8 Corps finis et leur clôture algébrique

8 Corps finis et leur clôture
algébrique
Version du 5 janvier 2006
30
30.1
Corps finis
Cardinal et groupe multiplicatif d’un corps fini
Soit k un corps fini. Son sous-corps premier est fini donc, d’après le
paragraphe 23.1, k est de caractéristique p > 0. On identifiera son souscorps premier à Fp = Z/pZ. Tout corps contenant k a même sous-corps
premier, donc est aussi de caractéristique p.
Lemme 30.1.1 Soient k ⊆ k 0 deux corps finis, de cardinal q et q 0 respectivement.
1) On a q 0 = q n , où n = [k 0 : k].
2) Par conséquent, si p = car(k) et m = [k : Fp ], alors q = pm et
q 0 = pmn .
Démonstration. 1) Comme k 0 est fini, c’est un k-espace vectoriel de dimension finie n. Alors k 0 ∼
= k n comme k-espace vectoriel, et donc |k 0 | = |k|n .
Ceci prouve 1).
Le même argument appliqué à Fp ⊆ k montre que q = pm , d’où le lemme.
¤
Corollaire 30.1.2 Si k est un corps fini de caractéristique p, alors le cardinal de k est une puissance de p.
Théorème 30.1.3 (Groupe multiplicatif d’un corps fini)
Soit k un corps fini de cardinal q = pn . Le groupe multiplicatif k × =
k \ {0} est un groupe cyclique d’ordre q − 1.
235
236
Algèbre et théorie de Galois 2005-2006
Démonstration. k × est un groupe abélien fini ; c’est donc un Z-module
de type fini et de torsion. D’après le théorème de structure des modules de
type fini sur un anneau principal, il existe des entiers d1 ≥ · · · ≥ dr > 1 tels
que di divise di−1 , pour i = r, r − 1, . . . , 2 et
k× ∼
= Z/d1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/dr Z.
Alors, d’une part, |k × | = d1 d2 · · · dr et, d’autre part, tout élément x ∈ k ×
vérifie xd = 1, où d = d1 . Or, comme k[X] est intègre, le polynôme X d − 1 a
au plus d racines dans k. Il en résulte que r = 1 et k × ∼
= Z/dZ est cyclique,
×
d’ordre d = |k | = q − 1. Ceci prouve le théorème. ¤
30.2
La formule du binôme
Soient k, n deux entiers tels que 0 ≤ k ≤ n. On rappelle la définition du
coefficient binomial :
µ ¶
n
n!
:=
.
k
k!(n − k)!
(On le note aussi Cnk .) C’est le nombre de façons de choisir k éléments dans
un ensemble à n éléments. Pour k = 0 ou n, ceci vaut 1. On rappelle aussi
la formule de Pascal (pour k ≥ 1) :
µ ¶ µ
¶ µ
¶
n
n−1
n−1
=
+
,
k
k
k−1
qu’on obtient en remarquant que, quand on prend k éléments dans {1, . . . , n},
on peut ou bien prendre, ou ne pas prendre, n. On rappelle aussi la formule
du binôme, valable dans tout anneau commutatif.
Lemme 30.2.1 (Formule du binôme)
Soit A un anneau commutatif et a, b ∈ A. Pour tout n ≥ 1, on a :
n µ ¶
X
n i n−i
n
(a + b) =
ab .
i
i=0
Démonstration. Par récurrence sur n, en utilisant la formule de Pascal.
¤
¡ ¢
Lemme 30.2.2 Soit p ∈ N un nombre premier. Alors p divise kp pour tout
k = 1, . . . , p − 1.
¡ ¢
Démonstration.
p divise p! = k!(p − k)! kp et est premier avec k!(p − k)!,
¡p¢
donc divise k . ¤
Patrick Polo
30.3
237
Endomorphismes de Frobenius
Proposition 30.3.1 (L’endomorphisme de Frobenius Frp )
Soit K un corps de caractéristique p > 0. Alors l’application x 7→ xp est
un endomorphisme du corps K, noté Frp . De plus, si K est fini, alors Frp
est un automorphisme de K.
Démonstration. Il est clair que 1p = 1 et (ab)p = ap bp pour tout a, b ∈ K.
L’égalité (a + b)p = ap + bp résulte de la formule du binôme et du lemme
précédent. Donc, Frp est un morphisme de corps de K vers K, c.-à-d., un endomorphisme de corps de K. Il est bien sûr injectif, comme tout morphisme
de corps. Par conséquent, si K est fini, Frp est bijectif donc un automorphisme de K. ¤
Corollaire 30.3.2 (Les endomorphismes de Frobenius Frq = Frpn )
Soient K un corps de caractéristique p > 0 et n ≥ 1. L’application
n
Frnp := Frp ◦ · · · ◦ Frp (n fois), qui à tout x associe xp , est un endomorphisme
du corps K. On le note aussi Frpn ou Frq si q = pn . Si K est fini, c’est un
automorphisme de K.
Démonstration. Ceci résulte immédiatement de la proposition précédente.
¤
n
Corollaire
¡q¢ 30.3.3 Soient p un nombre premier, n ≥ 1 et q = p . Alors p
divise i pour tout i = 1, . . . , q − 1.
