A quantum cellular automaton for universal quantum

Introduction Construction de l’automate Conclusion
A quantum cellular automaton for universal
quantum computation
Robert Raussendorf (2004)
Xavier Besseron
21 mars 2006
Xavier Besseron
A quantum cellular automaton for universal quantum computation
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Introduction Construction de l’automate Conclusion
Plan
1
Introduction
Motivations
2
Construction de l’automate
Topologie
Transition
Formalisation
Un automate universel
3
Conclusion
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Introduction Construction de l’automate Conclusion
Motivations
Motivations
Utiliser des systèmes physiques pouvant être à la base
d’ordinateurs quantiques universels tels que les treillis optiques
(optical lattices) ou les matrices de micro-lentilles (arrays of
micro-lenses).
En particulier, exploiter leur symétrie de translation.
Réduire le contrôle extérieur.
Un automate quantique universel à une dimension peut simuler
efficacement une machine de Turing quantique.
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Introduction Construction de l’automate Conclusion
Topologie Transition Formalisation Un automate universel
Un treillis sur un tore
L’automate est composé d’un treillis de qubits sur un tore.
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Introduction Construction de l’automate Conclusion
Topologie Transition Formalisation Un automate universel
Un treillis sur un tore
L’automate est composé d’un treillis de qubits sur un tore.
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Topologie Transition Formalisation Un automate universel
Cellules de Margolus
Pour t pair
Le treillis est découpé en cellules de Margolus.
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Topologie Transition Formalisation Un automate universel
Cellules de Margolus
Pour t impair
Le treillis est découpé en cellules de Margolus.
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Introduction Construction de l’automate Conclusion
Topologie Transition Formalisation Un automate universel
Opérateur unitaire sur une cellule
Transition
À chaque transition, on applique l’opérateur τ à chaque cellule.
Définition de τ
«
„
„
«
π 1 − Z3
1 − Z4 1 − Z1 1 − Z2
τ = S(1, 3)S(2, 4)H1 exp −i
Z1 exp iπ
8 2
2
2
2
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Topologie Transition Formalisation Un automate universel
Opérateur unitaire sur une cellule
Transition
À chaque transition, on applique l’opérateur τ à chaque cellule.
Définition de τ
„
«
„
«
π 1 − Z3
1 − Z4 1 − Z1 1 − Z2
τ = S(1, 3)S(2, 4)H1 exp −i
Z1 exp iπ
8 2
2
2
2
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Topologie Transition Formalisation Un automate universel
Opérateur unitaire sur une cellule
Transition
À chaque transition, on applique l’opérateur τ à chaque cellule.
Définition de τ
„
«
„
«
π 1 − Z3
1 − Z4 1 − Z1 1 − Z2
τ = S(1, 3)S(2, 4)H1 exp −i
Z1 exp iπ
8 2
2
2
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Topologie Transition Formalisation Un automate universel
Transition
À chaque transition
Les colonnes des données |Di i se déplacent vers la droite.
Les colonnes du programme |pi i se déplacent vers la gauche.
Le calcul est fini à t = r (r = #colonnes/2).
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Topologie Transition Formalisation Un automate universel
Circuit équivalent
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Topologie Transition Formalisation Un automate universel
Formalisation
Opérateur de transition sur les colonnes i, i + 1
Ti (|Dii ⊗ |pii+1 ) = |pii ⊗ (U(p)|Di)i+1
Registre des données
"
|Di (t)i =
t
Y
#
U(p[i+k ]r ) |Di (0)i
k =1
État de l’automate à t
On montre alors par induction que
|ψ(t)i =
r −1
O
|Di (t)i[2i+t]2r ⊗ |p[i+t+1]r i[2i+t+1]2r
i=0
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Topologie Transition Formalisation Un automate universel
Un automate universel
Les portes de base
En utilisant les trois portes de base CNOT , H et T (π/8), on peut
approcher n’importe quel opérateur U.
Réalisation
p(3)

 0 000 000 000, pour U = Id
0 101 101 101, pour U = H
=

1 000 000 000, pour U = T
avec p(4) = 0 000 000 000.
Un CNOT peut aussi être réalisé de cette manière.
Résultat
Cet automate peut réaliser n’importe quelle opération avec un
programme adapté.
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Conclusion
L’automate proposé n’a aucune garantie d’efficacité.
Ce modèle peut s’adapter à un treillis planaire.
Cet automate est déterministe (pour p(i) = |0i ou |1i).
La complexité est du même ordre de grandeur qu’un circuit de
portes logiques quantiques.
Le programme est codé dans l’état initial du système et il évolue
de manière autonome de l’initialisation jusqu’à la mesure.
Cet automate est un moyen de réaliser des tâches quantiques
complexes.
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