ETUDE DE STABILITE DE L`ECOULEMENT PULSE D`UN FLUIDE

12ème Congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 Casablanca (Maroc)
ETUDE DE STABILITE DE
L'ECOULEMENT PULSE D'UN
FLUIDE DE MAXWELL EN
GEOMETRIE DE TAYLOR-COUETTE
EN PRESENCE D'UNE MODULATION
PERIODIQUE DE LA VITESSE DE
ROTATION DU CYLINDRE
INTERIEUR
RIAHI M. *, ANISS S. *, OUAZZANI M. T.*, SKALI
LAMI S.^
* Laboratoire de Mécanique, faculté des Sciences Aîn-Chock,
BP 5366 Mâarif, Casablanca, Maroc
^ LEMTA-UMR CNRS 7563-ENSEM, 2 avenue de la Forêt
de Haye, BP 160, Vandoeuvre_les Nancy.54504, France
INTRODUCTION
L'étude des écoulements à paroi oscillante en présence de
fluides viscoélastiques a connu un intérêt considérable durant
la dernière décennie [1]. Bien que ce problème est
actuellement peu maîtrisé à cause de la complexité des
modèles, quelques solutions exactes sont utilisées comme un
moyen de validation et de développement des calculs
numériques relatif aux écoulements pulsés. Nous nous
intéressons dans ce travail au cas de l’écoulement pulsé de
type Taylor-Couette dont le but est de caractériser l'influence
d’une modulation sinusoïdale de vitesse de rotation du
cylindre intérieur et de la nature viscoélastique d’un fluide de
Maxwell sur les paramètres critiques d’instabilité de cet
écoulement. Notons que des études récentes ont porté sur cet
aspect lorsqu’il s’agit d’une modulation en phase ou en
opposition de phase de vitesses de rotation des deux cylindres
aussi bien pour le cas d’un fluide de Maxwell [2] que pour le
cas d’un fluide de Newton [3].
I.
ECOULEMENT DE BASE
On considère un fluide viscoélastique, de densité ρ et de
viscosité cinématique ν, confiné entre deux cylindres
coaxiaux de rayons
et
=
+ . Le cylindre extérieur
est fixe et le cylindre intérieur est animé d’une vitesse
angulaire définie par Ω(t) = Ω cos(ωt ∗ ) où Ω et ω sont
respectivement l'amplitude et la fréquence de pulsation. Les
équations régissant l'écoulement sont l'équation de
conservation de la quantité de mouvement et l'équation de
conservation de la masse :
1
+ . ∇ = − ∇ + ∙ t∗
. = 0
où
est le vecteur vitesse, est le tenseur de contrainte et P
est la pression. Le fluide consideré est supposé de type
Maxwell linéaire dont le comportement est donné par :
+ λ
= !"#
t∗
le coefficient λ désigne le temps de relaxation, η la viscosité
dynamique et "# le tenseur de déformation. Sous les
hypothèses d’invariance par rotation et translation le long de
l’axe des cylindres, et lorsque la largeur de l’espace annulaire
d est faible devant le rayon
du cylindre intérieur, la vitesse
de l’écoulement de base possède une seule composante
azimutale %& donnée par
%& (', )) = % (') cos(*)) + % (', ))sin(*))
où * = '=
-. /
1234
.
0
est le nombre de fréquence adimensionnelle.
étant la coordonnée
radiale adimensionnelle à
l’intérieur du gap(0 ≤ ' ≤ 1) et
6∗
) = ./
87
le temps. Les
expressions de % et de % sont données par :
% (')
cos(9:') cosh<9=(1 − ')> ?@Aℎ(9=) + cos(9:(1 − ') cosh(9=')) cos(9:)
=
?@Aℎ (9=) − cos (9:)
% (')
sin(9:') sinh<9=(1 − ')>?@Aℎ(9=) + sin(9:(1 − ') sinh(9=')) cos(9:)
=
?@Aℎ (9=) − cos (9:)
où 9 = CD , : = E1 − √1 + Γ * , = = E1 + √1 + Γ * H)Γ = ℎI2
Le paramètre adimensionnel Γ désigne le nombre de Deborah
caractérisant le rapport du temps de relaxation du fluide au
temps de diffusion visqueux et le nombre de fréquence.