Démonstration. Plaçons-nous dans le corps K = Fp (X) des fractions
rationnelles sur Fp et notons π la projection Z → Fp . D’une part, on a
(1)
q
(1 + X) =
q
X
i=0
µ ¶
q
π(
)X i .
i
D’autre part, comme Frq = Frnp est un endomorphisme de K, l’on a
(2)
(1 + X)q = 1 + X q .
En comparant (1) et (2), on obtient que
Ceci prouve le corollaire. ¤
¡q¢
i
≡ 0 mod. p, pour i = 1, . . . , q −1.
238
Algèbre et théorie de Galois 2005-2006
30.4
Existence et unicité des corps Fpn
Lemme 30.4.1 Soient K un corps et τ un endomorphisme de K. Alors
l’ensemble des éléments invariants
K τ := {x ∈ K | τ (x) = x}
est un sous-corps de K.
Démonstration. C’est clair. ¤
Théorème 30.4.2 (Existence et unicité de Fq )
Soient p un nombre premier, n ≥ 1 et q = pn . Soit K un corps de décomposition sur Fp du polynôme X q − X. Alors, |K| = q. Réciproquement,
tout corps fini à q éléments est isomorphe à K. Par conséquent, il existe à
isomorphisme près, un unique corps fini à q éléments. On le note Fq ou Fpn .
Démonstration. Soit K un corps de décomposition du polynôme Q :=
− X sur Fp . Le polynôme dérivé Q0 égale −1 donc n’a pas de racines en
commun avec Q. Par conséquent, d’après la proposition 25.2.3, Q a q racines
distinctes dans K.
Or, le point-clé est que ces racines sont exactement les solutions de
l’équation xq = x, c.-à-d., les éléments de K fixés par l’endomorphisme Frq .
Par conséquent, ces racines forment un sous-corps K1 de K, de cardinal q.
Comme, par hypothèse, K est engendré par ces racines, on obtient K = K1 ,
et donc K est de cardinal q. Ceci prouve le point 1).
Xq
Réciproquement, supposons que L soit un autre corps fini de cardinal q.
D’après le théorème 30.1.3, le groupe multiplicatif L× est cyclique, d’ordre
q − 1. Donc, tout élément x ∈ L× vérifie
xq−1 = 1 et donc xq = x.
Donc, tout élément de L = L× ∪ {0} est une racine du polynôme Q =
X q − X. Comme |L| = q, alors Q a toutes ses racines dans L, et puisque
leur ensemble égale L tout entier, L est un corps de décomposition de Q
sur Fp . Par conséquent, d’après le théorème 24.2.3, L est isomorphe à K. Le
théorème est démontré. ¤
Théorème 30.4.3 (Existence et unicité des extensions Fq ⊆ Fqn )
Soient p un nombre premier, q = pd et q 0 = pn deux puissances de p.
1) S’il existe une extension Fq ⊆ Fq0 alors q 0 est une puissance de q,
c.-à-d., n est un multiple de d.
Patrick Polo
239
2) Réciproquement, si n = rd, c.-à-d., si q 0 = q r , alors le corps Fq0
contient un unique sous-corps de cardinal q ; c’est le sous-corps des invariants de Frq .
Démonstration. 1) On a déjà vu (lemme 30.1.1) que si Fq ⊆ Fq0 alors Fq0
est un Fq -espace vectoriel de dimension finie r, d’où q 0 = q r , c.-à-d., n = dr.
2) Réciproquement, supposons n = dr, c.-à-d., q 0 = q r . D’après le théorème précédent, le polynôme
0
r
Xq − X = Xq − X
est scindé dans Fq0 et ses racines, deux à deux distinctes, sont exactement
les éléments de Fq0 . D’autre part,
r
2
r
r−1
Xq − X = Xq − X + Xq − Xq + · · · + Xq − Xq
r−1
= X q − X + (X q − X)q + · · · + (X q − X)q .
r
Donc X q −X divise X q −X et a aussi toutes ses racines dans Fq0 . Ces racines
sont exactement les points fixes dans Fq0 de l’endomorphisme de Frobenius
Frq , donc forment un sous-corps K de cardinal q, isomorphe à Fq .
Enfin, supposons que L soit un autre sous-corps de Fq0 de cardinal q.
D’après le théorème 30.1.3, le groupe multiplicatif L× est cyclique, d’ordre
q − 1. Donc, tout élément x ∈ L× vérifie
xq−1 = 1 et donc xq = x.
Par conséquent, les éléments de L = L× ∪ {0} sont exactement les racines
dans Fq0 du polynôme X q −X. Il en résulte L = K. Le théorème est démontré.
¤
30.5
Groupe de Galois de Fqn sur Fq
Lemme 30.5.1 Soit G un groupe fini.
1) Pour tout sous-groupe H, on a |G| = |H| · |G/H|. En particulier, |H|
divise |G|.
2) Soit g ∈ G. L’ensemble {n ∈ Z | g n = 1} est un sous-groupe nonnul de Z, donc de la forme dZ, pour un certain d ≥ 1, appelé l’ordre de
g. On a d = 1 ⇔ g = 1. Le sous-groupe de G engendré par g est égal à
{1, g, . . . , g d−1 } ; il est de cardinal d et isomorphe à Z/dZ. En particulier, d
divise n.
