon leur vitesse • Fonctionnement : ▫ 2 plaques parallèles E uniforme FE ▫ B uniforme → FB • La force de Lorentz est nulle 𝐹𝐸 = −𝐹𝐵 E v B Spectromètre de masse • Mesure masse des atomes et des molécules ▫ Sépare les ions atomiques et moléculaires selon m/q • 𝑚 𝑞 = 𝑟𝐵2 avec 𝑣 𝓋= 𝐸 𝐵1 13 5. Exemple • Un électron pénètre dans une région de l’espace où 𝐸 = 9,5 × 103 𝑉/𝑚 et B= 4,0 × 10−3 T. Leur directions sont perpendiculaires comme le montre le schéma. Dessiner les vecteurs de la force électrique et de la force magnétique pour que l’électron ne soit pas dévié. Quelles doivent être la direction et la vitesse de l’électron pour qu’il ne soit pas dévié ? Quel serait le rayon du mouvement circulaire si on supprime le champ électrique en gardant v? 𝐵 𝐸 14 6. Cyclotron et synchroton cyclotron Synchrotron 1. Deux plaques chargées en forme de demi cylindre. 2. Particules entrent dans l’un des deux cylindres : Champ magnétique 3. Particules sortent du cylindre et se retrouvent entre les 2 cylindres qB f 2m • http://home.cern/fr/about/accelerators 15 6. Exemple • Calculer l’énergie cinétique maximale des protons accélérés dans un cyclotron de 0,50m de rayon sous l’action d’un champ magnétique de 0,35 T. 16 7. Force magnétique sur conducteur parcouru par un courant FB NI B Règle de la main droite s’applique : • Index : ℓ (donc I) • Majeur : 𝐵 • Pouce : 𝐹𝐵 dFB NId B 𝐵 ℓ I 𝐹𝐵 17 8. Moment de la force ▫ Boucle de courant est soumise à un moment de force net qui tend à lui imprimer un mouvement de rotation 1 Bras de levier : r a sin 2 NIABsin • Boucle de courant = Dipôle Magnétique • Moment magnétique dipolaire : μ NIAun ▫ Unité SI : A.m² ▫ Moment de force B ▫ Énergie potentielle U B B