II.
ANALYSE DE STABILITE LINEAIRE
Pour l'étude de la stabilité linéaire de l'écoulement de base
défini précédemment, nous appliquons la procédure classique
des perturbations qui consiste à superposer à cette écoulement
des perturbations infinitésimales en vitesse et en pression de
telle sorte que:
= (0, VL , 0) + <u(x, z, t), v(x, z, t), w(x, z, t)>
P = PL + p(x, z, t)
Le comportement de l'écoulement perturbé est contrôlé par
deux paramètres: le nombre de fréquence, *, et le nombre de
Taylor défini par : Ta= (R1Ω0d / υ)E / . On considère par
la suite que les perturbations s'écrivent en modes normaux
(u,v,w,p)=(UV(x,t),WV(', )), X
Y(', )), ZV(', )))exp(\]^)
où q désigne le nombre d'onde. En éliminant la pression et la
vitesse axiale, le système perturbé se réduit à :
_` −
_` −
a
a6
a
a6
− b
− b
a/
a/
a6 /
a/
a6 /
a
c `UV = 2] de _1 + b c %&
a
c WV = _1 + b c WV
a6
afg
a6
ah
où ` = / − ] .
ah
Les conditions aux limites sont :
Y
ai
UV = WV = ah = 0
en x=0,1
Ce système associé aux conditions aux limites constitue un
problème aux valeurs propres. Compte tenu du fait que les
coefficients de ces équations sont des fonctions périodiques
du temps, la théorie de Floquet permet de présenter la
solution du problème sous la forme
nopq
(UV, WV) = exp(j)) k _Ul ('), Wl (')c H'Z(\m*))
no2q
Nous désignons l'exposant de Floquet par j = j + \j qui
est un nombre complexe. Nous limitons notre étude à la
détermination des courbes de stabilité marginale
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correspondant aux solutions harmoniques j . L'écriture de la
solution de base %& sous sa forme complexe est donnée par :
s∗ (') exp(−\*))
%& = r(') exp(\*)) + r
s∗ son conjugué. En
avec F(x) = <V (x) − iV (x)> et r
substituant ces expressions dans notre système, nous
obtenons une hiérarchie infinie de systèmes :
(u − ] − \m* + bm ] )(u − ] )vn
= 2] d e (r%n2 + r ∗ %np )(1 + \bm*)
(u − ] − \m* + bm ] )%n
r
r∗
= w Un2 +
% x (1 + \bm*)
'
' np
y
où u = yz . Les conditions aux limites associées sont :
Un = Wn = uUn = 0Hm' = 0
Ce système d'équations différentielles est transformé en un
système d'équations différentielles du premier ordre dont les
inconnues
sont
u{ , Du{ , (D − q )u{ , D(D − q )u{ , v{ , Dv{ .
Un
ensemble de solutions indépendantes vérifiant les conditions
aux limites en x = 0 sont construites à partir d'un schéma
numérique de Runge-Kutta du quatrième ordre, une
combinaison linéaire de ces solutions satisfaisants les
conditions aux limites en x=1, mène alors à un systéme
algébrique homogène dont les inconnues sont les coefficients
d'une telle combinaison. Une condition nécéessaire
d'existence de solutions non nulles est que le déterminant de
ce système homogène soit nul. Ceci mène à une relation de
dispersion de la forme :~<*, ], de,, b> = 0 .
III.