240
Algèbre et théorie de Galois 2005-2006
Démonstration. On rappelle que G/H désigne l’ensemble des classes à
gauche gH. C’est un ensemble fini, puisque G est fini. De plus, deux classes
distinctes gH 6= g 0 H sont disjointes. En effet, sinon il existerait h, h0 ∈ H
tels que gh = g 0 h0 , et l’on aurait gH = g 0 H. De plus, chaque classe gH est
de cardinal |H|, puisque l’application H 7→ gH, h 7→ gh est une bijection.
Donc G est la réunion disjointe de |G/H| classes, chacune de cardinal |H|.
Le point 1) en résulte.
Soit g ∈ G. On pose g 0 = 1. Comme G est fini, les éléments g k , k ≥ 1,
ne peuvent être tous distincts. Donc il existe r < s tels que g r = g s , d’où
g s−r = 1. Ceci montre que l’ensemble
{n ∈ Z | g n = 1}
n’est pas réduit à {0}. Comme g m g n = g m+n , on voit que cet ensemble est
un sous-groupe non nul de Z, donc est de la forme dZ, pour un unique d ≥ 1,
et le reste du point 2) s’obtient facilement. ¤
Théorème 30.5.2 (L’isomorphisme Gal(Fqn /Fq ) ∼
= Z/nZ ) Soient n ≥ 1
et q une puissance d’un nombre premier p.
L’extension Fq ⊆ Fqn est galoisienne. Son groupe de Galois Gal(Fqn /Fq )
est cyclique d’ordre n, engendré par l’automorphisme de Frobenius Frq .
Démonstration. Fqn est un corps de décomposition du polynôme Q =
sur Fp , donc a fortiori sur Fq . De plus, Q a des racines distinctes dans
Fqn (puisque Q0 = −1) donc est séparable sur Fq . Donc, d’après le deuxième
théorème fondamental (26.1.5), l’extension Fq ⊆ Fqn est galoisienne. De plus,
d’après le théorème d’Artin (26.3.1), on a
n
X q −X
|Gal(Fqn /Fq )| = [Fqn : Fq ] = n.
D’autre part, Frq est un Fq -automorphisme de Fqn , c.-à-d., un élément de
Gal(Fqn /Fq ) ; soit d son ordre. L’égalité Frdq = idFqn équivaut à
∀x ∈ Fqn ,
d
d
x = Frdq (x) = xq .
Comme le polynôme X q − X a au plus q d racines, ceci entraîne que d ≥ n.
Par conséquent, d = n et donc Frq est un générateur de Gal(Fqn /Fq ), qui est
donc isomorphe à Z/nZ. Le théorème est démontré. ¤
Patrick Polo
30.6
241
Théorème de l’élément primitif, et polynômes irréductibles sur Fq
On rappelle qu’une extension k ⊂ K est dite monogène s’il existe ξ ∈ K
tel que K = k(ξ) ; dans ce cas, on dit que ξ est un élément primitif de K
sur k.
Théorème 30.6.1 On considère une extension Fq ⊂ Fqn . Soit ξ un générateur du groupe multiplicatif F×
qn .
1) Fqn = Fq [ξ], c.-à-d., ξ est un élément primitif.
2) Le polynôme minimal IrrFq (ξ) est de degré n.
n
Démonstration. 1) est clair car Fq [ξ] contient {1, ξ, ξ 2 , . . . , ξ q −1 } = F×
qn ,
ainsi que 0, donc égale Fqn . Le point 2) en découle car le degré de IrrFq (ξ)
est le degré sur Fq de Fq [ξ] = Fq , qui égale n. ¤
Corollaire 30.6.2 Pour tout corps fini Fq , et tout n ≥ 1, il existe dans
Fq [X] au moins un polynôme irréductible unitaire de degré n.
Définition 30.6.3 Pour tout d ≥ 1, notons I(d, q) l’ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degré d dans Fq [X] et posons i(d, q) =
|I(d, q)|.
Théorème 30.6.4 Pour tout n ≥ 1, on a
Y Y
n
(1)
Xq − X =
P.
d|n P ∈I(d,q)
Par conséquent,
(2)
qn =
X
d i(d, q).
d|n
Démonstration. Fixons n ≥ 1. On va démontrer le théorème en trois
étapes.
1. Soient d divisant n et P ∈ I(d, q). Le corps de rupture Fq [X]/(P ) est de
degré d sur Fq , donc est isomorphe à Fqd . Par conséquent, P a au moins une
racine α dans Fqd . Comme, d’après le théorème 30.5.2, l’extension Fq ⊆ Fqd
est galoisienne, alors P = IrrFq (α) est scindé sur Fqd . Par conséquent, P
divise le polynôme
Y
d
(∗d )
Xq − X =
(X − x).
x∈Fqd
242
Algèbre et théorie de Galois 2005-2006
d
De plus, on a vu dans la preuve du théorème 30.4.3 que X q − X divise
n
X q − X. Ceci découle aussi de l’inclusion Fqd ⊆ Fqn (établie en 30.4.3), et
de l’égalité
(∗n )
n
Xq − X =
Y
(X − x).
x∈Fqn
n
Donc, P divise Qn := X q − X. Ceci montre que Qn est divisible par le
terme de droite de (1).
