Support du graphe produit par l`algèbre de Lie partiellement

Support du graphe produit par l'algèbre de Lie
partiellement commutative libre
Pierre Bretéché
30 mai 2005
1
Table des matières
1 Introduction
2 Préliminaires
2.1 Relations . . . . . . . . . . .
2.2 K-Algèbres . . . . . . . . . .
2.2.1 K-Algèbre sur anneau
2.2.2 K-Algèbre de Lie . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.1 Monoïde des traces . . . . . . . . . . . . .
3.2 Représentation de traces . . . . . . . . . .
3.2.1 Forme normale de Cartier et Foata
3.2.2 forme normale lexicographique . .
3.2.3 empilement . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 représentation par piles . . . . . .
3.3 Algèbre des traces . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Crochets de Lie . . . . . . . . . . .
3.3.2 Produit de mélanges . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 5
. 5
. 5
. 6
. 7
. 8
. 9
. 9
. 10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Traces
4 Support et graphe de Lie
4.1 Support . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 théorème de Ree . . . . . . .
4.1.2 Support simple . . . . . . . .
4.2 Graphe de Lie . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Réduction et graphe minimal
4.2.2 Hypothèses de réduction . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4
4
4
5
11
11
11
11
11
11
12
1
Introduction
Améliorer les performances des algorithmes est une des préoccupations de la
recherche en informatique. L'un des moyens d'y parvenir est de réduire la complexité de l'objet du calcul en l'éclatant en plusieurs sous-objet plus agréables
à manipuler. Ceci n'est possible que s'il existe un moyen inversible de projeter notre ensemble en deux sous-ensemble. Ces deux sous-ensembles sont dits
supplémentaires.
Suivant l'ensemble de départ, ce procédé peut être applicable plusieurs fois.
Nous nous intéresserons ici à une structure appelée algèbre de Lie partiellement commutative libre. Nous traiterons en premier lieu de notions mathématiques essentielles pour aborder la structure d'algèbre de Lie. Nous verrons
ensuite des propriétés induites par la relation de commutation. Nous terminerons sur la caractérisation du support simple de l'algèbre de Lie partiellement
commutative à l'aide du graphe représentant la relation de commutation.
2
Préliminaires
2.1
Relations
Nous rappelons ici, diérentes relations qui seront utilisées par la suite. Ces
relations sont toutes binaires, elles dénissent une partie de deux ensembles.
Autrement dit, soient E et F , deux ensembles, une relation R sur E × F dénit
une partie G ⊆ E × F . Nous ne nous intéresserons qu'aux relations avec E = F .
Relations d'ordre Les relations que nous abordons dans ce paragraphe sont
toutes transitives : x R y et y R z ⇒ x R z . Il existe deux types de relations
d'ordre, toutes le deux étant des relations binaires. La stricte, généralement noté
< porte les propriétés suivantes :
fortement anti-symétrique : x < y ⇒ y ≮ x
irréexive : x ≮ x
La relation d'ordre large, notée 6 est :
faiblement anti-symétrique : x 6 y et y 6 x ⇒ y ≮ x
réexive : x 6 x
Si une relation d'ordre R est dénie partout sur un ensemble E , on dit que R
est totale sur E . On a alors pour tout éléments x et y de E , x < y ou y < x.
Relation d'équivalence La relation d'équivalence noté ↔ est quant à elle :
symétrique : (x ↔ y) ⇔ (y ↔ x)
réexive : x ↔ x
Relation de congruence La relation de congruence notée ≡ est une relation
d'équivalence dénie sur un semi-groupe (E, +) et qui est compatible avec la
loi de composition interne +. Soient e1 , e2 , e3 et e4 des éléments de (E, +) :
e1 ≡ e2 et e3 ≡ e4 ⇒ e1 + e3 ≡ e2 + e4
3
Relation de commutation Une relation de commutation ∼ sur un semigroupe (E, +) est une relation désignant les éléments de E pour lesquels la loi
de composition interne + est commutative. Cette relation est symétrique. Selon
les ouvrages, elle est dénie comme étant soit réexive soit anti-réexive. Cette
dernière propriété n'inuence pas les résultats abordés dans ce dossier et par
mesure de simplicité nous choisirons de la prendre anti-réexive.
