Master LOM Statistical Optics Année 2015-2016 Exercice sur la diffraction de Fresnel // Calcul de la propagation dans un système d’imagerie“standard” A Propagation de Fresnel dans l’espace libre Figure 1: Propagation dans l’espace libre à distance finie (diffraction de Fresnel) 1. Montrer qu’en utilisant le principe de Huyghens dans le cadre de l’approximation paraxial, l’amplitude du champ dans le plan (x,y) s’obtient à partir de la connaissance de l’amplitude du champ dans le plan (η, ξ) par (voir figure 1): E(x, y) ∝ e2iπ x2 +y 2 2λz ·T F e2iπ η 2 +ξ2 2λz E(η, ξ) θ {ux = θλx ,uy = λy } avec θx = x y et θy = (1) z z Transmission Front d’onde convergent Plan de Fourier Figure 2: Plan de Fourier dans le plan de focalisation d’une onde incidente convergente 2. Application: On prend un objet dans le plan (η, ξ) caractérisé par la transmission t(η, ξ) (voir figure 2). Montrer que dans le cas où l’on éclaire ce plan par une onde sphérique incidente d’amplitude focalisant à la position z0 , ce plan de focalisation correspond au plan de Fourier de la transmission t(η, ξ). Pour cela on cherchera à écrire l’amplitude d’une onde sphérique dans l’approximation paraxiale. 1 E(x, y) ∝ e2iπ B x2 +y 2 2λz · T F t(η, ξ) {ux = θλx ,uy = θy λ (2) } Dispositif d’imagerie en double diffraction On considère le dispositif d’imagerie donné sur la figure ?? où l’objet, caractéristé par la transmission tobj est éclairé par une onde incidente convergente. Celle ci converge à la position z1 , où l on place une lentille mince de focale f , ainsi qu’un masque de pupille p(η). On place le plan image à la position z2 en aval de la lentille, telle que cette position soit conjugée du plan objet au sens de l optique géométrique (1/z1 + 1/z2 = 1/f ). 1. Montrer que la lentille mince de focale f correspond à un terme de phase qui vaut 2 +ξ −2iπ η 2λf 2 tlentille (η, ξ) = e (3) On pourra simplement utiliser le fait qu’un point source placé à la position z1 donne lieu à une onde sphérique qui convergera à la position z2 après la lentille. Ce résultat peut sinon se retrouver directement en considérant les rayons de courbures des deux surfaces de la lentilles (courbures R1 et R2 ) et l indice n de la lentille (l’optique géométrique donne 1/f = (n − 1)(1/R1 + 1/R2 )) 2. Montrer que l’on retrouve bien dans le plan (x, y) l’image de l’objet avec un grandissement −z2 /z1 , convolué par la résolution du système d’imagerie Eim (x, y) ∝ tobj (− Front d’onde convergent Transmission z1 O z1 x, − y) T F p(η, ξ) x {ux = λz ,uy = λzy } z2 z2 2 2 (4) Pupille Plan objet Plan de Fourier (pupille + lentille) Plan Image Figure 3: Dispositif d’imagerie avec éclairage convergent dans le plan de la lentille. Le plan objet et le plan image sont conjugés par la lentille L 2