2. Réciproquement, soit R un facteur irréductible, unitaire, de degré d,
de Qn dans Fq [X] et soit α une racine de R dans Fqn . Alors R = IrrFq (α) et
donc degFq (α) = d. Par conséquent, on a
Fq d ∼
= Fq [α] ⊆ Fqn ,
et, d’après le théorème 30.4.3, ceci entraîne que d | n. Ceci montre que Qn
n’a pas d’autres facteurs irréductibles que les P ∈ I(d, q), pour d | n.
3. Enfin, les facteurs irréductibles de Qn sont tous de multiplicité 1,
puisque Qn a des racines simples, d’après (∗n ). Ceci prouve l’égalité (1) du
théorème, et l’égalité (2) en découle en prenant les degrés. ¤
Théorème 30.6.5 (Polynômes irréductibles sur Fq ) Soit P ∈ I(d, q)
et soit α ∈ Fqd une racine de P . Alors,
(3)
P = (X − α)(X − αq ) · · · (X − αq
d−1
).
Démonstration. D’après le théorème 30.5.2, l’extension Fq ⊆ Fqd est galoisienne, de groupe
∼
G := Gal(Fqd /Fq ) = {1, Frq , . . . , Frd−1
q } = Z/dZ.
D’autre part, d’après la proposition 24.3.2, l’on a :
P = IrrFq (α) =
Y
(X − β).
β∈Gα
Comme deg P = d, l’orbite Gα a d éléments ; elle est donc formée des éléd−1
ments α, αq , . . . , αq , qui sont deux à deux distincts. Ceci prouve le théorème. ¤
Patrick Polo
31
31.1
243
Clôtures algébriques
Corps algébriquement clos
Définition 31.1.1 Soit k ⊆ K une extension de corps et soit P ∈ k[X] non
constant. On dit que P est scindé dans K[X], ou sur K, si P se décompose
dans K[X] comme produit de facteurs du premier degré, c.-à-d.,
P = c(X − α1 ) · · · (X − αd ),
où d = deg P , c est le coefficient dominant de P , et les αi sont dans K (pas
nécessairement distincts).
Définition 31.1.2 Un corps K est dit algébriquement clos si tout P ∈
K[X] non constant a au moins une racine dans K.
Lemme 31.1.3 Si K est algébriquement clos, tout P ∈ K[X] non constant
est scindé.
Démonstration. Par récurrence sur d = deg P . C’est clair si d = 1. Supposons d ≥ 2 et l’assertion établie en degré < d. Soit P ∈ K[X] de degré d.
Comme K est algébriquement clos, P possède dans K au moins un racine
α, donc se factorise en P = (X − α)Q, avec Q ∈ K[X] de degré d − 1. Par
hypothèse de récurrence, Q est scindé dans K[X], et donc il en est de même
de P . ¤
Définition 31.1.4 Soit k ⊆ K une extension de corps. On dit que K est une
clôture algébrique de k si K est algébriquement clos et si tout élément
de K est algébrique sur k.
31.2
Le corps Fp
Soit (mi )i≥1 une suite d’entiers ≥ 1 tendant vers +∞ et « suffisamment
divisible » au sens suivant : pour tout i ≥ 1, mi divise mi+1 , et i divise mi .
On peut prendre, par exemple, mi = i!.
Posons K0 = Fp et pour tout i ≥ 1, soit Ki un corps de décomposition
sur Ki−1 du polynôme
m
X p i − X.
Alors, Ki ∼
= Fpmi et on a une suite croissante
K0 ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ · · ·
On note Fp la réunion des Ki .
244
Algèbre et théorie de Galois 2005-2006
Proposition 31.2.1 (Premières propriétés de Fp )
1) Pour tout d ≥ 1, Fp contient un unique sous-corps de cardinal pd ; on
le notera Fpd (Fp ).
S
2) Fixons r ≥ 1 et q = pr . On a Fp = n≥1 Fqn! (Fp ).
Démonstration. 1) Soient d ≥ 1 et q = pd . Par hypothèse, d divise md
donc
Fpd ⊆ Fpmd ⊆ Fp .
De plus, le polynôme X q − X a toutes ses racines, deux à deux distinctes,
dans Fq , et ces racines sont exactement les éléments de Fq .
Par conséquent, Fq est l’unique sous-corps de Fp de cardinal q. En effet,
si L en est un autre alors, comme le groupe multiplicatif L× est cyclique
d’ordre q − 1, les éléments de L sont exactement les racines dans Fp du
polynôme X q − X, c.-à-d., les élément de Fq . Ceci prouve le point 1).
2) Pour tout d ≥ 1, notons simplement Fpd l’unique sous-corps de Fp de
cardinal pd . Par définition, l’on a
[
Fp =
Fpmi .
i≥1
Fixons q = pr et montrons que
[
[
(∗)
Fpmi =
Fqn! .
i≥1
n≥1
Pour tout i ≥ 1, on a Fpmi ⊆ Fqmi ! , puisque mi divise mi !. Ceci prouve
l’inclusion ⊆. Réciproquement, soit n ≥ 1. Par hypothèse, i = rn! divise
mi = mrn! et donc Fqn! ⊆ Fpmrn! . Ceci prouve l’inclusion ⊇, et donc l’égalité
dans (∗). La proposition est démontrée. ¤
Théorème 31.2.2 (Existence et unicité d’une clôture algébrique de
Fq )
1) Fp est une clôture algébrique de Fq , pour tout q = pd .