2.2
2.2.1
K-Algèbres
K-Algèbre
sur anneau
Une algèbre est une structure algébrique A qui est munie de deux lois de
composition interne généralement on note la première + et la deuxième est
implicite. Soient w, x, y et z ∈ A, alors :
x+y ∈A
xy ∈ A
La première loi a les propriété suivantes :
elle est associative : (x + y) + z = x + (y + z)
elle possède un élément neutre que l'on note 0 :x + 0 = 0 + x = x
tout élément admet un opposé : x + −x = −x + x = 0
La seconde a les propriétés suivantes :
elle est associative : (xy)z = x(yz)
elle est distributive par rapport à + :(w + x)(y + z) = (wy) + (wz) + (xy) +
(xz)
L'algèbre possède aussi une loi de composition externe généralement noté ×
sur un ensemble de scalaires K qui est un anneau commutatif. Soient k ∈ K
alors k × x ∈ A. Une telle algèbre est appelée une K-Algèbre.
2.2.2 K-Algèbre de Lie
crochets de Lie Une K-Algèbre de Lie
L est une K-algèbre munie d'une
application appelée crochets de Lie et notée [, ] de L × L dans L qui a les
propriétés suivantes :
bilinéaire : Soient x,y et z ∈ L et k ∈ K alors :
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
[x, y + z] = [x, y] + [x, z]
[kx, y] = k[x, y]
[x, ky] = k[x, y]
anti-symétrique : [x, y] = −[y, x]
Identité de Jacobi Soit a, b, c ∈ L(A, θ) alors :
[a, [b, c]] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]] = 0
4
3
Traces
Nous travaillerons ici sur un alphabet A. Un alphabet est un ensemble ni
de lettre. L'ensemble des mots générés par A et le produit de concaténation ·
est noté A∗ . La structure (A∗ , ·) est un monoïde libre.
3.1
Monoïde des traces
On peut dénir une relation de commutation, θ sur le monoïde (A∗ , ·). Si un
couple de lettre (a, b) ∈ θ, on dit qu'elle commutent, il est alors possible de les
permuter si elles se succèdent dans un mot.
Il existe une relation de congruence entre deux mots v et w de (A∗ , ·) s'il est
possible d'obtenir v à partir de w par une suite de permutations dénies par θ.
Cette relation est notée ≡θ . Soient t, u, v et w ∈ A∗ , on peut montrer qu'elle
est :
réexive : w ≡θ w, ceci est trivial car w = w
symétrique : v ≡θ w ⇔ w ≡θ v , θ étant symétrique, toute permutation
eectuée successivement sur v est donc réversible.
transitive : u ≡θ v et v ≡θ w alors u ≡θ w, soit p1 la liste des permutations
eectuées pour passer de u à v et p2 celle de v à w, alors la juxtaposition
p3 de p1 et p2 permet d'obtenir w à partir de u.
compatible avec · : Si t ≡θ u et v ≡θ w alors t · u ≡θ v · w,
L'ensemble des mots congrus modulo θ à un mot v est appelé classe de
congruence de v modulo θ. On la notera θ(v). Ces classes de congruence forme
une partition de A∗ , c'est l'ensemble quotient A∗ /≡θ .
Ces classes de congruences sont aussi appelées traces, l'ensemble des traces
forment une structure de monoïde que l'on noteM(A, θ). Voici quelques exemples
de classes de congruence sur un alphabet A = a, b, c et θ = (a, b) :
θ(aabcab) = aabcab, aabcba, abacab, abacba, baacab, baacba
Théorème 1
3.2
(A∗ /≡θ , ·) est un monoïde
Représentation de traces
Soit T un ensemble de mots de A∗ Si à chacune des classes d'équivalence
de A∗ /≡θ appartient un unique élément de T , alors T est dit transversale de
A∗ /≡θ . Si un ensemble de mots vériant une propriété forme une transversale,
cette propriété est appelée forme normale.
3.2.1 Forme normale de Cartier et Foata
On dit qu'un mot w ∈ A∗ est une forme normale de Cartier et Foata s'il
peut s'écrire sous la forme w = u1 ...un avec :
pour tout i ≤ n, ui est un produit non vide de lettres distinctes commutant
deux à deux placées en ordre croissant.
