Strioscopie

Projet tuteuré Strioscopie – Transformation de Fourier optique 1
STRIOSCOPIE
TRANSFORMATION DE FOURIER OPTIQUE
1 INTRODUCTION
La transformation de Fourier présente de nombreuses applications en optique, l'une des plus
connues concernant la diffraction à l'infini.
La réalité physique de la transformation de Fourier apparaît de façon particulièrement simple
et frappante en optique. En effet, considérons un objet plan de transmittance T(x,y), éclairé par
une onde plane monochromatique. Cette onde est diffractée par l'objet. Plaçons alors une lentille
à la suite de cet objet et observons dans son plan focal : l'amplitude de la vibration lumineuse
dans ce plan est proportionnelle à la transformée de Fourier
Tu , v
de T(x,y).
Les variables u et v correspondent à des fréquences spatiales dans l'objet T(x,y).
La lentille forme une image de cet objet. En agissant, au niveau du plan focal, sur le spectre
Tu , v
, c'est à dire en filtrant les fréquences spatiales, il est alors possible de modifier l'aspect
de l'image.
Dans ce projet, nous nous limiterons à des objets dont les spectres se prêtent bien à des
observations visuelles : objets périodiques et fentes. Les filtres utilisés seront de simples caches
ou diaphragmes permettant d'éliminer certaines fréquences. Signalons cependant qu'il est
possible de fabriquer par les techniques de l'holographie des filtres plus complexes, intéressants
dans plusieurs applications.
2 RAPPELS THÉORIQUES
2.1 Ondes monochromatiques
2.1.1 Amplitude complexe
D'après la théorie électromagnétique, la lumière est due aux vibrations simultanées d'un
champ électrique et d'un champ magnétique. Dans le cas d'ondes polarisées rectilignement, on
peut représenter la vibration lumineuse par une fonction scalaire
,u r t
→
qui représente
l'élongation du champ électrique ou du champ magnétique.
Pour une onde monochromatique on peut écrire explicitement le champ sous la forme :
Lentille
Plan focal
Objet
ff
Tu , v
Tx , y

2 Strioscopie – Transformation de Fourier optique Projet tuteuré
, cos 2 t-u r t A r r π ν φ
→ → →
=
expression dans laquelle t désigne le temps et
r
→
le vecteur position. ν est la fréquence temporelle
de l'onde, A son amplitude et φ son retard de phase.
On préfère souvent utiliser la notation complexe, plus manipulable, sous la forme :
u=A e je−j2  t,
La fonction du temps se trouve en facteur dans tous les calculs où les opérations restent linéaires
et on peut alors en faire abstraction.
j
eU A
φ
≡
désigne l'amplitude complexe. C'est en général une fonction de
r θ
→
. Elle contient
l'amplitude et la phase et permet une description complète de l'onde. En tout point l'intensité
lumineuse est proportionnelle au carré de l'amplitude A² = |U|².
Donnons deux exemples d'ondes particulières.
2.1.2 Onde plane monochromatique
, cos 2 t- . -u r t A k r π ν ϕ
→ → →
=
ϕ est le retard de phase au point
0r
→ →
=
. Pour simplifier l'écriture nous prendrons par la suite
ϕ=0. L'amplitude complexe est alors
A ej
k.r,
. L'amplitude A est constante.
Dans un plan perpendiculaire à
k
→
on a
. r =ctek
→ →
. Les surfaces d'ondes sont des plans normaux
au vecteur d'onde
k
→
.
k, norme de
k
→
, est le nombre d'onde. On a k = 2πν/c = 2π/λ, c désignant la vitesse de
propagation de l'onde et λ la longueur d'onde.
Calculons l'expression de l'onde dans le plan (O, x, y). Le vecteur
k
→
étant repéré par ses cosinus
directeurs α, β, γ et M étant un point du plan (O, x, y) on a : k.OM = k (αx + βy).
L'amplitude complexe dans le plan (O x y) est
( )
-jk x+ y
eA
α β
. Le retard de phase garde une valeur
constante le long des droites
α β x y cte + =
. Ce sont les droites d'intersection du plan (O x y) avec
les différents plans d'onde.
k
y
x
O
z

