Colle du 18 Février 2014

EXERCICES DE COLLE
Arnaud Demarais
February 18, 2014
Contents
1 Développements limités et asymptotiques 3
2 Suites numériques 6
3 Topologie simple (Normes équivalentes, distances) 10
4 Algèbre générale 11
5 Séries 17
6 Topologie suite (Tout sauf complet : appli lin, boules, adhérence ...) 20
7 Algebre linéaire (de base) 25
8Dualité 27
9 Polynômes 30
10 Fonctions usuelles 33
11 Séries entières 36
12 Matrices 39
13 Déterminants 44
14 Complétude 46
15 Suites de fonctions 47
16 Reduction générale (polynôme annulateurs, lemme noyaux etc) 51
17 Reduction effective (diagonalisation, trigonalisation) 55
18 Intégrales sur un segment 58
19 Intégrales généralisées 60
20 Intégrales à paramètre et convergence dominée 63
21 Séries de fonctions 67
1

22 Espaces euclidiens 69
23 Cacul Différentiel 73
24 Réduction auto-adjoint 76
25 Séries de Fourier 78
26 Equations différentielles linéraires 81
27 Equations différentielles non linéaires 84
2

1 Développements limités et asymptotiques
Exercice 1.1 (Calcul Moyen)
Donner les développements limités en 0 de
1) g(x)=cos(x)
p1+xàl’ordre3.
2) h(x)= 1
1+exàl’ordre3.
3) i(x)=ln(sin(x)
x)àl’ordre4.
Correction 1.1
1)
cos(x)=1x2
2+o(x3)
1
p1+x=1x
2+3 8x25 16 x3+o(x3)
Donc
g(x)=(1x2
2+o(x3))(1 x 2+3 8x25 16 x3+o(x3))
=1x
2x2 8x3 16 +o(x3)
2)
1
1+ex=1/2
11ex
2
1
1u=1+u+u2+u3+o(u3)et
1ex
2=x 2x2 4x3 12 +o(x3)
Donc en composant :
2h(x)=1+(x
2x2 4x3 12 )+(x2 4+x3 4)x3 8+o(x3)
=1x
2+x3 24 +o(x3)
Alors
h(x)=1/2x
4+x3 48 +o(x3)
3)
sin(x)
x=1x2 6+x4 120 +o(x4)
ln(1 x)=xx2
2x3 3x4 4+o(x4)
Donc en composant :
i(x)=ln(1 (x2
6+x4 120 +o(x4)))
=(x2
6+x4 120 )x4 72 +o(x4)
=x2
6x4 180 +o(x4)
Exercice 1.2 (Calcul Facile)
Comparer :
1) xln(x)et ln(1 + 2x)en 0
2) xln(x)et px2+3xln(x2)sin(x)en +1
3) 1
x+1 et ln(1 + 1 x)en -1
4) x1
xet ln(x)en 0.
3

Correction 1.2
1)
ln(1 + 2x)⇠2x
Donc ln(1 + 2x)=o(xln(x)) en 0
2)
px2+3x⇠xet sin(x)est borné donc
px2+3xln(x2)sin(x)=O(xln(x))en +1
3)
On pose u=1+x. Il faut donc maintenant comparer 1
uet ln(u 1u)
Or ln(u
1u)⇠ln(u)en 0
Donc
ln(1 + 1
x)=o(1 x+1 )en -1
4)
x1
x
ln(x)=eln(x)
xx
ln(x)1 x
or eu
u!+1en +1
Donc ln(x)=o(x1
x)en 0.
Exercice 1.3 (Calcul Moyen)
Donner un équivalent en +1de
un=(n+1) n+1
n(n1) n1 n
n
Correction 1.3
Il ne faut pas tomber dans le piège de confondre ln(n+ 1) et ln(n):c’estéquivalentmaisonaenréalité:
ln(n+ 1) = ln(n(1 + 1
n)) = ln(n)+ 1 n+o(1 n)
Donc :
n+1
nln(1 + n)=ln(n)+ ln(n) n+o(1 n)
et de même
n1
nln(n1) = ln(n)ln(n) n+o(1 n)
On a alors :
un=exp(n+1
nln(n+1))exp(n1 nln(n1))
n
=exp(ln(n)+ ln(n)
n+o(1 n))exp(ln(n)ln(n) n+o(1 n))
n
=exp(ln(n))
n(exp(ln(n) n+o(1 n)) exp(ln(n) n+o(1 n)))
=1+ln(n)
n(1 ln(n) n)+o(1 n)
Donc un⇠2ln(n)
n.
Exercice 1.4 (Calcul Facile)
On pose un=1+... +1
n
1) En encadrant ´n+1
n
dt
t,montrerqueun⇠ln(n)
2) Que dire de la convergence de la suite vn=unln(n)
4

Correction 1.4
1)
On a 1
n+1 <´n+1
n
dt
t<1 n
En sommant pour tout k compris entre 1 et n, on obtient
Pn+1
21
k<ln(n+ 1) <Pn
11
k
Cela se réécrit
un1<ln(n)<u
n1
n
Ce qui montre (en divisant par unet en faisant tendre n vers +1)queun⇠ln(n)
2)
On sait que vnest positive
Calculons
vn+1 vn
=1
n+1 ln(n+1 n)
=1
n+1 1 n+1 2n2+o(1 n2)
=1
2n2+o(1 n2)qui est négative.
Donc vnest décroissante et alors vnconverge vers une limite que l’on appelle 
Exercice 1.5 (Calcul Facile)
Donner la limite de (xx)x
xxxen +1.
Correction 1.5
On a :
(xx)x
xxx=exp(x2ln(x))
exp(xxln(x)) =exp((x2xx)ln(x))
On va donc regarder la limite en +1de x2xx
On a :
x2xx=(xx)(1 x2x)
Or x2x=e(2x)ln(x)qui tend vers 0
donc
x2xxtend vers -\infty et on a
(xx)x
xxxqui tend vers 0 en +1
5