5
pour tout i ≤ n − 1 et pour toute lettre a de ui+1 , il existe une lettre de
ui qui soit ne commute pas avec a, soit est égale à a.
exemple avec A = a, b, c et θ = (a, b) :
abbcabaac ≡θ ab.b.c.ab.a.a.c
abababa ≡θ ab.ab.ab.a
Fonction CARTIER-FOATA(w,A,θ) : mot
foata ← ε
P ← PILES(w,A,θ)
Tant que (P non vide) faire
Pour tout α en ordre croissant faire
Si (P [α] = vrai) Alors
dépilerP (α)
foata ← foata ·α
Fin Si
Fin Pour
Fin
Fait
Retourner foata
Algorithme 1: construit la forme normale de Cartier-Foata d'un mot w dans
(A, θ)
3.2.2 forme normale lexicographique
Cette forme normale est appelée ainsi car elle correspond au plus petit élément d'une classe de congruence suivant l'ordre lexicographique. L'ordre lexicographique étant une relation d'ordre totale, ce représentant est unique, cette
condition est nécessaire à la forme normale.
exemple avec A = a, b, c et θ = (a, b) :
abbcaaabc ≡θ abb.c.aaab.c
ababba ≡θ aaaabbb
6
Fonction LEXICO(w,A,θ) : mot
lexico ← ε
P ← PILES(w,A,θ)
Tant que (P non vide) faire
Pour tout α en ordre croissant faire
Tant que (P [α] = vrai) faire
dépilerP (α)
lexico ← lexico ·α
Fait
Fin Pour
Fin
Fait
Retourner lexico
Algorithme 2: construit la forme normale lexicographique d'un mot w dans
(A, θ)
3.2.3 empilement
Une autre représentation des traces a été introduite par Viennot qu'il appelle empilement. Cette représentation est particulièrement utile car elle est un
modèle pour le parallélisme. Un empilement est constitué d'une base qui est
un ensemble ni de pièces. Lors de la construction d'un empilement, on pose
successivement chaque pièce à son emplacement spécique.On commence par le
premier niveau de l'empilement ou, si une autre pièce déjà présente lui empêche
d'y accéder, au prochain niveau accessible, c'est à dire le niveau directement
supérieur à la pièce bloquante.
On associe chaque pièce à une lettre a de l'alphabet, en prenant soin de
leur fournir une géométrie leur permettant de bloquer uniquement toutes les
pièces associées à l'ensemble des lettres ne commutant pas avec a. S.Dulucq
et Viennot ont montré que la structure des empilements est un monoïde isomorphe au monoïde des traces.
Fig.
1 Pièces utilisées pour A = a, b, c etθ = (a, b)
7
Fig.
2 Empilement pour aabcaaabc
3.2.4 représentation par piles
Cette représentation, introduite par Perrin, consiste en une liste de piles
associées aux lettres de l'alphabet. La construction se fait suivant une lecture
en sens inverse du mot. À chaque lettre a lue, on empile la valeur vrai à la
pile correspondante et faux aux piles des lettres b telles que (a, b) ∈
/ θ.
Deux mots sont congrus modulo θ si et seulement si leur représentation par
piles sont identiques. [2]
Fig.
3 Représentation par piles de "acaaabc"
Fonction PILES(w,A,θ) : piles
P ← |A| piles vides
Pour i de |w| à 1 faire
EMPILER(P ,w[i],θ)
Fin
Fin Pour
Retourner P
Algorithme 3: construit la représentation par piles d'un mot w dans (A, θ)
8
Procédure EMPILER(P ,α,θ)
empiler vraisur P [α]
Pour β ∈/ θ(α) faire
empiler fauxsur P [β]
Fin Pour
Fin
Algorithme 4: ajoute une lettre à la représentation par piles
Procédure DÉPILER(P ,α,θ)
dépiler P [α]
Pour
β∈
/ θ(α) faire
dépiler P [β]
Fin
Fin Pour
Algorithme 5: retire une lettre à la représentation par piles
3.3
Algèbre des traces
Avec la structure d'algèbre des traces, il est possible d'avoir des combinaisons
linéaires de traces. Ces combinaisons peuvent être générées en particulier par
des crochets de Lie ou le produit de mélange.
3.3.1 Crochets de Lie
Les crochets de Lie se dénissent comme suit :
L(A, θ) × L(A, θ)
[a, b]
Cette dénition respecte l'anti-symétrie et l'identité de Jacobi :
7→
→
L(A, θ)
ab − ba
Preuve 1
[a, [b, c]] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]]
= [a, bc − cb] + [c, ab − ba] + [b, [c, a]]
= abc − acb − bca + cba + cab − cba − abc + bac + [b, [c, a]]
= −acb − bca + cab + bac + [b, [c, a]]
= −acb − bca + cab + bac + bca − bac − acb + cab
=0
Exemples avec A = a, b, c et θ = (a, b) :
[ε, a] = [a, ε] = a − a = 0
[a, b] = ab − ba = ab − ab = 0
[ac, b] = acb − bac = acb − abc
9
[a, [b, c]] = [a, bc − cb] = abc − acb − bca + cab
[[a, b], c] = [0, c] = 0
3.3.2 Produit de mélanges
Le produit de mélange, appelé aussi produit de Hürwitz et noté t peut se
dénir par récurrence sur les mots comme suit :
Dénition 1
Soient a et b, deux lettres et s et t deux mots.