Projet tuteuré Strioscopie – Transformation de Fourier optique 3
On repère souvent
k
→
à l'aide des angles d'inclinaison θx et θy représentés sur la figure suivante.
On peut montrer facilement que l'on a : α = sin θx et β = cos θx sin θy.
De plus nous considérerons très souvent des ondes dont les vecteurs d'ondes forment un angle
faible avec l'axe Oz. On a alors
cos 1
x
θ ≈
,
sin
x x
θ θ ≈
,
sin
y y
θ θ ≈
et par suite
( )
-
.OM
x y
k k x y θ θ
→ →
≈ +
.
Dans ces conditions, l'expression
( )
2
j
e
x y
x y
A
πθ θ
λ
+
représentera une onde plane monochromatique,
d'amplitude A, se propageant dans la direction repérée par les angles θx et θy.
2.2 Diffraction par une ouverture plane
Considérons une onde monochromatique de longueur d'onde λ, tombant sur un écran plan
percé d'une ouverture D. Désignons par
f x y( , )
0 0
l'amplitude complexe dans le plan (O0x0y0) de
l'ouverture D (voir figure). L'amplitude complexe g(x,y) diffractée dans un plan (Oxy) parallèle,
peut se calculer en partant du principe de Huyghens-Fresnel.
Suivant ce principe, un élément de surface dx0dy0, centré sur un point M de l'ouverture de
coordonnées (x0,y0), est équivalent à une source lumineuse élémentaire qui émet une ondelette
sphérique d'amplitude complexe f(x0,y0)dx0dy0. Cette source élémentaire produit donc en un point
P du plan d'observation, de coordonnées (x, y), une amplitude complexe
( )
jkr
0 0 0 0
e
, dx dy
r
f x y
, r
désignant la distance MP. On obtient l'amplitude totale en P en sommant sur tous les éléments de
l'ouverture D. De façon précise, l'amplitude complexe g(x,y) en tout point P(x,y) du plan (O x y) est
donnée par la relation :
( )
+j k r
0 0 0 0
-
1 e
( , ) f x , dx dy
r
g x y y
j λ
∞
∞
=
∫ ∫
(1)
La formule (1) n'est applicable que si les deux conditions suivantes sont réalisées :
L'ouverture diffractant doit être grande devant la longueur d'onde.
O
θy
θx
z
y
x
k
O
x0
y0
D
z
r
y
x
P
Oo
M

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Les champs diffractés ne doivent pas être observés trop près de l'ouverture (r>>λ).
Ces conditions seront souvent remplies en pratique. Cependant, dans le cas des réseaux de
diffraction par exemple, lorsque la distance entre les traits du réseau devient de l'ordre de λ la
formule (1) ne peut plus être utilisée.
2.3 Diffraction à l'infini
Désignons par z la distance O0O entre les plans (O0 x0 y0) et (O x y). Si la plus grande
dimension de l'ouverture D reste faible devant z (x0<<z et y0<<z) et si l'on considère des directions
de propagation peu inclinées sur l'axe O0O (x<<z et y<<z) on peut écrire l'approximation suivante
dite approximation de Fresnel :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 0 02
0 0
2 z 2 z
x x y y
r z x x y y z
− −
= + − + − ≅ + +
On obtient une approximation plus restrictive encore (approximation de Fraunhofer) si z devient
suffisamment grand pour que l'on puisse négliger le terme
2 2
0 0
2 z
x y +
. La formule (1) s'écrit alors :
( )
( )
2 2 0 0
+
k-j 2 x
j x
j k z z z
2 z
0 0 0 0
-
1
( , ) e e f x , e dy
z
x y
y
y
g x y y dx
j
πλ λ
λ
 ∞ +
+ 
∞
=
∫ ∫
L'intégrale a été écrite avec des limites infinies, étant entendu que la fonction f(x0,y0) est prise
égale à zéro en dehors de l'ouverture D.
L'intégrale représente la transformée de Fourier de f(x0,y0), en fonction des variables
x
uz
λ
=
et
y
vz
λ
=
.
En plaçant une lentille convergente sur le faisceau diffracté les phénomènes de diffraction à l'infini
sont ramenés dans le plan focal de cette lentille où ils peuvent être observés.
2.4 Amplitude diffractée dans le plan focal d'une lentille
Considérons un objet plan, placé à une distance d0 en avant d'une lentille de distance focale
f, éclairé par une onde plane monochromatique d'amplitude A (voir figure).
Cet objet possède une transmittance complexe en amplitude :
( ) ( )
( )
0 0
j ,
0 0 0 0
, , e
x y
t x y a x y
ϕ
=
(a et ϕ
sont réels). La transmittance peut donc affecter le module de l'amplitude complexe incidente
(facteur multiplicatif a, en général a<1) et son argument (déphasage ϕ). Immédiatement à la sortie
de l'objet l'amplitude complexe est
( ) ( )
0 0 0 0
, t ,f x y A x y =
.
Plan objet
Lentille Plan image
Plan focal (plan spectral)
O0
y0
x0
f
d0
x(u)
y(v)