2) Toute clôture algébrique de Fq est Fq -isomorphe à Fp .
Démonstration. Fixons q = pd et désignons par Fq l’unique sous-corps de
Fp à q éléments.
1) Soit x ∈ Fp . Il existe i ≥ 1 tel que x ∈ Fpmi , et donc x est algébrique
sur Fp , et a fortiori sur Fq . Donc, pour prouver 1), il suffit de montrer que
Fp est algébriquement clos. Soit P = X d + a1 X d−1 + · · · + ad ∈ Fp [X],
Patrick Polo
245
non constant. Il existe i ≥ 1 tel que a0 , . . . , ad ∈ Fpi . Soit K un corps de
décomposition de P sur Fpi et soit r = [K : Fpi ]. Alors K est isomorphe au
sous-corps Fpir de Fp et donc P est scindé sur ce sous-corps, a fortiori sur
Fp . Ceci prouve que Fp est une clôture algébrique de Fq .
Posons K = Fp et, pour tout n ≥ 1, désignons par Kn l’unique sous-corps
de K de cardinal q n! . Ainsi, K1 est le corps Fq considéré dans le théorème,
et l’on a, d’après la proposition précédente,
[
(1)
K=
Kn .
n≥1
Considérons une extension Fq ⊂ L et supposons que L soit une clôture
algébrique de Fq . Comme L est algébriquement clos, le polynôme Qn :=
n!
X q − X ∈ L[X] est scindé ; et comme ses racines sont simples, L contient
un sous-corps de cardinal q n! . En raisonnant comme dans la preuve de la
proposition précédente, on obtient que L contient un unique sous-corps de
cardinal q n! , dont les éléments sont les racines dans L de Qn . Notons-le Ln .
En particulier, L1 égale Fq , identifié à K1 .
D’autre part, soit x ∈ L. Par hypothèse, x est algébrique sur Fq ; soit
d = degFq (x) son degré. Alors le sous-corps Fq [x] de L est de cardinal q d ,
donc est contenu dans Ld (puisque d divise d!). Par conséquent, on a
[
(2)
L=
Ln .
n≥1
Montrons maintenant, par récurrence sur n, qu’on peut prolonger l’identifi∼
cation L1 = K1 = Fq en un Fq -isomorphisme τn : Ln → Kn .
Supposons l’assertion établie au cran n. Commençons par remarquer que
τn (Qn+1 ) = Qn+1 , puisque les coefficients de Qn+1 sont dans Fp . Observons
ensuite que, comme Ln+1 , resp. Kn+1 , contient Ln , resp. Kn , et est formé
des racines de Qn+1 dans L, resp. K, alors Ln+1 , resp. Kn+1 , est un corps de
décomposition de Qn+1 sur Ln , resp. Kn . Par conséquent, d’après le premier
théorème fondamental 24.2.5, τn se prolonge en un Fq -isomorphisme τn+1 :
∼
Ln+1 → Kn+1 .
∼
On obtient ainsi une suite infinie (τ1 , τ2 , · · · ) d’isomorphismes τn : Ln →
Kn , tels que τ1 = idFq et
(3)
∀r ≥ n,
τr |Ln = τn .
On définit alors τ : L → K par la formule : τ (x) = τn (x) si x ∈ Ln . Ceci est
bien défini d’après (3). Il est alors clair que τ est un morphisme de corps,
246
Algèbre et théorie de Galois 2005-2006
donc est injectif. De plus, son image contient Kn , pour tout n ≥ 1, donc égale
K. Par conséquent, τ est un Fq -isomorphisme de L sur K. Le théorème est
démontré. ¤
31.3
Clôtures algébriques en général
Dans le cas des corps finis, on a pu démontrer explicitement, de façon
constructive, l’existence et l’unicité d’une clôture algébrique. En fait, on peut
démontrer ce résultat pour un corps arbitraire, en utilisant des arguments
de théorie des ensembles et le lemme de Zorn. C.-à-d., on a le théorème
ci-dessous.
Théorème 31.3.1 (Steinitz) Tout corps k admet une clôture algébrique,
unique à k-isomorphisme (non-unique) près.
Démonstration. Pour l’existence, l’idée est très simple. La réunion d’une
famille filtrante d’extensions algébriques de k est une extension algébrique
de k. L’ensemble des extensions algébriques de k vérifie donc les hypothèses
du Lemme de Zorn (11.2.6) donc possède un élément maximal K.
Soit P ∈ K[X] un polynôme irréductible, et L = K[X]/(P ) son corps de
rupture. Les extensions K/k et L/K sont algébriques, donc par transitivité
L/k l’est aussi (23.5.5 ou 23.3.9). Donc, par maximalité, K = L, donc P a
une racine dans K. Ceci prouve que K est algébriquement clos, donc une
clôture algébrique de k.