ttε=εtt=t
as t bt = a(s t bt) + b(as t t)
Pour utiliser le produit de mélange sur les traces, il sut de les représenter sous une forme normale. On eectue ensuite le produit sur ces deux mots
représentant les traces. On interprète ensuite les mots résultats en considérant
toutes les classes de congruence modulo θ auxquelles ils appartiennent.
Exemples avec
A = a, b, c et θ = (a, b) : ε t a = a t ε = a
a t b = ab + ba = 2ab
ac t b = acb + abc + bac = 2abc + acb
a t (b t c) = a t (bc + cb) = abc + acb + bac + cab + bca + cba = 2abc + acb +
bca + 2cab
(a t b) t c = 2ab t c = 2abc + 2acb + 2cab
Fonction MELANGE(v,w) : ensemble de mots
Si (v = ε) Alors
Retourner w
Sinon
Si (w = ε) Alors
Retourner v
Sinon
résultat ←
v[1]· MELANGE(v[2..n], w) ∪ w[1]·
MELANGE(v, w[2..m])
Retourner résultat
Fin
Fin Si
Fin Si
Algorithme 6: Mélange deux mots et retourne l'ensemble
10
4
4.1
Support et graphe de Lie
Support
4.1.1 théorème de Ree
Théorème 2 Un polynôme est orthogonal à tout crochet de Lie si et seulement
si c'est une combinaison linéaire de mélanges propres.
Exemples Prenons
tout crochet de Lie :
A = a, b, c et θ = (b, c) : La trace abca est orthogonal à
acb t a − ac t ab = acba
4.1.2 Support simple
Dénition 2 Le support est
l'ensemble des traces apparaissant dans un polynôme de Lie avec un coecient non nul.
Théorème 3 L'algèbre de Lie L(A, θ) a un support simple si et seulement si
le graphe de commutation de (A, θ) n'a pas de sous-graphes isomorphe à A4 :
a − −b − −c − −d
[4]
4.2
Graphe de Lie
Il est possible de représenter une algèbre de Lie par un graphe non-orienté
et non-pondéré. Chaque sommet est étiqueté par une lettre de l'alphabet et
les transitions représentent les relations de commutation (symétriquement les
relations d'indépendance). Ce graphe est appelé graphe de commutation.
L'ensemble des sommets est noté A et l'ensembles des arêtes est noté θ.
4.2.1 Réduction et graphe minimal
Dénition On dénit une relation d'équivalence ≡θ telle que soient a et b deux
lettres de (A, θ), a ≡θ b si et seulement si a et b commutent avec et seulement
avec les mêmes lettres.
Ce qui implique sur le graphe G(A,θ) deux sommets sont équivalents si et
seulement ils possèdent les mêmes voisins.
On peut construire alors le graphe des classes d'équivalence.On l'obtient
alors en réduisant le graphe initial par fusion de sommets appartenant à la
même classe. L'ordre dans lequel on eectue les pliages n'a pas d'importance.
Le graphe minimal obtenu est unique.
11
Fig.
4 Pliage de graphe
Procédure PLIAGE-NAIF(G)
encore ← vrai
Tant que (encore) faire
encore ← faux
Pour (tous les couples de sommets (a,b)) faire
Si (voisinage(a) = voisinage(b)) Alors
encore ← vrai
fusionner(a,b)
Fin
Fait
Fin Si
Fin Pour
Algorithme 7: Pli naïvement le graphe G
4.2.2 Hypothèses de réduction
Travailler sur le graphe de commutation ou son complémentaire, appelé
graphe d'indépendance est équivalent. En eet, si un sous-graphe est de type
A4 , son complémentaire l'est aussi.
Deux sommets peuvent être fusionner seulement s'ils ont le même degré.
En eet, si deux sommets sont équivalents, ils accèdent directement au même
ensemble de sommets. On ne tient pas compte de la présence de l'un des sommets
testés dans le voisinage de l'autre.
Lors de la fusion de a1 et a2 , deux sommets de degré n, le sommet résultant
a1 , a2 est de degré n si (a1 , a2 ) ∈ θ et n − 1 sinon.
