Exercice Speckle 1 due on 20 november 2015

Master LOM Ann´ee 2015-2016
Statistical Optics
Exercice sur la diffraction de Fresnel // Calcul de la
propagation dans un syst`eme d’imagerie“standard”
A Propagation de Fresnel dans l’espace libre
Figure 1: Propagation dans l’espace libre `a distance finie (diffraction de Fresnel)
1. Montrer qu’en utilisant le principe de Huyghens dans le cadre de l’approximation
paraxial, l’amplitude du champ dans le plan (x,y) s’obtient `a partir de la connais-
sance de l’amplitude du champ dans le plan (η,ξ) par (voir figure 1):
E(x, y)∝e2iπ x2+y2
2λz ·T F e2iπ η2+ξ2 2λz E(η, ξ){ux=θx
λ,uy=θy λ}avec θx=x
zet θy=y z(1)
Plan de Fourier
Front d’onde
convergent
Transmission
Figure 2: Plan de Fourier dans le plan de focalisation d’une onde incidente convergente
2. Application: On prend un objet dans le plan (η,ξ) caract´eris´e par la transmission
t(η, ξ) (voir figure 2). Montrer que dans le cas o`u l’on ´eclaire ce plan par une onde
sph´erique incidente d’amplitude focalisant `a la position z0, ce plan de focalisation
correspond au plan de Fourier de la transmission t(η, ξ). Pour cela on cherchera `a
´ecrire l’amplitude d’une onde sph´erique dans l’approximation paraxiale.
1

E(x, y)∝e2iπ x2+y2
2λz ·T F t(η, ξ){ux=θx
λ,uy=θy λ}(2)
B Dispositif d’imagerie en double diffraction
On consid`ere le dispositif d’imagerie donn´e sur la figure ?? o`u l’objet, caract´erist´e par la
transmission tobj est ´eclair´e par une onde incidente convergente. Celle ci converge `a la
position z1, o`u l on place une lentille mince de focale f, ainsi qu’un masque de pupille
p(η). On place le plan image `a la position z2en aval de la lentille, telle que cette position
soit conjug´ee du plan objet au sens de l optique g´eom´etrique (1/z1+ 1/z2= 1/f).
1. Montrer que la lentille mince de focale fcorrespond `a un terme de phase qui vaut
tlentille(η, ξ) = e−2iπ η2+ξ2
2λf (3)
On pourra simplement utiliser le fait qu’un point source plac´e `a la position z1donne
lieu `a une onde sph´erique qui convergera `a la position z2apr`es la lentille. Ce r´esultat
peut sinon se retrouver directement en consid´erant les rayons de courbures des deux
surfaces de la lentilles (courbures R1et R2) et l indice nde la lentille (l’optique
g´eom´etrique donne 1/f = (n−1)(1/R1+ 1/R2))
2. Montrer que l’on retrouve bien dans le plan (x,y) l’image de l’objet avec un gran-
dissement −z2/z1, convolu´e par la r´esolution du syst`eme d’imagerie
Eim(x, y)∝tobj (−z1
z2
x, −z1
z2
y)OT F p(η, ξ){ux=x
λz2,uy=y λz2}(4)
Plan de Fourier
(pupille + lentille)
Front d’onde
convergent
Transmission
Plan objet Plan Image
Pupille
Figure 3: Dispositif d’imagerie avec ´eclairage convergent dans le plan de la lentille. Le
plan objet et le plan image sont conjug´es par la lentille L
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