Le problème de la « démonstration » ci-dessus est qu’on sait, depuis Cantor, qu’il n’existe pas d’« ensemble » de tous les ensembles. Il n’est pas clair
que les extensions algébriques de k forment un ensemble, et donc qu’on puisse
appliquer le lemme de Zorn. En fait, par un argument de cardinalité, on peut
effectuer qu’on peut effectivement parler de l’ensemble des extensions algébriques de k, de façon à rendre rigouresue l’idée de démonstration ci-dessus.
Pour cela, voir [Ja2, §8.1] ou [Dou], tome 2, §5.2 (complétés par [La], Appendice 2, pour les questions de cardinalité).
Une autre démonstration se trouve dans [La, §VII.2], et ces références
démontrent aussi l’unicité à k-isomorphisme près. ¤
Remarque 31.3.2 Par ailleurs, on a déjà vu que le corps C des nombres
complexes est algébriquement clos (3.1, 28.1). De plus, on a les résultats
ci-dessous.
Proposition 31.3.3 (Fermeture algébrique de k dans K)
Patrick Polo
247
Soit k ⊂ K une extension de corps. L’ensemble
Kalg/k = {x ∈ K | x est algébrique sur k}
est un sous-corps de K, appelé la fermeture algébrique de k dans K.
Démonstration. Posons K 0 = Kalg/k . Il est clair que 1 ∈ K 0 . Soient
x, y ∈ K 0 . Alors la sous-algèbre k[x] est un corps, de degré d = degk (x) sur
k. Comme y est algébrique sur k, il l’est aussi sur k[x] et donc la sous-algèbre
k[x, y] = k[x][y] est un corps, égal à k(x, y), et de degré f = degk[x] (y) sur
k[x]. Donc,
[k(x, y) : k] = [k(x, y) : k(x)][k(x) : k] = f d < ∞.
Comme k(x, y) contient x + y et xy, ces deux éléments sont algébriques sur
k, c.-à-d., appartiennent à K 0 . Ceci montre que K 0 est un sous-corps de K.
¤
Théorème 31.3.4 Soit k ⊆ L une extension de corps. On suppose L algébriquement clos. Posons
k = Lalg/k = {x ∈ L | x est algébrique sur k}.
Alors k est une clôture algébrique de k.
Démonstration. D’après la proposition précédente, k est un corps, algébrique sur k. Montrons que k est algébriquement clos. Soit P = a0 +
a1 X + · · · + ad X d ∈ k[X]. Comme les ai sont algébriques sur k, le sous-corps
K = k[a0 , . . . , ad ] est de degré fini n sur k, d’après la proposition 23.5.6.
D’autre part, comme L est algébriquement clos, il existe α ∈ L tel que
P (α) = 0. Alors α est algébrique sur K et donc K(α) est de degré fini, disons
r, sur K. Alors
rn = [K(α) : k] = [K(α) : k(α)][k(α) : k],
d’où [k(α) : k] < +∞. Donc α est algébrique sur k, c.-à-d., appartient à k.
Ceci montre que k est algébriquement clos. Le théorème est démontré. ¤
Comme C est algébriquement clos, on obtient ainsi le corollaire suivant.
(cf. 2.4.5 ; à ce propos, deux lignes au-dessus de la proposition 2.4.5, corriger
Q en Q.)
Corollaire 31.3.5 Le corps Q := {z ∈ C | z est algébrique sur Q} est une
clôture algébrique de Q.
248
Algèbre et théorie de Galois 2005-2006
Table des matières
1
2
3
4
5
6
7
Nombres entiers et rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Notations et définitions . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Division euclidienne et conséquences . . . . . . . . .
1.3
Solutions entières de x2 + y 2 = z 2 . . . . . . . . . . .
Entiers algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Somme de deux carrés et entiers de Gauss . . . . . .
√
2.2
Les anneaux de nombres
Z[ n √
] . . . . . . . . . . . .
√
1+ −3
1+ 5
2.3
Les anneaux Z[ 2 ] et Z[ 2 ] . . . . . . . . . .
2.4
Entiers algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Anneaux noethériens . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Éléments irréductibles dans un anneau intègre
noethérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C est algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
L’énoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
La démonstration d’Argand . . . . . . . . . . . . . .
3.3
La cas de plusieurs polynômes . . . . . . . . . . . . .
Le théorème des zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.0
Courbes algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Variétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Vers la suite du cours . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anneaux et idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
Groupes abéliens et Z-modules . . . . . . . . . . . .
6.2
A-modules et sous-A-modules . . . . . . . . . . . . .
6.3
Construction de modules (I) : sommes directes finies
6.4
Morphismes et isomorphismes . . . . . . . . . . . . .
6.5
Modules de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modules et anneaux noethériens . . . . . . . . . . . . . . . .
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7.1
Modules noethériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Anneaux et modules noethériens . . . . . . . . . . . .
Anneaux de polynômes et
théorème de transfert de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1
L’anneau de polynômes A[X] . . . . . . . . . . . . . .
8.2
Le théorème de transfert de Hilbert . . . . . . . . . . .
8.3
Construction de modules (II) : modules libres . . . . .
8.4
Anneaux de polynômes en plusieurs variables . . . . .
8.5
Morphismes d’anneaux et A-algèbres . . . . . . . . . .
8.6
A-algèbres et propriété universelle
des algèbres de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . .
Modules et anneaux quotients,
théorèmes d’isomorphisme de Noether . . . . . . . . . . . . .
