Feuille d`exercices : Condensateurs

Feuille d'exercices : Condensateurs - Magnétostatique
P Colin
2016/2017
Formulaire d'analyse vectorielle
coordonnées cylindro-polaires :
−−→
1 ∂f
∂f
∂f
u~r +
u~θ +
u~z
gradf =
∂r
r ∂θ
∂z
~ = 1 ∂ (rAr ) + 1 ∂Aθ + ∂Az
divA
r ∂r
r ∂θ
∂z
1 ∂Az
∂Aθ
∂Ar
∂Az
1 ∂
∂Ar
−→ ~
rot(A) =
−
u~r +
−
u~θ +
(rAθ ) −
u~z
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
∂θ
1 ∂
∂f
1 ∂2f
∂2f
∆f =
r
+ 2 2 + 2
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z
Coordonnées sphériques :
−−→
1 ∂f
1 ∂f
∂f
u~r +
u~θ +
u~ϕ
gradf =
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1 ∂ 2
1 ∂
1 ∂Aϕ
(r Ar ) +
(sin θAθ ) +
r2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1
∂
∂Aθ
1 ∂Ar
1 ∂
1 ∂
∂Ar
−→ ~
rot(A) =
(sin θAϕ ) −
u~r +
−
(rAϕ ) u~θ +
(rAθ ) −
u~ϕ
r sin θ ∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
r ∂r
r ∂r
∂θ
∂f
1
∂
∂f
1
∂2f
1 ∂
∆f = 2
r2
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
~=
divA
1
1 Équilibre électrostatique d'un cylindre en rotation
a
Un long cylindre neutre conducteur de rayon
axe Oz vertical, avec la vitesse angulaire
ω.
est en rotation uniforme autour de son
Les charges libres sont des électrons de masse
m.
1. Écrire la relation traduisant léquilibre d'un électron à la distance r de l'axe, dans le
référentiel tournant avec le cylindre.
U entre l'axe du cylindre et sa périphérie.
m = 9, 1 10−31 kg, rotation de 100 tours/seconde ; R = 10
2. Calculer la diérence de potentiel
Application numérique :
cm ;
U =?
3. Calculer la densité volumique de charge dans le disque, à la distance
Calculer la densité surfacique
σ
r
de l'axe.
présente sur la face externe du cylindre. Que vaut le
champ électrique à l'extérieur du cylindre ? Relier
σ
à la discontinuité du champ.
2 Charges et potentiels de sphères concentriques
Une boule conductrice S1 de rayon
de rayon extérieur
R3
sont concentriques et
potentiel,
V2
Q2
R1
est placée dans une autre boule conductrice S2
R2 . Les trois sphères
Q1 la charge de la sphère S1 et V1 son
Q3 la charge de la face externe de S2 , et
et comportant une cavité sphérique de rayon
R1 < R2 < R3 .
On note
la charge de la face interne de S2 ,
le potentiel de S2 .
1. Quelle relation a-t-on entre
Q1
et
Q2 ?
En utilisant le théorème de Gauss, détermi-
ner le champ à l'extérieur du système (r
> R3 )
et en déduire l'expression de
Déterminer de même le champ entre les conducteurs et l'expression de
2. On charge S1 avec une charge totale
Q0
puis on la place dans
S2
V2 .
V1 .
neutre et élec-
triquement isolée. Déterminer les charges de chacune des faces et les potentiels des
conducteurs.
3. À partir de la situation précédente, on relie les deux conducteurs par un l. Déterminer la nouvelle répartition des charges et les nouveaux potentiels.
4. On impose
V1 = 0
et
V2
donné. Déterminer les charges de chacune des faces.
3 Condensateur plan comprenant un bloc métallique
Un condensateur plan de surface
S
et d'épaisseur
e a une capacité C . On intercale entre
les deux plaques du condensateur un bloc de métal plan initialement neutre, d'épaisseur
d<e
et de même surface
S.
On néglige les eets de bord.
1. Calculer directement la nouvelle capacité
C0
du système.
2. Retrouver le résultat en appliquant la loi d'association des condensateurs.
2
4 Microphone à condensateur
Un microphone-condensateur est constitué de deux armatures conductrices planes, de
surface
S,
l'une
P1
xe, l'autre
P2
pouvant se déplacer légèrement dans la direction Ox
perpendiculairement à son plan sous l'eet d'une onde sonore. À tension constante
P1
et
P2 ,
Q0 lorsque la distance entre P1
U0 = 400 V, e = 3.10−2 mm et S = 15 cm2 .
la charge est
suivantes :
1. Calculer la capacité
C0
et la charge
P2
est
e.
U0
entre
On donne les valeurs
Q0 .
2. Le condensateur étant seul, on déplace
q.
et
P2
de
xe
et on augmente la charge
Q0
de
Comment sont modiées la capacité et la tension entre les armatures ?
5 Condensateur cylindrique modié
Un condensateur à symétrie cylindrique est constitué de trois surfaces cylindriques
R1
vaut h ;
R2
et
R3 (R1 < R2 < R3 ).
coaxiales de rayons respectifs
,
La hauteur des trois
armatures est la même et
elle est grande devant le rayon de l'armature externe.
Un l conducteur relie l'armature interne (1) et l'armature externe (3).
1. Exprimer le champ électrique en fonction des données du problèmes. On pourra
introduire des charges portées par les armatures.
2. Dénir et déterminer la capacité du condensateur ainsi formé. Commenter.
6 Courant surfacique - discontinuité du champ magnétique
1. On considère une distribution volumique de courants, uniforme, passant parallèle-
z = a et z = −a. le vecteur densité volumique
→
−
→
−
→
−
−
j = j0 →
u x pour |z| < a et j = 0 pour |z| > a.
ment à Ox entre les deux plans
courant est donc donné par
de
(a) Analyser les symétries de la distribution de courant et en déduire en tout point
de l'espace la direction du champ magnétique créé.
(b) Analyser les invariances du problème.
(c) Comparer les champs magnétiques en deux points symétriques par rapport à
xOy .
2. Déterminer l'expression du champ magnétique en tout point de l'espace.
a devient très petite en maintenant le produit j0 a constant.
continuité du champ magnétique à la traversée du plan z = 0
3. On suppose que l'épaisseur
Que peut-on dire de la
où se localisent les courants ?
7 Champ magnétique créé par un cylindre chargé en rotation
a uniformément chargé en volume avec une densité
ρ, en rotation autour de son axe avec la vitesse angulaire ω constante. Le cylindre
On considère un cylindre de rayon
volumique
est inniment long.
3
1. À partir de considérations de symétrie, prévoir la direction du champ magnétique
créé et les variables dont il dépend.
2. Exprimer le vecteur densité volumique de courant.
3. En prenant le champ nul à une distance innie de l'axe, déterminer le champ magnétique en tout point.
8 Champ magnétique dans une cavité
Un conducteur rectiligne inni, parcouru par un courant
I
uniformément réparti dans
sa section, est formé de l'espace compris entre deux cylindres de rayons
R
et
R0 (R0 > R),
d'axes parallèles mais non confondus.
Calculer le champ magnétique créé dans la cavité de rayon R.
9 Densité de courant donnant un champ donné
On considère en coordonnées cylindriques un champ magnétique d'expression :
3
−
→
−
uθ
0 ≤ r ≤ a B = B0 ar exp − ar →
→
−
−
2B0 a →
a≤r B = r uθ
1. Déterminer la densité volumique de courant en tout point de l'espace.
2. Montrer qu'il existe en
r = a une répartition surfacique de courant et donner l'inten-
sité du courant correspondant.
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