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On montre (Goodman) que l'amplitude complexe dans le plan focal de la lentille, appelé aussi
plan spectral ou plan de Fourier, a alors pour expression :
( )
( )
2 2
00 0
dk +
j 1- x -j 2 x
2 f f f f
0 0 0 0
-
1
( , ) e f x , e dy
f
x y
y y
g x y y dx
j
πλ λ
λ
   ∞
+ +
∞
=
∫ ∫
L'intégrale est la transformée de Fourier de
( )
0 0
f ,x y
en fonction des variables
x
uf
λ
=
et
y
vf
λ
=
. Cette intégrale est précédée d'un terme de phase quadratique.
Notons que, dans le cas d'une observation effectuée à l'oeil ou à l'aide d'un détecteur d'énergie,
c'est
2
( , )g x y
qui intervient et le facteur de phase est alors sans importance.
Ce facteur de phase disparaît en fait, pour donner la transformé de Fourier exacte, lorsque d0=f,
c'est à dire lorsque l'objet est placé dans le plan focal objet de la lentille. On peut alors écrire :
( ) ( )
( )
( )
0 0
-j2 ux
0 0 0 0
1
, , e dy 2
vy
g u v f x y dx
j f
π
λ
+ ∞ +
− ∞
=
∫ ∫
où encore
( ) ( )
^
1
, f u,vg u v j f
λ
=
, en désignant par
( )
^
,f u v
la transformée de Fourier de f(x0,y0),
appelée aussi spectre de fréquence de f(x0,y0) (
f
se lit f chapeau).
Ainsi l'optique permet de réaliser simplement la transformation de Fourier d'une fonction
T(x0,y0) : il suffit de placer en avant d'une lentille un diaphragme de transmittance T(x0,y0),
d'éclairer avec une onde plane et d'observer dans le plan focal.
2.5 Diffraction à l'infini par une fente
En pratique, la fente est réalisée par une ouverture rectangulaire dont l'un des cotés est très
long par rapport à l'autre. Pour simplifier le calcul on considérera ce dernier côté comme ayant
une longueur infinie et orienté suivant l'axe O0y0. On pourra donc écrire la transmittance de la
fente, de largeur a, sous la forme :
( ) ( )
0
0
0 0 0
1 pour x
, Re 2
0 autrement
a
x
T x y T x ct a
<
= = = 
Si l'on éclaire la fente avec une onde plane monochromatique d'amplitude A, l’amplitude complexe
dans le plan de la fente est AT(x0). L'amplitude complexe dans le plan focal de la lentille L (voir
figure ci-dessus) est proportionnelle à la transformée de Fourier
Tu
de la fonction T(x0). On
a :
L
x0
θ
y0
CO
x
y
O0