9.1
Définition des modules quotients . . . . . . . . . . . .
9.2
Noyaux et images, théorèmes de Noether . . . . . . . .
9.3
Applications des modules quotients . . . . . . . . . . .
9.4
Anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5
Algèbres de fonctions polynomiales . . . . . . . . . . .
9.6
Anneaux d’endomorphismes et A/I-modules . . . . . .
Algèbres de type fini et noethérianité . . . . . . . . . . . . . .
10.1 Algèbres de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Résultats de noethérianité . . . . . . . . . . . . . . . .
Idéaux premiers et maximaux, Lemme de Zorn . . . . . . . .
11.1 Idéaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Sous-modules maximaux et lemme de Zorn . . . . . .
Anneaux de fractions, localisation . . . . . . . . . . . . . . . .
12.0 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1 Construction de l’anneau S −1 A . . . . . . . . . . . . .
12.2 Le cas intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Localisation de modules . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Idéaux premiers de S −1 A, anneaux locaux . . . . . . .
12.5 Support et idéaux premiers associés . . . . . . . . . .
Idéaux irréductibles, radical d’un idéal et idéaux premiers minimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1 Idéaux irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Racine d’un idéal et idéaux premiers minimaux . . . .
Extensions entières et extensions de corps (I) . . . . . . . . .
14.1 Morphismes entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Extensions de corps, multiplicativité du degré . . . . .
14.3 Retour sur K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Un aperçu de géométrie algébrique, théorème des zéros de
Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
15.1 Sous-variétés algébriques de k n et topologie de Zariski 95
15.2 Le théorème des zéros de Hilbert . . . . . . . . . . . . 97
Anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
16.1 Éléments irréductibles et éléments associés . . . . . . . 101
16.2 Anneaux factoriels, lemmes d’Euclide et Gauss . . . . 102
16.3 PPCM et PGCD dans un anneau factoriel . . . . . . . 105
16.4 Le théorème de transfert de Gauss . . . . . . . . . . . 107
Anneaux principaux et anneaux euclidiens . . . . . . . . . . . 111
17.1 Les anneaux euclidiens sont principaux . . . . . . . . . 111
17.2 Les anneaux principaux sont factoriels . . . . . . . . . 112
Idéaux étrangers et théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . 113
18.1 Idéaux étrangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
18.2 Théorème chinois des restes . . . . . . . . . . . . . . . 115
Modules de torsion sur un anneau principal . . . . . . . . . . 116
19.1 Annulateurs et modules de torsion . . . . . . . . . . . 116
19.2 Décomposition primaire des modules de torsion sur un
anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A-modules libres de type fini, invariance du rang . . . . . . . 125
20.1 Rang d’un module libre de type fini . . . . . . . . . . 125
20.2 Modules d’homomorphismes et module dual . . . . . . 127
Modules de type fini sur un anneau principal . . . . . . . . . 128
21.1 Matrices échelonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
21.2 Les résultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . 129
21.3 Existence d’une base adaptée . . . . . . . . . . . . . . 130
21.4 Décomposition des modules de type fini . . . . . . . . 132
21.5 Unicité des facteurs invariants . . . . . . . . . . . . . . 134
Autre approche : réduction des matrices sur un anneau principal137
22.1 Une conséquence de l’existence de bases adaptées . . . 137
22.2 Réduction des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Caractéristique et extensions de corps . . . . . . . . . . . . . 145
23.1 Les corps fondamentaux Q et Fp . . . . . . . . . . . . 145
23.2 Généralités sur les extensions . . . . . . . . . . . . . . 147
23.3 Extensions entières d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . 148
23.4 Éléments algébriques ou bien transcendants . . . . . . 153
23.5 Extensions algébriques de corps et degré d’une extension154
23.6 Bases de transcendances et extensions de type fini . . 156
Corps de rupture et corps de décomposition . . . . . . . . . . 160
24.1 Corps de rupture d’un polynôme . . . . . . . . . . . . 160
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24.2 Corps de décomposition d’un polynôme . . . . . . . .
24.3 Le groupe des k-automorphismes d’une extension . . .
Extensions séparables et théorème de l’élément primitif . . . .
25.1 Polynômes et extensions séparables . . . . . . . . . . .
25.2 Racines multiples et séparabilité . . . . . . . . . . . .
25.3 Caractérisation de la séparabilité en termes de morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.4 Le théorème de l’élément primitif . . . . . . . . . . . .
Extensions galoisiennes et
correspondance de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.1 Extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.2 Indépendance des caractères . . . . . . . . . . . . . . .
26.3 Invariants d’un groupe fini : théorème d’Artin . . . . .
26.4 Autre démonstration du théorème d’Artin . . . . . . .
26.5 Un rappel sur les groupes . . . . . . . . . . . . . . . .
26.6 Le couronnement : correspondance de Galois . . . . .
26.7 Clôture normale ou galoisienne . . . . . . . . . . . . .
Théorie des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.1 Ordre d’un élément, théorème de Lagrange . . . . . .
27.2 Groupes en action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.3 Groupes symétriques et théorème de Cayley . . . . . .
27.4 Décomposition en cycles, engendrement par les transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.5 Action sur k[X1 , . . . , Xn ] et signature . . . . . . . . . .