RESULTATS ET DISCUSSION
Les valeurs critiques du nombre de Taylor et du nombre
d’onde critiques, de• et ]• , en fonction de 9 sont présentées
dans les figures ci-dessus, (I), (II) et (III) pour différentes
valeurs du nombre de Deborah. Nous observons les figures
(I) et (II) une stabilisation de l'écoulement dans la limite de
hautes fréquences. Le nombre de Taylor critique, dans ce cas
limite et pour Γ ≠ 0, atteint des valeurs constantes et varie
indépendamment de la fréquence 9. Les valeurs
asymptotiques sont : de• = 866,25, 223,12 et 162,12
respectivement pour Γ = 0,001, 0,006 et 0,01. Contrairement
au cas du fluide de Maxwell, Γ ≠ 0, le nombre de Taylor
critique tend vers l’infinie lorsqu’il s’agit d’un fluide
Newtonien ( Γ = 0).
Figure I : Evolution du nombre d’onde critique et nombre
d’onde en fonction du nombre de fréquence 9.
Figure II : Evolution du nombre de Taylor critique en fonction du
nombre de fréquence 9 .
Les résultats sur l'effet du nombre de Deborah sont résumés
sur la figure II. Dans cette figure nous représentons
l'évolution du nombre de Taylor critique en fonction de 9
pour différentes valeurs du nombre du Deborah. Dans la
limite de basses fréquences, quand 9 ⟶0, le nombre de
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Deborah n'a aucun effet sur le nombre de Taylor critique qui
tend vers la valeur asymptotique : de• = 42,63 et qui
correspond à celle d'un fluide Newtonien avec une vitesse de
rotation du cylindre uniforme [4]. Aussi, le nombre de
Deborah n'a aucun effet sur cette évolution pour les
fréquences intermédiaires. Contrairement aux cas des faibles
fréquence et des fréquences intermédiaires, un effet
déstabilisant notable se produit lorsque 9 > 3 et qui devient
de plus en plus accentué lorsque la fréquence de modulation
augmente. En ce qui concerne le nombre d'onde critique, nous
représentons, dans la figure III, son évolution en fonction du
nombre de fréquence 9 pour différentes valeurs du nombre de
Deborah
Figure III : Evolution du nombre d’onde critique en fonction du
nombre de fréquence 9.
Dans la limite de basses fréquences, le nombre d'onde critique
reste constant ]• = 3,12 et varie faiblement dans les
fréquences intermédiaires. Dans le régime de hautes
fréquences, le nombre d'onde critique atteint des valeurs
asymptotiques: ]• = 16,1, 6,5 et 5,6 pour Γ, 0,001, 0,006 et
0,01
IV.
CONCLUSION
Nous avons étudié la stabilité linéaire d'une couche fluide
viscoélastique confinée entre deux cylindres coaxiaux. Le
cylindre extérieur est fixe et le cylindre intérieur oscille
sinusoïdalement dans le temps avec la vitesse angulaire
Ω(t) = Ω cos(ωt). Les résultats numériques présentés sont
en bonne concordance avec l'analyse asymptotique élaboré
aussi bien pour les basses que pour les hautes fréquences pour
le cas où les deux cylindres oscillent en phase et avec la
même amplitude [3].
REFERENCES
[1] S. Asghar, T. Hayat, A. M. Siddique, "Moving boundary
in a non-Newtonian fluid." Int J Non-Linear Mech, 37, pp.
75-80, 2002.
[2] M. Riahi, S. Aniss, M. T. Ouazzani, and S. Skali Lami,
‘’Linear stability analysis of Taylor-Couette flow in a
viscoelastic fluid under out-of phase modulation’’, Inter
Journal of Innov and App Studies, Vol. 8 No. 1 Sep. 2014,
pp. 364-371.
[3] Mehdi Riahi, Saïd Aniss, Mohamed Ouazzani Touhami,
Salah Skali Lami., ‘Stability of a Pulsed Taylor-Couette Flow
in a Viscoelastic Fluid
’’, Journal of The Society of Rheology, Japan. Vol. 42 (2014)
No. 5 p. 321-327.
[4] S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and and Hydrodynamic
Stability, Oxford Science Press, 1961.