De même, lors de la fusion de a1 et a2 , tous leurs voisins voient leur degré
12
Fig.
5 Pliage de graphe
Fig.
6 graphe A4 et A4
décrémenter de 1.
Soient Va (resp. Vb ), le voisinage du sommet a(resp. b). Les sommets du
graphe peuvent être répartis en quatre sous ensembles en fonction de leur appartenance à Va et Vb . Si deux sommets ne sont pas dans le même sous ensemble,
ils ne pourront pas être fusionner avant une modication du graphe.
Considérons les deux lignes de la matrice d'adjacence correspondante aux
13
sommets ai et aj . On peut y lire directement les quatre sous ensembles. Les
sommets ai et aj appartiennent à deux sous-ensembles car ils sont potentiellement fusionnables avec un sommet voisin ou non.
Dans cet algorithme, lors du test de deux sommets, on aboutit soit à leur
fusion (tous leurs voisins sont identiques), soit à la subdivision des paquets.
Dans ce cas, si t est la taille d'un paquet, chaque paquet créé à partir de celui-ci
sera de taille maximum t − 1
a1
ai
aj
1
1
a2
1
0
Fig.
ai
X
0
ai+1
1
1
aj−1
1
1
aj
0
X
7 matrice d'adjacence
Procédure PLIAGE(G)
INITIALISER(G)
encore ← vrai
Tant que (encore) faire
encore ← faux
CHERCHER-SOMMETS(paquets)
Si (un couple de sommet est trouvé) Alors
encore ← vrai
METTRE-A-JOUR(G,a,b)
Fin
Fait
Fin Si
Algorithme 8: Pli d'un graphe G
14
an
0
0
Procédure INITIALISER(G)
Créer une matrice d'adjacence de G
Liste de paquets ← liste vide
Tant que (Tous les sommets a de G) faire
Si (poids(a) ∈/ Liste de paquets) Alors
créer le paquet degré(a)
Fin Si
ajouter a dans degré(a)
Fin
Fait
Algorithme 9: initialisation pour le pli
Procédure METTRE-A-JOUR(G,a,b)
Dans la matrice d'adjacence : supprimer la ligne de b
supprimer la colonne de b
Tant que (Tous les sommets a de G) faire
Si (poids(a) ∈/ Liste de paquets) Alors
créer le paquet degré(a)
Fin Si
ajouter a dans degré(a)
Fin
Fait
Algorithme 10: Mise à jour du graphe
15
Fonction CHERCHER-SOMMET(paquets) : couple de sommets
prendre deux sommets a et b
Si (voisinage(a = voisinage(b)) Alors
Retourner (a,b)
dans
le
même
Sinon
Pour tous les paquets faire
répartir les sommets dans 4 sous paquets
Fin Pour
Pour tous les paquets faire
Si (taille du paquet = 0 OU 1) Alors
supprimer le paquet
Fin
Fin Si
Fin Pour
Retourner CHERCHER-SOMMET(paquets)
Fin Si
Algorithme 11: Recherche de sommets équivalents
16
paquet
Liste des Algorithmes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
construit la forme normale de Cartier-Foata d'un mot w dans (A, θ)
construit la forme normale lexicographique d'un mot w dans (A, θ)
construit la représentation par piles d'un mot w dans (A, θ) . . .
ajoute une lettre à la représentation par piles . . . . . . . . . . .
retire une lettre à la représentation par piles . . . . . . . . . . . .
Mélange deux mots et retourne l'ensemble . . . . . . . . . . . . .
Pli naïvement le graphe G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pli d'un graphe G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
initialisation pour le pli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mise à jour du graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Recherche de sommets équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
6
7
8
9
9
10
12
14
15
15
16
Références
[1] V. Dieker and G.Rozenberg, editors. The book of traces. World scientic,
1995.
[2] Christine Duboc. commutations dans les monoïdes libres : un cadre théorique
pour l'étude du parallélisme. PhD thesis, Université de Rouen, 1986.
[3] Gérard Duchamp. algorithmiques sur les polynômes en variables non commutatives. PhD thesis, Université de Paris VII, 1987.
[4] Jean-Gabriel Luque. Monoïdes et automates admettant un produit de mélange. PhD thesis, Université de Rouen, 1999.
[5] Perrin. Words over a partially commutative alphabet. 1984.
[6] Viennot. Heaps of pieces : combinatorial theory and applications. 1984.
18