27.6 Conjugaison des cycles, générateurs de An . . . . . . .
27.7 Groupes résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.8 An n’est pas résoluble, pour n ≥ 5 . . . . . . . . . . .
27.9 Groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.10 Centre d’un groupe et équation des classes . . . . . . .
27.11 p-groupes et théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . .
Polynômes symétriques et groupes de Galois . . . . . . . . . .
28.1 Une application de Galois plus Sylow : C est algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.2 Groupe de Galois d’un polynôme . . . . . . . . . . . .
28.3 Polynômes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.4 Relations entre coefficients et racines d’un polynôme .
28.5 Le théorème fondamental des polynômes symétriques .
28.6 Invariants dans le corps des fractions . . . . . . . . . .
28.7 Fractions rationnelles symétriques . . . . . . . . . . .
28.8 L’équation générale de degré n . . . . . . . . . . . . .
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28.9 Discriminant d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . .
28.10 L’extension intermédiaire associée au discriminant . .
28.11 L’équation de degré 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations résolubles par radicaux . . . . . . . . . . . . . . . .
29.1 Extensions radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.2 Adjonction de racines de l’unité . . . . . . . . . . . . .
29.3 Démonstration du théorème 29.1.5 . . . . . . . . . . .
29.4 Un exemple de polynôme P ∈ Q[X] non résoluble par
radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.5 La réciproque du théorème 29.1.5 . . . . . . . . . . . .
Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.1 Cardinal et groupe multiplicatif d’un corps fini . . . .
30.2 La formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.3 Endomorphismes de Frobenius . . . . . . . . . . . . .
30.4 Existence et unicité des corps Fpn . . . . . . . . . . . .
30.5 Groupe de Galois de Fqn sur Fq . . . . . . . . . . . . .
30.6 Théorème de l’élément primitif, et polynômes irréductibles sur Fq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Clôtures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.1 Corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2 Le corps Fp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.3 Clôtures algébriques en général . . . . . . . . . . . . .
Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.0 Remarque préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.1 Applications bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.2 Définition du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . .
32.3 Premières propriétés du produit tensoriel . . . . . . .
32.4 Produits de variétés et changement de base . . . . . .
32.5 Algèbres tensorielles, symétriques et extérieures . . . .
32.6 Autres propriétés du produit tensoriel . . . . . . . . .
32.7 Produits et sommes directes . . . . . . . . . . . . . . .
32.8 Produit tensoriel par A/I . . . . . . . . . . . . . . . .
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Algèbre et théorie de Galois 2005-2006
Bibliographie
[Art]
E. Artin, Galois Theory, nouvelle édition, Dover, 1998.
[AM]
M. Atiyah, I. G. Macdonald, Commutative algebra, Addison-Wesley,
1969.
[BAlg] N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 4 à 7, Masson, 1981.
[BM]
J. Briançon, Ph. Maisonobe, Éléments d’algèbre commutative (niveau M1), Ellipses, 2004.
[De]
R. Dedekind, Sur la théorie des nombres entiers algébriques, Gauthier-Villars, 1877 ; traduit en anglais avec une introduction de J.
Stillwell dans : Theory of algebraic integers, Cambridge Univ. Press
1996.
[ChL] A. Chambert-Loir, A field guide to algebra, Springer, 2005 ; version
française : Algèbre corporelle (sic !), Presses de l’École polytechnique,
2005.
[Die]
J. Dieudonné, Cours de géométrie algébrique, tome 2, P.U.F., 1974.
[Dou] A. Douady, R. Douady, Algèbre et théories galoisiennes (2 tomes),
Cedic Fernand Nathan, 1977, 2ème éd., Cassini, 2005.
[Elk]
R. Elkik, Cours d’algèbre, Ellipses, 2002.
[Esc]
J.-P. Escofier, Théorie de Galois, Dunod, 2000.
[Ja1]
N. Jacobson, Basic algebra I, W. H. Freeman & Co., 1974.
[Ja2]
N. Jacobson, Basic algebra II, W. H. Freeman & Co., 1980.
[Kru]
W. Krull, Idealtheorie, Springer Verlag, 1937 (2e édition 1968).
[La]
S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1965. Traduction française de la
3ème édition : Algèbre, Dunod, 2004.
[Ne04] J. Nekovàř, Théorie de Galois, cours UPMC 2003/4, disponible à
l’adresse : www.math.jussieu.fr/˜nekovar/co/ln
[Pe1]
D. Perrin, Cours d’algèbre, E.N.S.J.F. 1981, et 3ème édition, Ellipses,
1996.
vii
viii
Algèbre et théorie de Galois 2005-2006
[Pe2]
D. Perrin, Géométrie algébrique - Une introduction, Inter Éditions/CNRS Éditions, 1995.
[Sa]
P. Samuel, Théorie algébrique des nombres, Hermann, 1967.
[Se]
J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, (3ème édition
corrigée), Hermann, 1978.
[St]
J. Stillwell, Chapitre d’introduction dans [De].
[Ti]
J.-P. Tignol, Galois’ Theory of algebraic equations, World Scientific,
2001.
[vdW] B. L. van der Waerden, History of algebra from al-Khwarizmi to
Emmy Noether, Springer Verlag, 1985.